数学三角函数公式大全

精品文档 1欢迎下载 三角函数三角函数 1 与 0 360 终边相同的角的集合 角与角的终边重合 Zkk 360 终边在x轴上的角的集合 Zkk 180 终边在y轴上的角的集合 Zkk 90180 终边在坐标轴上的角的集合 Zkk 90 终边在y x轴上的角的集合 Zkk 45180 终边在轴上的角的集合 xy Zkk 45180 若角与角的终边关于x轴对称 则角与角的关系 k 360 若角与角的终边关于y轴对称 则角与角的关系 180360 k 若角与角的终边在一条直线上 则角与角的关系 k 180 角与角的终边互相垂直 则角与角的关系 90360 k 2 角度与弧度的互换关系 360 2 180 1 0 01745 1 57 30 57 18 注意 正角的弧度数为正数 负角的弧度数为负数 零角的弧度数为零 弧度与角度互换公式 1rad 57 30 57 18 1 180 0 01745 rad 180 3 弧长公式 扇形面积公式 rl 2 11 22 slrr 扇形 4 三角函数 设是一个任意角 在的终边上任取 异 于原点的 一点 P x y P 与原点的距离为 r 则 r y sin r x cos x y tan y x cot x r sec y r csc 5 三角函数在各象限的符号 一全二正弦 三切四余弦 oo o x y x y x y y x SIN COS三角函数值大小关系图 sinx cosx 1 2 3 4表示第一 二 三 四象限一半所在区域 1 2 3 4 1 2 3 4 sinx sinx sinx cosxcosx cosx r o x y a的 的 的 P x y T M A O P x y 精品文档 2欢迎下载 6 三角函数线 正弦线 MP 余弦线 OM 正切线 AT 7 三角函数的定义域 三角函数 定义域 sinx xf Rxx cosx xf Rxx tanx xf ZkkxRxx 2 1 且 cotx xf ZkkxRxx 且 secx xf ZkkxRxx 2 1 且 cscx xf ZkkxRxx 且 8 同角三角函数的基本关系式 tan cos sin cot sin cos 1cottan 1sincsc 1cossec 1cossin 22 1tansec 22 1cotcsc 22 9 诱导公式 2 k 把的三角函数化为的三角函数 概括为 奇变偶不变 符号看象限 三角函数的公式 一 基本关系 公式组二公式组二 公公式式组组一一 sinx cscx 1tanx x x cos sin sin2x cos2x 1 cosx secxx x x sin cos 1 tan2x sec2x tanx cotx 1 1 cot2x csc2x 1 3 个 o x 2 个 sinx x cosx cosx sinx cosx sinx sinx cosx sinx cosx cosx sinx 16 个 个 个 个 个 个 O O x y x y 精品文档 3欢迎下载 xxk xxk xxk xxk cot 2cot tan 2tan cos 2cos sin 2sin 公式组三公式组三 xx xx xx xx cot cot tan tan cos cos sin sin 公式组四公式组四 xx xx xx xx cot cot tan tan cos cos sin sin 公式组五公式组五 xx xx xx xx cot 2cot tan 2tan cos 2cos sin 2sin 公式组六公式组六 xx xx xx xx cot cot tan tan cos cos sin sin 二 角与角之间的互换 公式组一公式组一 公式组二公式组二 sinsincoscos cos cossin22sin sinsincoscos cos 2222 sin211cos2sincos2cos sincoscossin sin 2 tan1 tan2 2tan sincoscossin sin 2 cos1 2 sin tantan1 tantan tan 2 cos1 2 cos tantan1 tantan tan sin cos1 cos1 sin cos1 cos1 2 tan 精品文档 