初中尺规作图详细讲解(含图)

精品文档 1欢迎下载 初中数学尺规作图讲解初中数学尺规作图讲解 初等平面几何研究的对象 仅限于直线 圆以及由它们 或一部分 所组成的图形 因此作图的工具 习 惯上使用没有刻度的直尺和圆规两种 限用直尺和圆规来完成的作图方法 叫做尺规作图法 最简单的尺规作图 有如下三条 经过两已知点可以画一条直线 已知圆心和半径可以作一圆 两已知直线 一已知直线和一已知圆 或两已知圆 如果相交 可以求出交点 以上三条 叫做作图公法 用直尺可以画出第一条公法所说的直线 用圆规可以作出第二条公法所说的圆 用直尺和圆规可以求得第三条公法所说的交点 一个作图题 不管多么复杂 如果能反复应用上述三条作图公 法 经过有限的次数 作出适合条件的图形 这样的作图题就叫做尺规作图可能问题 否则 就称为尺规作图 不能问题 历史上 最著名的尺规作图不能问题是 三等分角问题 三等分一个任意角 倍立方问题 作一个立方体 使它的体积是已知立方体的体积的两倍 化圆为方问题 作一个正方形 使它的面积等于已知圆的面积 这三个问题后被称为 几何作图三大问题 直至 1837 年 万芝尔 Pierre Laurent Wantzel 首先证明三 等分角问题和立方倍积问题属尺规作图不能问题 1882 年 德国数学家林德曼 Ferdinand Lindemann 证明 是一个超越数 即 是一个不满足任何整系数代数方程的实数 由此即可推得根号 即当圆半径时所1r 求正方形的边长 不可能用尺规作出 从而也就证明了化圆为方问题是一个尺规作图不能问题 若干著名的尺规作图已知是不可能的 而当中很多不可能证明是利用了由 19 世纪出现的伽罗华理论 尽管 如此 仍有很多业余爱好者尝试这些不可能的题目 当中以化圆为方及三等分任意角最受注意 数学家 Underwood Dudley 曾把一些宣告解决了这些不可能问题的错误作法结集成书 还有另外两个著名问题 还有另外两个著名问题 正多边形作法 只使用直尺和圆规 作正五边形 只使用直尺和圆规 作正六边形 只使用直尺和圆规 作正七边形 这个看上去非常简单的题目 曾经使许多著名数学家都束手无策 因为正七边形是不能由尺规作出的 只使用直尺和圆规 作正九边形 此图也不能作出来 因为单用直尺和圆规 是不足以把一个角分成 三等份的 问题的解决 高斯 大学二年级时得出正十七边形的尺规作图法 并给出了可用尺规作图的正多边形 的条件 尺规作图正多边形的边数目必须是 2 的非负整数次方和不同的费马素数的积 解决了两千年来悬而未决的难题 四等分圆周 只准许使用圆规 将一个已知圆心的圆周 4 等分 这个问题传言是拿破仑 波拿巴出的 向全法国数学 家的挑战 尺规作图的相关延伸 尺规作图的相关延伸 用生锈圆规 即半径固定的圆规 作图 1 只用直尺及生锈圆规作正五边形 2 生锈圆规作图 已知两点 找出一点使得 ABCABBCCA 3 已知两点 只用半径固定的圆规 求作使是线段的中点 ABCCAB 4 尺规作图 是古希腊人按 尽可能简单 这个思想出发的 能更简洁的表达吗 顺着这思路就有了更简洁的表 达 10 世纪时 有数学家提出用直尺和半径固定的圆规作图 1672 年 有人证明 如果把 作直线 解释为 作 出直线上的 2 点 那么凡是尺规能作的 单用圆规也能作出 从已知点作出新点的几种情况 两弧交点 直线与弧交点 两直线交点 在已有一个圆的情况下 那么凡是尺规能作的 单用直尺也能作出 精品文档 2欢迎下载 五种基本作图 五种基本作图 初中数学的五种基本尺规作图为 1 做一线段等于已知线段 2 做一角等于已知角 3 做一角的角平分线 4 过一点做一已知线段的垂线 5 做一线段的中垂线 下面介绍几种常见的尺规作图方法 下面介绍几种常见的尺规作图方法 轨迹交点法 轨迹交点法 解作图题的一种常见方法 解作图题常归结到确定某一个点的位置 如果这两个点的位置是由 两个条件确定的 先放弃其中一个条件 那么这个点的位置就不确定而形成一个轨迹 若改 变放弃另一个条件 这个点就在另一条轨迹上 故此点便是两个轨迹的交点 这个利用轨迹 的交点来解作图题的方法称为轨迹交点法 或称交轨法 轨迹交截法 轨迹法 例例 1 电信部门要修建一座电视信号发射塔 如下图 按照设计要求 发射塔到两个城镇 的距离必须AB 相等 到两条高速公路 的距离也必须相等 发射塔应修建在什么位置 mnP n m B A G F E D O C2 C1 n m B A 分析分析 这是一道实际应用题 关键是转化成数学问题 根据题意知道 点应满足两个条件 一是在线段P 的垂直平分线上 二是在两条公路夹角的平分线上 所以点应是它们的交点 ABP 解析解析 作两条公路夹角的平分线或 ODOE 作线段的垂直平分线 