收敛数列的性质

数学分析 上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院 1 2 2 2 2 收敛数列的性质收敛数列的性质 教学内容教学内容 第二章 数列极限 2 2 收敛数列的性质 教学目标教学目标 熟悉收敛数列的性质 掌握求数列极限的常用方法 教学要求教学要求 1 使学生理解并能证明数列性质 极限的唯一性 局部有界性 保号性 保不 等式性 2 掌握并会证明收敛数列的四则运算定理 迫敛性定理 并会用这些定理求某些 收敛数列的极限 教学重点教学重点 迫敛性定理及四则运算法则及其应用 教学难点教学难点 数列极限的计算 教学方法教学方法 讲练结合 教学过程教学过程 引引 言言 上节引进 数列极限 的定义 并通过例题说明了验证的方法 这是极限较基lim n n aa 本的内容 要求掌握 为了学习极限的技巧及其应用极限来解决问题 还需要对数列的性质作进 一步讨论 一 收敛数列的性质一 收敛数列的性质 性质性质 1 1 极限唯一性极限唯一性 若数列 n a 收敛 则它的极限唯一 证法一证法一 假设 ba与 都是数列 n a 的极限 则由极限定义 对 0 12 N N A 当 1 Nn 时 有 aan 2 Nn 时 有 ban 取 max 21 NNN 则当 Nn 时有 2 baaaaababa nnnn 由 的任意性 上式仅当 ba 时才成立 证法二证法二 反证 假设 n a 极限不唯一 即至少有两个不相等的极限值 设为 ba 数学分析 上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院 2 aan n lim ban n lim 且 ba 故不妨设 ba 取 0 2 ab 由定义 1 N A 当 1 Nn 时有 aan 2 ba aan 又 2 N A 当 2 Nn 时有 ban 2 ba ban 因此 当 max 21 NNn 时有 nn a ba a 2 矛盾 因此极限值必唯一 性质性质 2 2 有界性有界性 如果数列 n a 收敛 则 n a 必为有界数列 即 0 M 使对 n 有 Man 证明证明 设 aan n lim 取 1 0 N 使得当 Nn 时有 1 aan 即 1 aaaa nn 1 aan 令 1max 21N aaaaM 则有对 n Man 即数列 n a 有界 注注 有界性只是数列收敛的必要条件 而非充分条件 如 1 n 在证明时必须分清何时用取定 何时用任给 上面定理 3 2 证明中必须用取定 不能用任给 否则N随 在变 找到的M也随 在变 界M的意义就不明确了 性质性质 3 3 保序性 保序性 设 aan n lim ban n lim 1 若 ba 则存在N使得当 Nn 时有 nn ba 2 若存在N 当 Nn 时有 nn ba 则 ba 不等式性质 不等式性质 证明证明 1 取 0 2 ba 则存在 1 N 当 1 Nn 时 2 ba aan 从而 22 baba aan 数学分析 上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院 3 又存在 2 N 当 2 Nn 时 2 ba bbn 22 baba bbn 当 max 21 NNn 时 nn a ba b 2 2 反证 如 ba 则由 知必 N 当 Nn 时 nn ba 这与已知矛盾 推论 保号性 推论 保号性 若 baan n lim 则 N 当 Nn 时 ban 特别地 若 0lim aan n 则 N 当 Nn 时 n a 与a同号 思考思考 如把上述定理中的 nn ba 换成 nn ba 能否把结论改成 n n n n ba limlim 例例 设 0 n a 2 1 n 若 aan n lim 则 aan n lim 证明证明 由保序性定理可得 0 a 若 0 a 则 0 1 N 当 1 Nn 时有 2 n a n a 即 aan n 0lim 若 0 a 则 0 2 N 当 2 Nn 时有 aaan a aa aa aa aa n n n n 数列较为复杂 如何求极限 性质性质 4 4 四则运算法则 四则运算法则 若 n a n b 都收敛 则 nn ba nn ba nnb a 也都收敛 且 n n n n nn n baba limlim lim n n n n nn n baba limlimlim 特别地 n n n n acca limlim c为常数如再有 0lim n n b 则 n n b a 也收敛 且 n n n n n n n b a b a lim lim lim 证明证明 由于 nnnn baba 1 n n n n b a b a1 故只须证关于和积与倒数运算的结论即可 数学分析 上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院 4 设 aan n lim bbn n lim 0 1 N 当 1 Nn 时 aan 2 N 当 2 Nn 时 bbn 取 max 21 NNN 则当 Nn 时上两式同时成立 1 bbabaabbabaaabba nnnnnnnn 由收敛数列的有界性 0 M 对 n 有 Mbn 故当 Nn 时 有 aMabba nn 由 的任意性知 abba nn n lim 2 0lim bbn n 由保号性 0 0 N 及 0 k 对 0 Nn 有 kbn 如可令 2 b k 取 max 20 NNN 则当 Nn 时有 11 bkbk bb bb bb bb n n n n 由 的任意性得 bbn n 11 lim 用数学归纳法 可得有限个序列的四则运算 N k k n n N k k n n xx 1 1 limlim N k k n n N k k n n xx 1 1 limlim 但将上述N换成 一般不成立 事实上 1k或 1k本身也是一种极限 两种极限交换次 序是个非常敏感的话题 是高等分析中心课题 一般都不能交换 在一定条件下才能交换 具 体什么条件 到后面我们会系统研究这个问题 性质性质 5 5 两边夹定理或迫敛性 两边夹定理或迫敛性 设有三个数列 n a n b n c 如 N 当 Nn 时有 nnn bca 且 n lim n a n lim lbn 则 n lim lcn 数学分析 上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院 