4欢迎下载 公式组三公式组三 公式组四公式组四 公式组五公式组五 2 tan1 2 tan2 sin 2 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 2 tan1 2 tan2 tan 2 4 26 75cos15sin 3275cot15tan 3215cot75tan 4 26 15cos75sin 10 正弦 余弦 正切 余切函数的图象的性质 xAysin A 0 定义域 RRR 值域 1 1 1 1 RR AA 周期性 2 2 2 奇偶性奇函数偶函数奇函数奇函数 当非奇非偶 0 当奇函数 0 coscos 2 1 sinsin coscos 2 1 coscos sinsin 2 1 sincos sinsin 2 1 cossin 2 cos 2 sin2sinsin 2 sin 2 cos2sinsin 2 cos 2 cos2coscos 2 sin 2 sin2coscos ZkkxRxx 2 1 且 ZkkxRxx 且 xycot xytan xycos xysin sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan sin 2 1 cos cos 2 1 sin cot 2 1 tan 精品文档 5欢迎下载 单调性 2 2 2 2 k k 上为增函 数 2 2 3 2 2 k k 上为减函 数 Zk 2 12 k k 上为增 函数 12 2 k k 上为减函 数 Zk kk 2 2 上为增函数 Zk 上为减函 1 kk 数 Zk 2 1 2 2 2 A k A k 上为增函数 2 3 2 2 2 A k A k 上为减函数 Zk 注意 与的单调性正好相反 与的单调性也同样xysin xysin xycos xycos 相反 一般地 若在上递增 减 则在上递减 增 xfy ba xfy ba 与的周期是 xysin xycos 或 的周期 sin xy cos xy0 2 T 的周期为 2 如图 翻折无效 2 tan x y 2 TT 的对称轴方程是 对称中心 sin xy 2 kxZk 0 k 的对称轴方程是 对称中心 cos xy kx Zk 0 2 1 k 的对称中心 tan xy0 2 k xxyxy2cos 2cos 2cos 原点对称 当 tan 1tan 2 Zkk tan 1tan 2 Zkk 与是同一函数 而是偶函数 则xycos kxy2 2 sin xy cos 2 1 sin xkxxy 函数在上为增函数 只能在某个单调区间单调递增 若在整个定义xytan R 域 为增函数 同样也是错误的 xytan 定义域关于原点对称是具有奇偶性的必要不充分条件 奇偶性的两个条件 一是 xf O y x 精品文档 6欢迎下载 定义域关于原点对称 奇偶都要 二是满足奇偶性条件 偶函数 奇函数 xfxf xfxf 奇偶性的单调性 奇同偶反 例如 是奇函数 是非奇非偶 xytan 3 1 tan xy 定义域不关于原点对称 奇函数特有性质 若的定义域 则一定有 的定义域 则无此x 0 xf 0 0 fx 0 性质 xysin 不是周期函数 为周期函数 xysin T 是周期函数 如图 为周期函数 xycos xycos T 的周期为 如图 并非所有周期函数都有最小正周期 例如 2 1 2cos xy Rkkxfxfy 5 有 a b babay cos sin sincos 22 yba 22 三角函数的图象变换有振幅变换 周期变换和相位变换等 函数 y Asin x 的振幅 A 周期 频率 相位初相 2 T 1 2 f T x 即当 x 0 时的相位 当 A 0 0 时以上公式可去绝对值符号 y x y cos x 图象 1 2 y x y cos2x 1 2 图象 精品文档 7欢迎下载 由 y sinx 的图象上的点的横坐标保持不变 纵坐标伸长 当 A 1 或缩短 当 0 A 1 到原来的 A 倍 得到 y Asinx 的图象 叫做振幅变换振幅变换或叫沿 y 轴的伸缩变 换 用 y A 替换 y 由 y sinx 的图象上的点的纵坐标保持不变 横坐标伸长 0 1 或缩短 1 到原来的倍 得到 y sin x 