【三维设计】2013届高考数学 第二节不等式的证明课后练习 人教A版选修4-5

1 三维设计三维设计 2013 2013 届高考数学届高考数学 第二节不等式的证明课后练习第二节不等式的证明课后练习 人人 教教 A A 版选修版选修 4 54 5 1 1 设 设a a b b是非负实数 求证 是非负实数 求证 a a3 3 b b3 3 a a2 2 b b2 2 a ab b 证明 由证明 由a a b b是非负实数 作差得是非负实数 作差得 a a3 3 b b3 3 a a2 2 b b2 2 a a2 2 b b2 2 a ab ba aa ab bb bb ba a 5 5 5 5 a ab ba ab b 当当a a b b时 时 从而 从而 5 5 5 5 a ab ba ab b 得得 5 5 5 5 0 0 a ab ba ab b 当当a a b b时 时 从而 从而 5 5 0 0 a ab ba ab b 所以所以a a3 3 b b3 3 a a2 2 b b2 2 a ab b 2 2 已知 已知a a b b c c R R 求证 求证 c c a a b b b b2 2 a a c c2 2 b b a a2 2 c c b b a a c c b b a a c c 证明 证明 a a b b c c R R 2 2 2 2c c b b2 2 a a c c2 2 b b b b2 2 a a c c2 2 b b b b a a 同理 同理 2 2a a 2 2b b c c2 2 b b a a2 2 c c c c b b a a2 2 c c b b2 2 a a a a c c 三式相加可得三式相加可得 c c a a b b b b2 2 a a c c2 2 b b a a2 2 c c b b a a c c b b a a c c 3 3 设 设a a b b c c为正实数 求证 为正实数 求证 abcabc 2 2 1 1 a a3 3 1 1 b b3 3 1 1 c c3 33 3 证明 因为证明 因为a a b b c c为正实数 由平均不等式可得为正实数 由平均不等式可得 3 3 1 1 a a3 3 1 1 b b3 3 1 1 c c3 3 3 3 1 1 a a3 3 1 1 b b3 3 1 1 c c3 3 即即 1 1 a a3 3 1 1 b b3 3 1 1 c c3 3 3 3 a ab bc c 所以所以 abcabc abcabc 1 1 a a3 3 1 1 b b3 3 1 1 c c3 3 3 3 a ab bc c 而而 abcabc 2 2 2 2 3 3 a ab bc c 3 3 a ab bc c a ab bc c 3 3 所以所以 abcabc 2 2 1 1 a a3 3 1 1 b b3 3 1 1 c c3 33 3 4 4 已知 已知 a an n 1 1 2 22 2 3 33 3 4 4n n n n 1 1 2 n n N N 求证 求证 a an n n n n n 1 1 2 2 n n n n 2 2 2 2 证明 证明 n n n n n n 1 1 n n2 2 n nn n n n 1 1 a an n 1 1 2 2 3 3 n n 1 1 2 22 2 3 3n n n n 1 1 n n n n 1 1 2 2 n n n n 1 1 n n n n 1 1 2 2 a an n 1 1 2 2 2 2 2 2 3 3 2 2 3 3 4 4 2 2 n n n n 1 1 2 2 2 2 3 3 n n 1 1 2 2 n n 1 1 2 2 n n n n 2 2 2 2 综上得 综上得 a an n n n n n 1 1 2 2 n n n n 2 2 2 2 5 5 已知 已知f f x x x x2 2 pxpx q q 求证 求证 f f 1 1 f f 2 2 f f 3 3 中至少有一个不小于中至少有一个不小于 1 1 2 2 证明 假设证明 假设 f f 1 1 f f 2 2 f f 3 3 都小于都小于 1 1 2 2 则则 f f 1 1 2 2 f f 2 2 f f 3 3 2 2 而而 f f 1 1 2 2 f f 2 2 f f 3 3 f f 1 1 f f 3 3 2 2f f 2 2 1 1 p p q q 9 9 3 3p p q q 8 8 4 4p p 2 2q q 2 2 与与 f f 1 1 2 2 f f 2 2 f f 3 3 2 2 矛盾 矛盾 f f 1 1 f f 2 2 f f 3 3 中至少有一个不小于中至少有一个不小于 1 1 2 2 6 6 已知 已知a a b b c c均为正实数 且均为正实数 且abab bcbc caca 1 1 求证 求证 1 1 a a b b c c 3 3 2 2 a a b bc c b b a ac c c c a ab b3 3a ab bc c 证明 证明 1 1 要证明要证明a a b b c c 3 3 a a b b c c为正实数 为正实数 只需证明只需证明 a a b b c c 2 2 3 3 即证明即证明a a2 2 b b2 2 c c2 2 2 2abab 2 2bcbc 2 2acac 3 3 又又abab bcbc acac 1 1 只需证明只需证明a a2 2 b b2 2 c c2 2 abab bcbc acac 上式可由上式可由abab bcbc caca a a2 2 b b2 2 c c2 2证得 证得 原不等式成立 原不等式成立 a a2 2 b b2 2 2 2 b b2 2 c c2 2 2 2 c c2 2 a a2 2 2 2 2 2 a a b bc c b b a ac c c c a ab b a a b b c c a ab bc c 又由又由 1 1 已证已证a a b b c c 3 3 3 原不等式只需证明原不等式只需证明 1 1 a ab bc ca ab bc c 即证明即证明a a b b c c abab bcbc caca b bc ca ac ca ab b 而而a a b b b bc ca ab b a ac