必修4第1章第10节

1 第一章第一章 三角函数三角函数 1 10 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 第一课时第一课时 一一 教学目标 教学目标 1 会用单位圆中的正切线画出正切函数的图象 2 理解正切函数的性质 掌握性质的简单应用 会解决一些实际问 题 3 用数形结合的思想理解和处理有关问题 发现规律 提高素质 培养实践第一观点 二二 重点难点 重点难点 1 正切函数的图象和性质 2 正切函数的性质的简单应用 三三 教学过程 教学过程 一一 预习展示预习展示 1 正切函数的定义域是 tanyx zkkxx 2 2 正切函数是不是周期函数 解 tantan 2 xx xRxkkz 且 是的一个周期 tan 2 yx xRxkkz 且 3 作 的图象tanyx x 2 2 y y 2 2 设问 1 正切函数的最小正周期不能比小 正切函数的最小正周期是 2 根据正切函数的周期性 把上述图象向左右扩展 得到正切函数 且的图象 称 正切曲线 Rxxy tan zkkx 2 3 由图象可以看出 正切曲线是由被相互平行的直线所隔 2 xkkZ 开的无穷多支曲线组成的 4 根据以上两题作出正切函数的图象并观察得出以下性质 1 定义域 zkkxx 2 2 值 域 R 观察分析 当从小于 时 x zkk 2 2 kx tan x 当从大于 时 x zkk 2 kx 2 xtan 3 周期性 T 4 奇偶性 奇函数 分析 可由知 xxtantan 5 单调性 在开区间内 函数单调递 zkkk 2 2 增 6 对称中心 2 k 0 k Z 注 有无穷多个 二二 典题互动典题互动 x 2 3 例例 1 求函数的定义域 答案 tan 4 yx 4 x xkkZ 变式一 求函数 y tan2x 的定义域及周期 解 由 2x k k Z 得 x k Z 2 k 2 4 y tan2x 的定义域为 x x R 且 x k Z k 2 4 由正 余弦函数最小正周期 T 得正切函数的最小正周期 T 2 2 例例 2 2 不通过求值 比较 tan135 与 tan138 的大小 解 90 135 138 270 又 y tanx 在 x 90 270 上是增函数 tan135 tan138 变式二 比较 与的大小 4 11 tan 5 13 tan 解 4 11 tan 4 11 tan 4 tan 5 13 tan 5 13 tan 5 2 tan 又 0 函数 是增函数 4 5 2 2 tanyx x 2 2 即 4 tan 5 2 tan 1113 tan tan 45 例例 3 3 求函数 y tan 2x 3 的单调区间 解 y tanx x 2 k 2 k k Z 是增函数 4 2 k 2x 3 2 k k Z 即 12 2 k x 12 5 2 k k Z 函数 y tan 2x 3 的单调递增区间是 12 2 k 12 5 2 k k Z 变式三 求函数 y tan x 的定义域 并讨论它的单调性 3 解 由 x k k Z 得 x k k Z 3 2 6 y tan x 的定义域为 x x R 且 x k k Z 3 6 又由 y tanx 在每个区间 k k k Z 上是增函数可知 2 2 当 k x k 时 即 2 3 2 k x k k Z 时 y tan x 是增函数 5 6 6 3 y tan x 在每个区间 k k k Z 上是增函数 3 5 6 6 三 三 学效自测 学效自测 1 是 的 条件 既不充分也不必要 tan0 x 0 x 2 y 5tan x 2k 1 k Z 的周期 T 4 x 2 3 函数的值域是 2 tantan1 2 yxxxkkZ 3 4 提示 利用函数中的换元思想 视为整体变量 构造成二次函数来求解 tan0 x 4 用图象求函数的定义域 tan3yx 5 解 由 得 利用图象知 所求定义域为tan30 x tan3x 32 kkkZ 另解 亦可利用 单位圆求解 2 四 四 课时小结 课时小结 通过本节学习 要掌握正切函数的图象 理解它具有的主要性质 并会应用它解 决一些较简单问题 充分利用图形理解正切曲线的特性 通过一定的训练正确了解图 象性质 例如定义域必须去掉各点 值域无最大值 最小值 周期是 单调性表现为在每一单调区间内只增不减等 第一章第一章 三角函数三角函数 1 10 三角函数的图象和性质三角函数的图象和性质 第一课时第一课时 一 必做题 一 必做题 1 函数 f x tan 2x 3 的周期是 2 提示 运用周期公式直接求解 2 比较大小 tan 335 tan200 提示 结合例 2 3 函数 y 3tan 2x 3 的对称中心的坐标是 4 k 6 0 k Z 分析 y tanx 是奇函数 它的对称中心有无穷多个 即 2 k 0 k Z 函数 y Atan x 的图像可由 y tanx 经过变换图像而得到 它也有无穷多个对称中心 这 些对称中心恰好为图像与 x 轴交点 4 函数 f x tan x 4 tan x 4 的奇偶性是 奇函数 分析 奇偶性的判断必须考虑 定义域是否关于原点对称 是否对任意 x 有 f x f x 或 f x f x 成立 y x0 T A 3 2 0 y x 3 6 5 函数的最小正周期是 tancotyxx 2 提示 关于周期和单调性必须将函数化为一个三角函数的形式方可求 6 作出函数 y tanx 的图像 并根据图像求其单调区间 分析 要作出函数 y tanx 的图像 可先作出 y tanx 的图像 然后将它在 x 轴上方的图像保留 而将其在 x 轴下方的图像向上翻 即作 出关于 x 轴对称图像 就可得到 y tanx 的图像 所以其图像如图所示 单调增区间 k k k Z 单调减区间为 k 2 k k Z 2 7 求函数的单调区间 分析 若设 则这个函数可以看成是由函数 y 3tanu 和复合 而成 复合函数单调性的判定方法是 若 y f u 和 u g x 同为增 减 函数时 y f g x 为增函数 若 y f u 和 u g x 一个为增函数一个为减函数时 y f g x 为减 函数 故原函数的单调减区间为 8 已知 6 cos 9 2 11 lg x 1 求函数 y cot2x 2cotx 5 的值域 4 5 分析 从已知条件的不等式中解出 cotx 的范围 然后在此条件下求被求函数的 值 域 结合自测 3 4 二 选做题 二 选做题 求函数 y lg tanx 3 3cos2 x 的定义域 解析 解正切不等式一般有两种方法 图像法和三角函数线法 图像法即先画出 函数图像 找出符合条件的边界角 再写出符合条件的角的集合 三角函数线法则是先在 单位圆中作出角的边界值时的正切线 得到边界角的终边 在单位圆中画出符合条件的 区域 要特别注意函数的定义域 故函数的定义域为 k 3 k 2 k Z 三 预习题 三 预习题 学法指导学法指导 1 三角恒等变换 是对相应的数学式子作 只变其形不变其质 的数学 运算 对其结构形式进行变换 学法指导学法指导 2 三角函数式的差异不仅表现在其结构形式上 还表现在包含的角及 7 其函数类型上 因此三角恒等变换常常需要先考虑式子中的各个角之间的关系 以 此来选择适当的三角公式进行变换 这是三角恒等变换的主要特点 学法