的图象 叫做周期变换周期变换或叫做沿 x 轴的伸缩 1 变换 用 x 替换 x 由 y sinx 的图象上所有的点向左 当 0 或向右 当 0 平行移动 个单 位 得到 y sin x 的图象 叫做相位变换相位变换或叫做沿 x 轴方向的平移 用 x 替换 x 由 y sinx 的图象上所有的点向上 当 b 0 或向下 当 b 0 平行移动 b 个单 位 得到 y sinx b 的图象叫做沿 y 轴方向的平移 用 y b 替换 y 由 y sinx 的图象利用图象变换作函数 y Asin x A 0 0 x R 的 图象 要特别注意 当周期变换和相位变换的先后顺序不同时 原图象延 x 轴量伸缩量的 区别 高中数学三角函数常见习题类型及解法高中数学三角函数常见习题类型及解法 1 三角函数恒等变形的基本策略 精品文档 8欢迎下载 1 常值代换 特别是用 1 的代换 如 1 cos2 sin2 tanx cotx tan45 等 2 项的分拆与角的配凑 如分拆项 sin2x 2cos2x sin2x cos2x cos2x 1 cos2x 配凑角 等 2 2 3 降次与升次 4 化弦 切 法 4 引入辅助角 asin bcos sin 这里辅助角所 22 ba 在象限由 a b 的符号确定 角的值由 tan 确定 a b 2 证明三角等式的思路和方法 1 思路 利用三角公式进行化名 化角 改变运算结构 使等式两边化 为同一形式 2 证明方法 综合法 分析法 比较法 代换法 相消法 数学归纳法 3 证明三角不等式的方法 比较法 配方法 反证法 分析法 利用函数 的单调性 利用正 余弦函数的有界性 利用单位圆三角函数线及判别法等 4 解答三角高考题的策略 1 发现差异 观察角 函数运算间的差异 即进行所谓的 差异分析 2 寻找联系 运用相关公式 找出差异之间的内在联系 3 合理转化 选择恰当的公式 促使差异的转化 四 例题分析 例 1 已知 求 1 2 2tan sincos sincos 的值 22 cos2cos sinsin 解 1 223 21 21 tan1 tan1 cos sin 1 cos sin 1 sincos sincos 2 22 22 22 cossin cos2cossinsin cos2cossinsin 3 24 12 222 1 cos sin 2 cos sin cos sin 2 2 2 2 说明 利用齐次式的结构特点 如果不具备 通过构造的办法得到 进行 弦 切互化 就会使解题过程简化 例 2 求函数的值域 2 1 sincos sincos yxxxx 解 设 则原函数可化为sincos2sin 22 4 txxx 即 因为 所以 22 13 1 24 yttt 22 t 即 精品文档 9欢迎下载 当时 当时 2t max 32y 1 2 t min 3 4 y 所以 函数的值域为 3 32 4 y 即 例 3 已知函数 2 4sin2sin22f xxxxR 即 1 求的最小正周期 的最大值及此时x的集合 f x f x 2 证明 函数的图像关于直线对称 f x 8 x 解 22 4sin2sin222sin2 1 2sin f xxxxx 2sin22cos22 2sin 2 4 xxx 1 所以的最小正周期 因为 f xT xR 所以 当 即时 最大值为 22 42 xk 3 8 xk f x2 2 2 证明 欲证明函数的图像关于直线对称 只要证明对任意 f x 8 x xR 有成立 88 fxfx 因为 2 2sin 2 2 2sin 2 2 2cos2 8842 fxxxx 2 2sin 2 2 2sin 2 2 2cos2 8842 fxxxx 所以成立 从而函数的图像关于直线对称 88 fxfx f x 8 x 例 4 已知函数 y cos2x sinx cosx 1 x R 2 1 2 3 1 当函数 y 取得最大值时 求自变量 x 的集合 2 该函数的图像可由 y sinx x R 的图像经过怎样的平移和伸缩变换 得到 解 1 y cos2x sinx cosx 1 2cos2x 1 2 1 2 3 4 1 2sinx cosx 1 4 1 4 3 cos2x sin2x cos2x sin sin2x cos 4 