动力学临界问题解题技巧

动力学临界问题的类型与处理方法 问题的缘起 问题的缘起 高中物理中的动力学临界问题是一类较难的题目 本文尝试从牛顿第二定律的等号的含义等号的含义的挖 掘出发 提出这类问题的产生原因 基本类型和基本解决方法 一 动力学临界问题的本质一 动力学临界问题的本质 供需匹配问题供需匹配问题 牛顿第二定律 等式的左边是其他物体提供给物体的力提供给物体的力 供 右边是物体以加速maF 度 a 运动时所需要的力所需要的力 需 因此实际上是供需匹配的方程实际上是供需匹配的方程 maF 当某些外界条件变化时 a 可能变化 因此物体所需要的力可能发生变化 这就存在供需匹配 问题 动力学临界问题 本质上讲 就是供需匹配问题 供需相匹配 等号成立 则可维持两物体间的某种关联 如相对静止 距离不变等 若供需不匹配 等号不成立 则两物体间的该种关联被破坏 如两物体相对滑动 距离增 大或者减小等 二 动力学临界问题的类型二 动力学临界问题的类型 依据其他物体提供给物体的力提供给物体的力的特点 可将动力学临界问题分为两大类型 供可变型和供不可 变型 1 供可变型 供可变型 其他物体提供的力可以在一定范围内变化 若所需要的力在该范围内 则能够维持物体间的某 种关联 若所需要的力超出该范围 则物体间的该种关联被破坏 具有这种特点的力 主要是两大类 静摩擦力和弹力 具体分析如下 1 静摩擦力 静摩擦力 Ffm Ff Ffm Nf FF 0m 若 所需 Ff Ffm 则两物体相对静止 若 所需 Ff Ffm 则两物体相对滑动 2 弹力 弹力 FN 0 0 FT FTm 支持力 压力 FN 所需 FN 0 则两物体相互接触 所需 FN 0 则两物体相互分离 绳中张力 FT 所需 FT满足 0 FT FTm 则绳子绷直 两物体维持某间距 所需 FT 0 则绳子松弛 两物体间距减小 靠近 所需 FT FTm 则绳子绷断 两物体间距增大 分开 2 供不可变型 供不可变型 特定位置处 其他物体提供的力是一个确定的值 若需要的力等于该值 则能够维持物体间的 相对位置 若需要的力不等于该值 则两物体接近或者远离 具有这种特点的力有万有引力 库仑力 弹簧弹力等 其中万有引力作用下人造卫星的变轨问 题就属于这类问题的典型 下文重点是供可变型 所以将此问题的处理方法单独在此处说明 下文 不再赘述 如右图所示 人造卫星在离地心 r 处的 A 点以某速度 vA发射 若发射速度合适 为 v 卫星 在该处所受万有引力恰好等于其在该圆周轨道上做圆周运动所需要的向心力 则卫星就能在该轨道 上做圆周运动 有 r v m r Mm G 2 2 解得 r GM v 即有 若 所需要的向心力 供求平衡 卫星将做圆周运动 r GM vvA 2 2 r Mm G r v m A 若 所需要的向心力 供不应求 卫星将做离心运动 r GM vvA 2 2 r Mm G r v m A 若 所需要的向心力 供过于求 卫星将做近心运动 r GM vvA 2 2 r Mm G r v m A 三 动力学临界问题处理的基本方法三 动力学临界问题处理的基本方法 动力学临界问题的处理方法有两种 1 物理分析法 物理分析法 第一步 极端分析法 找到临界点 第二步 分析临界条件 受力转变条件 如 Ff Ffm FN 0 FT 0 FT FTm 2 数学解析法 数学解析法 第一步 假设法 假设物体间的该关联正常 第二步 动力学方程 或平衡方程 受力范围条件 如 Ffm Ff Ffm FN 0 0 FT FTm 不过 在此处要做一个说明 物理分析法对学生的生活经验或者物理实验的经验有较强的依赖 性 而数学解析法则对学生的数学能力 解不等式组 有较高的要求 因此 两种方法各有优 劣 不同学生 不同问题 方法的选择就会不同 例 1 静摩擦力类 如图所示 质量 M 8kg 小车放在光滑的水平面上 在小车上面静止放 置一质量 m 2kg 的小物块 物块与小车间的动摩擦因数 0 2 现在小车右端施加一水平拉力 F 要使物块保持与小车相对静止 则拉力 F 不能超过多少 g 取 10m s2 解析 方法一 物理分析法方法一 物理分析法 第一步 极端分析法 找到临界点 根据经验 