则射线 与直线的交点 就是发射塔的位置 ABFGODOEFG 1 C 2 C 例例 2 在平面直角坐标系中 点的坐标是 是坐标原点 在直线上求一点 使A 40 O3yx P 是等腰三角形 这样的点有几个 AOP P P3 P2 P1 AO y x y x 3 解析解析 首先要清楚点需满足两个条件 一是点在上 二是必须是等腰三角形 其次 寻PP3yx AOP 找点要分情况讨论 也就是当时 以点为圆心 为半径画圆 与直线有两个点 POAOP OOA 1 P 精品文档 3欢迎下载 当时 以点为圆心 为半径画圆 与直线无交点 当时 作的垂直 2 POAAP AOAPOPA OA 平分线 与直线有一交点 所以总计这样的点有 3 个 3 PP 例例 3 设与相离 半径分别为与 求作半径为的圆 使其与及外切 O O R RrO O R R O O r r D C M2 M1 B A r O O R R r 分析分析 设是符合条件的圆 即其半径为 并与及外切 显然 点是由两个轨迹确定的 M rO O M 即点既在以为圆心以为半径的圆上 又在以为圆心以为半径的圆上 因此所求圆MORr O Rr 的圆心的位置可确定 若与相距为 当时 该题无解 当有唯一解 当O O b2rb 2rb 时 有两解 2rb 解析解析 以当与相距为 时为例 O O b2rb 作线段 OARr O BRr 分别以 为圆心 以 为半径作圆 两圆交于两点 O ORr Rr 12 M M 连接 分别交以为半径的于 两点 1 OM 2 OMRO DC 分别以为圆心 以为半径作圆 12 MM r 即为所求 12 MM 思考 若将例 3 改为 设与相离 半径分别为与 求作半径为的圆 使其与 内O O R Rr rR O 切 与外切 又该怎么作图 O 代数作图法 代数作图法 解作图题时 往往首先归纳为求出某一线段长 而这线段长的表达式能用代数方法求出 然 后根据线段长的表达式设计作图步骤 用这种方法作图称为代数作图法 例例 4 只用圆规 不许用直尺 四等分圆周 已知圆心 分析分析 设半径为 可算出其内接正方形边长为 也就是说用这个长度去等分圆周 我们的任务就是做出这12 个长度 六等分圆周时会出现一个的长度 设法构造斜边为 一直角边为 的直角三角形 331 的长度自然就出来了 2 解析解析 具体做法 精品文档 4欢迎下载 随便画一个圆 设半径为 1 先六等分圆周 这时隔了一个等分点的两个等分点距离为 3 以这个距离为半径 分别以两个相对的等分点为圆心 同向作弧 交于一点 两个相对的等分 点 其实就是直径的两端点啦 两弧交点与 两个相对的等分点 形成的是一个底为 2 腰为的等3 腰三角形 可算出顶点距圆心距离就是 2 以的长度等分圆周就可以啦 2 例例 5 求作一正方形 使其面积等于已知的面积 ABC 分析分析 设的底边长为 高为 关键是在于求出正方形的边长 使得 所以是与ABC ahx 2 1 2 xah x 1 2 a 的比例中项 h 解析解析 已知 在中 底边长为 这个底边上的高为 ABC ah 求作 正方形 使得 DEFG ABCDEFG SS 正方形 h a D CB A OG FE D NM 作法 作线段 1 2 MDa 在的延长线上取一点 使得 MDNDNh 取中点 以为圆心 为半径作 MNOOOMO 过作 交于 DDEMN O E 以为一边作正方形 DEDEFG 正方形即为所求 DEFG 例例 6 在已知直线 上求作一点 使得过作已知半径为的的切线 其切线长为 lMMrO a a r O l B A M2 M1 l O r 分析分析 先利用代数方法求出点与圆心的距离 再以为圆心 为半径作圆 此圆与直线 的交点即MOdOdl 精品文档 5欢迎下载 为所求 解析解析 作 使得 Rt OAB 90A OAr ABa 以为圆心 为半径作圆 OOB 若此圆与直线 相交 此时有两个交点 l 1 M 2 M 即为所求 1 M 2 M 若此圆与直线 相切 此时只有一个交点 即为所求 lMM 若此圆与直线 相离 此时无交点 即不存在这样的点使得过作已知半径为的的切线 lMMrO 其切线长为 a 旋转法作图 旋转法作图 有些作图题 需要将某些几何元素或图形绕某一定点旋转适当角度 以使已知图形与所求图 形发生联系 从而发现作图途径 例例 7 已知 直线 且 abcabc 求作 正 使得 三点分别在直线 上 ABC ABCabc c b a D D C B A c b a 分析分析 假设是正三角形 且顶点 三点分别在直线 上 作于 将ABC ABCabcADb D 绕点逆时针旋转后 置于的位置 此时点的位置可以确定 从而点也可以确ABD A60 ACD DC 定 再作 点又可以确定 