1 4 3 4 5 2 1 6 6 4 5 sin 2x 2 1 6 4 5 所以 y 取最大值时 只需 2x 2k k Z 即 6 2 精品文档 10欢迎下载 x k k Z 6 所以当函数 y 取最大值时 自变量 x 的集合为 x x k k Z 6 2 将函数 y sinx 依次进行如下变换 i 把函数 y sinx 的图像向左平移 得到函数 y sin x 的图像 6 6 ii 把得到的图像上各点横坐标缩短到原来的倍 纵坐标不变 得到 2 1 函数 y sin 2x 的图像 6 iii 把得到的图像上各点纵坐标缩短到原来的倍 横坐标不变 得 2 1 到函数 y sin 2x 的图像 2 1 6 iv 把得到的图像向上平移个单位长度 得到函数 y sin 2x 4 5 2 1 6 的图像 4 5 综上得到 y cos2x sinxcosx 1 的图像 2 1 2 3 说明 本题是 2000 年全国高考试题 属中档偏容易题 主要考查三角函数 的图像和性质 这类题一般有两种解法 一是化成关于 sinx cosx 的齐次式 降幂后最终化成 y sin x k 的形式 二是化成某一个三角函数 22 ba 的二次三项式 本题 1 还可以解法如下 当 cosx 0 时 y 1 当 cosx 0 时 y 1 1 xx xxx 22 2 cossin cossin 2 3 cos 2 1 x x 2 tan1 tan 2 3 2 1 化简得 2 y 1 tan2x tanx 2y 3 03 tanx R 3 8 y 1 2y 3 0 解之得 y 4 3 4 7 ymax 此时对应自变量 x 的值集为 x x k k Z 4 7 6 例 5 已知函数 3 cos3 3 cos 3 sin 2x xx xf 将f x 写成的形式 并求其图象对称中心的横坐标 sin xA 如果 ABC 的三边 a b c 满足 b2 ac 且边 b 所对的角为 x 试求 x 的范围及此时函数f x 的值域 解 2 3 33 2 sin 2 3 3 2 cos 2 3 3 2 sin 2 1 3 2 cos1 2 3 3 2 sin 2 1 xxxxx xf 由 0 即 33 2 sin x zk k xzkk x 2 13 33 2 得 即对称中心的横坐标为zk k 2 13 精品文档 11欢迎下载 由已知 b2 ac 2 3 1 33 2 sin 31 33 2 sin 3 sin 29 5 23 9 5 33 2 33 01cos 2 1 2 1 2 2 22 cos 22222 xx x xx ac acac ac acca ac bca x 即的值域为 xf 2 3 1 3 综上所述 值域为 3 0 x xf 2 3 1 3 说明 本题综合运用了三角函数 余弦定理 基本不等式等知识 还需要利用 数形结合的思想来解决函数值域的问题 有利于培养学生的运算能力 对知识 进行整合的能力 例 6 在中 a b c分别是角A B C的对边 且 ABCA cos3 cos Cac Bb 1 求的值 sin B 2 若 且a c 求的面积 4 2b ABCA 解 1 由正弦定理及 有 cos3 cos Cac Bb cos3sinsin cossin CAC BB 即 所以 sincos3sincossincosBCABCB sin 3sincosBCAB 又因为 所以 因为ABC sin sinBCA sin3sincosAAB 所以 又 所以 sin0A 1 cos 3 B 0B 2 2 2 sin1 cos 3 BB 2 在中 由余弦定理可得 又 ABCA 22 2 32 3 acac ac 所以有 所以的面积为 22 4 3224 3 aa 即即ABCA 2 11 sinsin8 2 22 SacBaB 精品文档 12欢迎下载 三角函数 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 已知点P tan cos 在第三象限 则角 的终边在 A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 集合M x x k Z Z 与N x x k Z Z 之间的关系是 k 2 4 k 4 