高三数学第一轮复习讲解-正弦定理和余弦定理

精品文档 1欢迎下载 浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解浙江省台州市临海市第六中学高三数学第一轮复习讲解 正弦定正弦定 理和余弦定理理和余弦定理 1 正弦定理和余弦定理 定理正弦定理余弦定理 内容 2R R为 a sin A b sin B c sin C ABC外接圆半径 a2 b2 c2 2bccos A b2 c2 a2 2cacos B c2 a2 b2 2abcos C 变形形式 a 2Rsin A b 2Rsin B c 2Rsin C sin A sin B a 2R b 2R sin C c 2R a b c sin A sin B sin C a b c sin A sin B sin C a sin A cos A b2 c2 a2 2bc cos B c2 a2 b2 2ca cos C a2 b2 c2 2ab 2 正弦定理解决的问题有哪两类 提示 1 已知两角和任一边 求其他边和角 2 已知两边和其中一边的对角 求其他边和角 3 余弦定理解决的问题有哪三类 提示 1 已知三边 求各角 2 已知两边和它们的夹角 求第三边和其他两个角 3 已知两边和其中一边的对角 求其他角和边 温馨提示 解斜三角形的类型 1 已知两角一边 用正弦定理 有解时 只有一解 2 已知两边及其一边的对角 用正弦定理 有解的情况可分为以下情况 在 ABC中 已知a b和角A时 解的情况如下 A为锐角A为钝角 图形 关系式a bsin Absin A a b a b a b 解个数一解两解一解一解 上表中A为锐角时 a bsin A时 无解 A为钝角时 a b a b均无解 3 已知三边 用余弦定理有解时 只有一解 4 已知两边及夹角 用余弦定理 必有一解 4 三角形面积 设 ABC的三边分别为a b c 所对的三个角分别为A B C 其面积为S 1 S ah h为BC边上的高 1 2 2 S absin C 1 2 1 2013 高考北京卷 在 ABC中 a 3 b 5 sin A 则 sin B 1 3 精品文档 2欢迎下载 A B 1 5 5 9 C D 1 5 3 解析 选 B 在 ABC中 由正弦定理 a sin A b sin B 得 sin B bsin A a 5 1 3 3 5 9 2 在 ABC中 若a 18 b 24 A 45 则此三角形有 A 无解 B 两解 C 一解 D 解的个数不确定 解析 选 B bsin A 12 a b 2 三角形的个数有两个 3 2014 兰州调研 在 ABC中 a 3 b 2 cos C 则 ABC的面积为 23 1 3 A 3 B 2 33 C 4 D 33 解析 选 C cos C sin C 1 3 22 3 S ABC absin C 3 2 4 1 2 1 223 22 33 4 在 ABC中 B 60 b2 ac 则 ABC的形状为 解析 由余弦定理得b2 a2 c2 2accos 60 ac 即a2 2ac c2 0 a c 又B 60 ABC为等边三角形 答案 等边三角形 5 2013 高考安徽卷 设 ABC的内角A B C所对边的长分别为a b c 若 b c 2a 3sin A 5sin B 则角C 解析 由 3sin A 5sin B 得 3a 5b 又因为b c 2a 所以a b c b 5 3 7 3 所以 cos C a2 b2 c2 2ab 5 3b 2 b2 7 3b 2 2 5 3b b 1 2 因为C 0 所以C 2 3 答案 2 3 利用正 余弦定理解三角形 2013 高考山东卷 设 ABC的内角A B C所对的边分别为a b c 且 a c 6 b 2 cos B 7 9 精品文档 3欢迎下载 1 求a c的值 2 求 sin A B 的值 解 1 由余弦定理b2 a2 c2 2accos B 得b2 a c 2 2ac 1 cos B 又b 2 a c 6 cos B 7 9 所以ac 9 解得a 3 c 3 2 在 ABC中 sin B 1 cos2B 42 9 由正弦定理得 sin A asin B b 22 3 因为a c 所以A为锐角 所以 cos A 1 sin2A 1 3 因此 sin A B sin Acos B cos Asin B 102 27 在解有关三角形的题目时 要有意识地考虑用哪个定理更适合 或是两 个定理都要用 要抓住能够利用某个定理的信息 一般地 如果式子中含有角的余弦或边 的二次式 要考虑用余弦定理 如果式子中含有角的正弦或边的一次式 则考虑用正弦定 理 