故符合条件的正三角形可以作出 60BAC B 解析解析 作法 在直线上取一点 过作于点 aAAADb D 以为一边作正三角形 AD ADD 过作 交直线于 D D CAD cC 以为圆心 为半径作弧 交于 使与在异侧 AACbBB DAC 连接 得 ABACBCABC 即为所求 ABC 例例 8 已知 如图 为角平分线上一点 PAOB OM 求作 使得 且在上 在上 PCD 90P PCPD COADOB 精品文档 6欢迎下载 P M O B A l D C M E C D P M O B A 解析解析 过作于 PPEOB E 过作直线 PlOB 在直线 上取一点 使得 或 lMPMPE PMPE 过 或 作 或 交于 或 点 M MMCl M Cl OAC C 连接 或 过作 或 交于 或 点 PC PCPPDPC PDPC OBD D 连接 或 PD CD PD C D 则 或 即为所求 PCD PC D 位似法作图 位似法作图 利用位似变换作图 要作出满足某些条件的图形 可以先放弃一两个条件 作出与其位似的 图形 然后利用位似变换 将这个与其位似得图形放大或缩小 以满足全部条件 从而作出 满足全部的条件 例例 9 已知 一锐角 ABC 求作 一正方形 使得 在边上 在边上 在边上 DEFGDEBCFACGAB C B A G F E D G F ED C B A 分析分析 先放弃一个顶点在边上的条件 作出与正方形位似的正方形 然后利用位似FACDEFG D E F G 变换将正方形放大 或缩小 得到满足全部条件的正方形 D E F GDEFG 解析解析 作法 在边上任取一点 过作于AB G G G DBC D 以为一边作正方形 且使在的延长线上 G D D E F G E BD 作直线交于 BFACF 过分别作交于 作交于 F FGF G ABG FEF E BCE 过作交于 G GDG D BCD 则四边形即为所求 DEFG 精品文档 7欢迎下载 面积割补法作图 面积割补法作图 对于等积变形的作图题 通常在给定图形或某一确定图形上割下一个三角形 再借助平 行线补上一个等底等高的另一个三角形 使面积不变 从而完成所作图形 例例 10 如图 过的底边上一定点 求作一直线 使其平分的面积 ABC BCPlABC CB A P N MPCB A l 分析分析 因为中线平分的面积 所以首先作中线 假设平分的面积 在中先AMABC AMPQABC AMC 割去 再补上 只要 则和就同底等高 此时它们的面积就相等AMP ANP NMAP AMP AMP 了 所以就平分了的面积 PNABC 解析解析 作法 取中点 连接 BCM AM AP 过作交于 MMNAP ABN 过 作直线 PNl 直线 即为所求 l 例例 11 如图 五边形可以看成是由一个直角梯形和一个矩形构成 ABCDE 请你作一条直线 使直线 平分五边形的面积 llABCDE 这样的直线有多少条 请你用语言描述出这样的直线 F E D CB A l O O NM F E D C B A R Q P l O O F E D C B A 解析解析 取梯形的中位线的中点 再取矩形对角线的交点 则经过点 的AFDEMNOBCDF OO O 直线 即为所求 l 这样的直线有无数条 设 中的直线 交于 交于 过线段中点 且与线段 lAEQBCRRQPAE 均有交点的直线均可平分五边形的面积 BCABCDE 例例 12 江苏连云港 如图 点将线段分成两部分 如果 那么称点为线段的071CAB ACBC ABAC CAB 黄金分割点 某研究小组在进行课题学习时 由黄金分割点联想到 黄金分割线 类似地给出 黄金分割线 的定义 直线 将一个面积为的图形分成两部分 这两部分的面积分别为 如果 那么称直lS 1 S 2 S 12 1 SS SS 精品文档 8欢迎下载 线 为该图形的黄金分割线 l 研究小组猜想 在中 若点为边上的黄金分割点 如图 则直线是的ABC DAB2CDABC 黄金分割线 你认为对吗 为什么 请你说明 三角形的中线是否也是该三角形的黄金分割线 研究小组在进一步探究中发现 过点任作一条直线交于点 再过点作直线 CABEDDFCE 交于点 连接 如图 则直线也是的黄金分割线 请你说明理由 ACFEF3EFABC 如图 点是的边的黄金分割点 过点作 交于点 显然直线4EABCDAABEEFAD DCF 是的黄金分割线 请你画一条的黄金分割线 使它不经过各边黄金EFABCDAABCDAABCDA 分割点 解析解析 直线是的黄金分割线 理由如下 CDABC 设的边上的高为 ABC ABh 1 2 ADC SAD h A 1 2 BDC SBD h A 1 2 ABC SAB h