A M NB N M C M N D M N 3 若将分针拨慢十分钟 则分针所转过的角度是 A 60 B 60 C 30 D 30 4 已知下列各角 1 787 2 957 3 289 4 1711 其中在第一象限 的角是 A 1 2 B 2 3 C 1 3 D 2 4 5 设a 0 角 的终边经过点P 3a 4a 那么 sin 2cos 的值等于 A B C D 2 5 2 5 1 5 1 5 6 若 cos 2 则 sin 2 等于 1 2 3 2 A B C D 3 2 3 2 1 2 3 2 7 若 是第四象限角 则 是 A 第一象限角B 第二象限角 C 第三象限角D 第四象限角 8 已知弧度数为 2 的圆心角所对的弦长也是 2 则这个圆心角所对的弧长是 A 2 B C 2sin1 D sin2 2 sin1 9 如果 sinx cosx 且 0 x 那么 cotx的值是 1 5 A B 或 C D 或 4 3 4 3 3 4 3 4 4 3 3 4 10 若实数x满足 log2x 2 sin 则 x 1 x 10 的值等于 A 2x 9 B 9 2x C 11 D 9 二 填空题 本大题共 6 小题 每小题 5 分 共 30 分 精品文档 13欢迎下载 11 tan300 cot765 的值是 12 若 2 则 sin cos 的值是 sin cos sin cos 13 不等式 lg20 2cosx 1 x 0 的解集为 14 若 满足 cos 则角 的取值集合是 1 2 15 若 cos130 a 则 tan50 16 已知f x 若 则f cos f cos 可化简为 2 三 解答题 本大题共 5 小题 共 70 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 本小题满分 12 分 设一扇形的周长为C C 0 当扇形中心角为多大时 它有最大 面积 最大面积是多少 18 本小题满分 14 分 设 90 180 角 的终边上一点为 P x 且 cos 5 x 求 sin 与 tan 的值 2 4 19 本小题满分 14 分 已知 sin cos 求m的值 2 m 3 m 5 4 2m m 5 20 本小题满分 15 分 已知 0 45 且 lg tan lg sin lg cos lg cot 2lg3 lg2 求 cos3 sin3 的值 3 2 21 本小题满分 15 分 已知 sin 5 cos 和cos cos 2 7 232 且 0 0 求 和 的值 精品文档 14欢迎下载 三角函数 一 选择题 本大题共 10 小题 每小题 5 分 共 50 分 1 下列函数中 最小正周期为 的偶函数是 A y sin2x B y cos x 2 C y sin2x cos2xD y 1 tan2x 1 tan2x 2 设函数y cos sinx 则 A 它的定义域是 1 1 B 它是偶函数 C 它的值域是 cos1 cos1 D 它不是周期函数 3 把函数y cosx的图象上的所有点的横坐标缩小到原来的一半 纵坐标扩大到原来的两 倍 然后把图象向左平移个单位 则所得图象表示的函数的解析式为 4 A y 2sin2xB y 2sin2x C y 2cos 2x D y 2cos 4 x 2 4 4 函数y 2sin 3x 图象的两条相邻对称轴之间的距离是 4 A B C D 3 2 3 4 3 5 若 sin cos m 且 m 1 则 角所在象限是 2 A 第一象限B 第二象限 C 第三象限D 第四象限 6 函数y cotx sinx 0 x 且x 的图象是 3 2 精品文档 15欢迎下载 7 设y 则下列结论中正确的是 cos2x 1 sinx A y有最大值也有最小值 B y有最大值但无最小值 C y有最小值但无最大值 D y既无最大值又无最小值 8 函数y sin 2x 的单调增区间是 4 A k k k Z Z B k k k Z Z 3 8 8 8 5 8 C k k k Z Z D k k k Z Z 8 3 8 3 8 7 8 9 已知 0 x 且 a 0 那么函数f x cos2x 2asinx 1 的最小值是 1 2 A 2a 1 B 2a 1 C 2a 1 D 2a 10