第17讲 高等数学(十七)(2010新版)

1 页 三 例题 例 1 4 l 判别级数sin 的收敛性 1n 1 n 解 级数 sin 为正项级数 因为 1n 1 n 而级数发散 p 级数 p 1 的情形 根据比较审敛法的极限形式知此级数发散 1n 1 n 例 1 4 2 判别级数 的收敛性 解 所给级数为正项级数 因为 根据比值审敛法知所给级数发散 例 1 4 3 判别级数的收敛性 1n 1 n n 解 所给级数为正项级数 因为 根据根值审敛法知所给级数收敛 例 1 4 4 数项级数的部分和数列有界是该级数收敛的 A 充分条件 B 必要条件 C 充分必要条件 2 页 D 既非充分又非必要条件 解 按数项级数收敛的定义 级数收敛即级数的部分和数列有极限 而部分和数列有界是部分和 数列有极限的必要条件 故选 B 注意对正项级数来说 部分和数列有界是级数收敛的充分必要条件 而对一般的非正项级数来说 部 分和数列有界仅是级数收敛的必要条件 而不是充分条件 例 1 4 5 级数 的收敛性是 A 发散 B 条件收敛 C 绝对收敛 D 无法判定 解 按莱布尼兹判别法知 级数收敛 级数是 p 级数的情形 p 1 故级数发散 1 1 2 1 n n 1 2 p 因此应选 B 例 1 判别级数 的收敛性 解 所给级数是任意项级数 因为 而级数是收敛的 p 级数 p 4 根据比较审敛法知 级数收敛 即级数 4 1 1 n n 4 1 sin n n n 绝对收敛 从而级数收敛 4 1 sin n n n 3 页 例 1 4 7 判别级数的收敛性 解 所给级数为任意项级数 因为 根据任意项级数审敛法 3 知 所给级数发散 例 1 4 8 下列各选项正确的是 二 幂级数泰勒级数 一 幂级数的概念和性质 1 幂级数的概念 称为幂级数 令 可化为 0 0 n n n axx 0 txx 0 n n n a t 2 幂级数的收敛性 若级数当时收敛 则对适合的一切 x 级数绝对收敛 若级数 0 n n n a x 00 0 xx x 0 xx 0 n n n a x 当时发散 则对适合的一切 x 级数发散 0 n n n a x 0 xx 0 xx 0 n n n a x 3 幂级数的收敛半径及其求法 4 页 若幂级数在某些点收敛 在某些点发散 则必存在唯一的正数 R 使当时 级数绝对 0 n n n a x xR 收敛 当时 级数发散 这个 R 称为幂级数的收敛半径 若幂级数只在 x 0 处收敛 则规定收xR 敛半径 R 0 若幂级数对一切 x 都收敛 则规定收敛半径R 对幂级数若 0 n n n a x 则它的收敛半径 4 幂级数的性质 若幂级数的收敛半径为 R 则称开区间 R R 为幂级数的收敛区间 0 n n n a x 根据幂级数在 x R 处的收敛情况 可以决定幂级数的收敛域 即收敛点的全体 是四个区间 R R R R R R R R 之一 幂级数具有以下性质 l 幂级数的和函数在其收敛域上连续 0 n n n a x 2 幂级数的和函数在其收敛区间内可导 且有逐项求导 逐项积分公式 0 n n n a x 逐项求导 逐项积分后所得到的幂级数和原级数有相同的收敛半径 二 泰勒级数 5 页 1 泰勒级数的概念 若 f x 在点 x0处具有各阶导数 则幂级数称为函数 f x 在点 x0处 00 0 1 nn n fxxx n 的泰勒级数 特别当 x0 0 时 级数称为函数 f a 的麦克劳林级数 0 0 1 0 nn n fx n 2 函数展开成泰勒级数的条件 设函数 f x 在点 x0的某邻域 U x0 内具有各阶导数 则 f x 在该邻域内能展