5 证明证明 n lim n a n lim lbn 0 21 N N 当 1 Nn 时 lal n 当 2 Nn 时 lbl n 取 max 210 NNNN 则当 0 Nn 时以上两式与已知条件中的 不等式同时成立 故有 0 Nn 时 lbcal nnn lcn 即 n lim lcn 该定理不仅提供了一个判定数列收敛的方法 而且也给出了一个求极限的方法 推论推论 若 N 当 Nn 时有 nn bca 或 acb nn 且 abn n lim 则 acn n lim 例例 求证 n lim 0 n a n 0 a 证明证明 k A 使得 ak 从而当 kn 时有 0 n a n n a k a n a k a k aaa k 121 由于 n lim n a k a k k a k n lim n a 0 由推论即可得结论 例例 设 1 a 2 a m a 是m个正数 证明 n lim max 2121m n n m nn aaaaaa 证明证明 设 max 21m aaaA 则 A n n m nn aaa 21Am n 1 m n limn m 1 由迫敛性得结论 例例 1 1 1 1lim aa n n 在证明中 令 01 n n ah n n ha 1 得n a hn 0 由此推出 0 n h 由此例也看出由 nnn yzx 和 n n n n yax limlim 也推出 azn n lim 例例 2 2 证明 1lim n n n 证明证明 令 n n hn 1 3 2 1 2 1 1 1 22 nh nn hh nn nhhn n n nnn n n 1 2 0 n hn 数学分析 上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院 6 两边夹推出 0 n h 即 1 n n 在求数列的极限时 常需要使用极限的四则运算法则 下举几例 例例 3 3 求极限 93 164 lim 2 2 nn nn n 解解 3 4 3 4 lim 93 164 lim 2 2 91 16 2 2 n n n n nn nn nn 例例 4 4 求极限 10 1 lim aaa n n 解解 aa a aa n n n n 1 1 1 1 lim 1 lim 例例 5 5 1 1 lim 1 3 lim 1 lim 13 lim 113 lim nnn n n n n n n n nnnnn 313 1 lim1lim 1 lim3lim nn nnnn 例例 6 6 求 01 1 1 01 1 1 lim bnbnbnb ananana k k k k m m m m n km 0 m a 0 k b 解解 原式 kk kk kkkm m km m n nbnbnbb nananana 0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 lim km km b a m m 0 即有理式的极限 0高次 则为分子最高次低于分母最 为最高次系数之比分子分母最高次数相同 如 3 2 7103 542 lim 3 23 nn nn n 例例 7 7 1 limnnn n 1 111 limlim 1 12111 nn n n nn 例例 8 8 设 0 ba 证明 max limbaba nnn n 证明证明 max max 2 max max bababababa n nnnn n n 数学分析 上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院 7 二 二 数列的子列数列的子列 一一 引言引言 极限是个有效的分析工具 但当数列的极限不存在时 这个工具随之失效 这能说明什 n a 么呢 难道没有一点规律吗 当然不是 出现这种情况原因是我们是从 整个 数列的特 n a 征角度对数列进行研究 那么 如果 整体无序 部分 是否也无序呢 如果 部分 有序 可否从 部分 来推断整体的性质呢 简而言之 能否从 部分 来把握 整体 呢 这个 部分数列 就是要讲的 子列 二二 子列的定义子列的定义 定义定义 1 1 设为数列 为正整数集的无限子集 且 则数 n a k nN 123k nnnn 列 12 k nnn aaa 称为数列的一个子列 简记为 n a k n a 注注 1 1 由定义可见 的子列的各项都来自且保持这些项在中的的先后次 n a k n a n a n a 序 简单地讲 从中取出无限多项 按照其在中的顺序排成一个数列 就是的一 n a n a n a 个子列 或子列就是从中顺次取出无穷多项组成的数列 n a 注注 2 2 子列中的表示是中的第项 表示 是中的第 k 项 即 k n a k n k n a n a k nk k n a k n a 中的第 k 项就是中的第项 故总有 特别地 若 则 即 k n a n a k n k nk k nk k nn aa k nn aa 注注 3 3 数列本身以及去掉有限项以后得到的子列 称为的平凡子列 不是平 n a n a n a 凡子列的子列 称为的非平凡子列 n a 如都是的非平凡子列 由上节例知 数列与它的任一平凡子列同为收 221 kk aa n a n a 敛或发散 且在收敛时有相同的极限 那么数列的收敛性与的非平凡子列的收敛性又有何关系呢 此即下面的结果 n a 定理定理 2 82 8 数列 n a 收敛的充要条件是 n a 的任何非平凡子列都收敛 证明证明 必要性 设 lim k nn n aaa 是 n a 的任一子列 任给 0 存在正数 N 使得当 数学分析 上册教案 第二章 数列极限 石家庄经济学院数理学院 8 Nk 时有 aak 由于 knk 故当 Nk 时有 Nnk 从而也有 aa k n 这就证明了 k n a 收敛 且与 n a 有相同的极限 充分性 考虑 n a 的非平凡子列 2k a 12 k a 与 3k a 按假设 它们都收敛 由于 6k a 既是 2k a 又是 3k a 的子列 故由刚才证明的必要性 limlimlim 362k k k k k k aaa 9 又 36 k a 既是 12 k a 又是 3k a 的子列 同样可得 limlim 312k k k k aa 10 9 式与 10 式给出 122 limlim k k k k aa 所以由课本例