我们知道 拉力 F 很小时 m 将随 M 一起向右加速运动 拉力 F 很大时 m 将相 对 M 向后滑动 因此 拉力 F 从很小逐渐增大时 必定有一个时候 F 取某个值 F0 此时 m 就要相对 M 向后滑动但还没有相对滑动 这个状态即为本问题的临界点 第二步 分析临界条件 受力转变条件 在拉力 F 很小时 m 之所以能够随 M 一起向右加速运动 是因为 M 对 m 的静摩擦力足以维持 两物体相对静止 给 m 提供随 M 一起向右加速运动的加速度 这个加速度随整体加速度增大 而增大 当达到临界点时 整体加速度达到了一个临界值 此时 是最大静摩擦力给 m 提供加速 度 若整体加速度再增大 静摩擦力将不足以提供足够大的加速度 不能满足需要 于是就会发 生相对滑动 即 最大静摩擦力给 m 提供加速度 是本问题的临界受力转变条件 小物块 0 mamg 整体 00 amMF 联立解得 N20 0 gmMF 即 拉力 F 不能超过 20N 方法二 数学解析法方法二 数学解析法 第一步 假设法 假设物体间的该关联正常 设 m 随 M 一起向右加速运动 加速度为 a 第二步 动力学方程 或平衡方程 受力范围条件 小物块 maFf 静 整体 amMF 其中 mgFf 静 联立解得N20 F 总结 本问题中研究对象的选取是关键 在本题中 对m才有供需匹配的问题 对 M来说 拉力F需要多大 就可以施加多大 因此 应先选m为研究对象来分析临界受力转变条 件 若本题拉力F施加在m上 则应先选M为研究对象来分析临界受力转变条件 例 2 静摩擦力类 如图所示 质量 m 1 kg 的物块放在倾角为 的斜面上 斜面体质量 M 2 kg 斜面与物块间的动摩擦因数 0 2 地面光滑 37 现对斜面体施加一水平推力 F 要使物体 m 相对斜面静止 力 F 应为多大 设物体与斜面的最大静摩擦 力等于滑动摩擦力 g 取 10 m s2 解析 方法一 物理分析法方法一 物理分析法 第一步 极端分析法 找到临界点 推力 F 很小时 由于本题中 物体 m 就会相对斜面下滑 推力 F 很大时 物体 m 37tan 就会相对斜面上滑 因此 本题有两个临界点 推力 F 较小且大小合适时 物体就要相对斜面向下 滑而没有下滑 推力 F 较大且大小合适时 物体就要相对斜面向上滑而没有上滑 第二步 分析临界条件 受力转变条件 推力 F 大小合适时 物体 m 之所以能够相对斜面静止 是因为能够提供的静摩擦力足以维持 物体 m 相对斜面静止 当推力 F 较小且大小合适时 物体就要相对斜面向下滑而没有下滑 此时 是沿斜面向上的最大静摩擦力维持物体 m 相对斜面静止 设此时推力为 F1 此时物块受力如图 甲 对 m 有 x 方向 FN1sin FN1cos ma1 y 方向 FN1cos FN1sin mg 0 解 两式得 a1 4 78 m s2 对整体有 F1 M m a1 所以 F1 14 34 N 当推力 F 较大且大小合适时 物体就要相对斜面向上滑而没有上滑 此时是沿斜面向下的最大静摩擦力维持物体 m 相对斜面静止 设此时推 力为 F2 此时物块受力如图乙 对 m 有 x 方向 FN2sin FN2cos ma2 y 方向 FN2cos FN2sin mg 0 解 两式得 a2 11 2 m s2 对整体有 F2 M m a2 所以 F2 33 6 N F 的范围为 14 34 N F 33 6 N 方法二 数学解析法方法二 数学解析法 第一步 假设法 假设物体间的该关联正常 设 m 随 M 一起向左加速运动 加速度为 a 此时物块受力如图丙 a FN Ff 丙 第二步 动力学方程 或平衡方程 受力范围条件 对 m 有 x 方向 FNsin Ffcos ma y 方向 FNcos Ffsin mg 0 由于推力 F 较小时 物体 m 有相对斜面下滑的趋势 摩擦力沿斜面向上 推力 F 较大时 物体 m 有相对斜面上滑的趋势 摩擦力沿斜面向下 则有 FN Ff FN 解 三式 得 F 的范围为 14 34 N F 33 6 N 总结 物理分析法对学生分析能力要求较高 但是其分析出来的结果很直观 数学解析法尽 管分析过程简单些 但计算上讲麻烦一点 