以上特征都不明显时 则要考虑两个定理都有可能用到 1 2012 高考浙江卷 在 ABC中 内角A B C的对边分别为a b c 且bsin A acos B 3 1 求角B的大小 2 若b 3 sin C 2sin A 求a c的值 解 1 由bsin A acos B及正弦定理 3 a sin A b sin B 得 sin B cos B 3 所以 tan B 所以B 3 3 2 由 sin C 2sin A及 得c 2a a sin A c sin C 由b 3 及余弦定理b2 a2 c2 2accos B 得 9 a2 c2 ac 所以a c 2 33 利用正 余弦定理判定三角形的形状 在 ABC中 a b c分别为内角A B C的对边 且 2asin A 2b c sin B 2c b sin C 1 求A的大小 2 若 sin B sin C 1 试判断 ABC的形状 解 1 由已知 根据正弦定理得 2a2 2b c b 2c b c 即a2 b2 c2 bc 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos A 精品文档 4欢迎下载 故 cos A A 120 1 2 2 由 得 sin2A sin2B sin2C sin Bsin C 又 sin B sin C 1 故 sin B sin C 1 2 因为 0 B 90 0 C 90 故B C 所以 ABC是等腰钝角三角形 判断三角形的形状 主要有如下两种途径 1 利用正 余弦定理把已知条件转化为边边关系 通过因式分解 配方等得出边的相 应关系 从而判断三角形的形状 2 利用正 余弦定理把已知条件转化为内角三角函数间的关系 通过三角函数恒等变 换 得出内角的关系 从而判断出三角形的形状 此时要注意应用A B C 这个结论 在两种解法的等式变形中 一般两边不要约去公因式 应移项提取公因式 以免漏解 2 1 在 ABC中 sin2 a b c分别为角A B C的对边 则 ABC的形 A 2 c b 2c 状为 2 在 ABC中 若b asin C c acos B 则 ABC的形状为 解析 1 sin2 A 2 c b 2c cos A 1 cos A 2 c b 2c b c 由余弦定理 b c b2 c2 a2 2bc a2 b2 c2 ABC为直角三角形 2 由b asin C可知 sin C 由c acos B可知c a 整理 b a sin B sin A a2 c2 b2 2ac 得b2 c2 a2 即三角形一定是直角三角形 A 90 sin C sin B B C 故 ABC为等腰直角三角形 答案 1 直角三角形 2 等腰直角三角形 与三角形面积有关的问题 2013 高考湖北卷 在 ABC中 角A B C对应的边分别是 a b c 已知 cos 2A 3cos B C 1 1 求角A的大小 2 若 ABC的面积S 5 b 5 求 sin Bsin C的值 3 解 1 由 cos 2A 3cos B C 1 得 2cos2A 3cos A 2 0 即 2cos A 1 cos A 2 0 解得 cos A 或 cos A 2 舍去 1 2 因为 0 A 所以A 3 2 由S bcsin A bc bc 5 得bc 20 1 2 1 2 3 2 3 43 又b 5 所以c 4 由余弦定理得a2 b2 c2 2bccos A 25 16 20 21 所以a 21 精品文档 5欢迎下载 从而由正弦定理得 sin Bsin C sin A sin A b a c a sin2A bc a2 20 21 3 4 5 7 三角形面积公式的应用原则 1 对于面积公式S absin C acsin B bcsin A 一般是已知哪一个角就使用哪 1 2 1 2 1 2 一个公式 2 与面积有关的问题 一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化 3 在 ABC中 角A B C的对边分别为a b c 若acos2 ccos2 b C 2 A 2 3 2 1 求证 a b c成等差数列 2 若B 60 b 4 求 ABC的面积 解 1 证明 acos2 ccos2 a c b 则a 1 cos C C 2 A 2 1 cos C 2 1 cos A 2 3 2 c 1 cos A 3b 由正弦定理 得 sin A sin Acos C sin C cos Asin C 3sin B 即 sin A sin C sin A C 3sin B sin A sin C 2sin B 由正弦定理得 a c 2b 故a b c成等差数列 2