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第四章例题例4.1考察级数的敛散性。 解因发散，故虽收敛，我们仍断定原级数发散。例4.2试求下列各幂级数的收敛半径。 （1） 解。 （2）。 解因 ， 故 。 （3） 。 解因 ， 故。 （4） 解应当是平方数时，其他情形。因此，相应有 ，于是数列的聚点是0和1，从而。 例4.3将在展开成幂级数。 解因在内解析，故展开后的幂级数在内收敛。已经知道： ， 在时将两式相乘得（按对角线方法） 。例4.4求的展开式。 解因的支点为及，故其指定分支在内单值解析。 ， 其一般表达式为：当时 。例4.5将及展为的幂级数。 解因 ， 同理 。 两式相加除以2得 ， 两式相减除以得 。 例4.6试将函数 按的幂展开，并指明其收敛范围。 解 例4.7考察函数 在原点的性质。 解显然在解析，且。 由， 或由 知为的三级零点。 例4.8求的全部零点，并指出它们的级。 解 在平面上解析。由得 即 故， 这就是在平面上的全部零点。显然 故 都是函数的二级零点。 例4.9设（1）及在区域内解析； （2）在内 ， 试证：在内或。 证若有使。因在点连续，故由例1.28知，存在的邻域，使在内恒不为零。而由题设 , 故必 . 由唯一性定理（推论4.21） 。 例4.10试用最大模原理证明例3.9。即证：“设在闭圆上解析，如果存在，使当时 ， 而且 ， 则在圆内，至少有一个零点。” 证如果在内，无零点。而由题设在上，且在上解析。故 在上解析。此时 ， 且
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