而且算出来的结果直观性较差 例 3 弹力类 FN 试分析在竖直平面内的圆周轨道内侧运动时 小球通过最高点的条 件 解析 方法一 物理分析法方法一 物理分析法 第一步 极端分析法 找到临界点 根据实验 我们知道 小球在最低点初速度较大时 小球可以在圆 周轨道内侧做完整圆周运动 小球在最低点初速度较小时 小球在到达 最高点前就已脱离轨道做了斜抛运动 因此 必定有一种情况 小球在 最低点初速度合适时 小球刚好能够通过圆周最高点 由能量守恒可知 此时小球在最高点速度是确定的某个值 第二步 分析临界条件 受力转变条件 小球速度较大时 小球在最高点会紧压轨道 小球速度较小 小球到最高点前就脱离轨道后与 轨道分开 因此 小球刚好通过最高点时 就是刚好到达最高点且不压轨道时 即 FN 0 此时 对小球 解得 R v mmg 2 gRv 即小球通过最高点的条件是 小球在最高点的速度gRv 方法二 数学解析法方法二 数学解析法 第一步 假设法 假设物体间的该关联正常 设小球能够通过最高点 并设此时小球通过最高点的速度为 v 其受力如图所示 第二步 动力学方程 或平衡方程 受力范围条件 对小球 有 R v mFmg N 2 其中 FN只可能向下 不可能向上 即 0 N F 联立 解得gRv 总结 如下图甲 乙两种情况中 FT FN均只能竖直向下 因此小球能够通过最高点的条 件均是 gRv 如图丙 FN mg 的情况 轻杆对小球的弹力既可向下也可向上 因此速度既可大于 也可小于 即小球gRgR 能够通过最高点的条件是 0 v 例 4 弹力类 FN 如右图所示 在倾角为 的光滑斜面上端固定一劲度系数为 k 的轻 质弹簧 弹簧下端连有一质量为 m 的小球 小球被一垂直于斜面的挡板 A 挡住 此时弹簧没有形 变 若手持挡板 A 以加速度 a a gsin 沿斜面匀加速下滑 求 从挡板开始运动到小球与挡板分离 所经历的时间 解析 方法一 物理分析法方法一 物理分析法 第一步 极端分析法 找到临界点 挡板 A 下滑过程中 最开始一段时间 小球和挡板一直紧压在一起 具有相同的加速度 当挡 板 A 下滑太远时 小球和挡板就分开了 因此 必定有一个临界点 小球就要离开挡板但还没有 离开 第二步 分析临界条件 受力转变条件 开始时小球和挡板一直紧压在一起 两者之间有压力 当小球和挡板就 分开后 两者之间没有压力 因此 小球就要离开挡板时 小球和挡板间 的压力为 FN 0 此时 对小球 有 mgsin kx ma 即小球做匀加速运动发生的位移为 x 时小球与挡板分离 m gsin a k 由运动学公式 x at2得从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间为 t 1 2 2m gsin a ka 方法二 数学解析法方法二 数学解析法 第一步 假设法 假设物体间的该关联正常 设小球尚未与挡板分离 则其受力如图所示 第二步 动力学方程 或平衡方程 受力范围条件 此时 对小球 有 mgsin FN kx ma 其中 0 N F 联立解得 x m gsin a k 即小球做匀加速运动发生的位移为 x 时小球与挡板 m gsin a k 分离 由运动学公式 x at2得从挡板开始运动到小球与挡板分离所经历的时间为 t 1 2 2m gsin a ka 总结 分离类问题 分离条件均是相互接触的两个物体间压力 FN 0 时 不过要注意的是 FN1 F弹 弹 FN1 F弹 弹 FN 分离之前直到分离瞬间 相互接触的两个物体在垂直接触面方向始终具有速度和相同加速度 很多 学生以为小球加速度为零时分离 从而出错 例 5 弹力类 FT 如图所示 绳 AC BC 一端拴在竖直杆上 另一端拴着一个质量为 m 的小球 其中 AC 杆长度为 l 当竖直杆以某一角速度 转动时 绳 AC BC 均处于绷直状态 此 时 AC 绳与竖直方向夹角为 30 BC 绳与竖直方向夹角为 45 试求 的取值范围 已知重力加速 度为 g 解析 方法一 物理分析法方法一 物理分析法 第一步 极端分析法 找到临界点 根据经验 我们知道 当只有 AC 绳时 转动杆的角速度 越大 AC 绳偏 离竖直方向的夹角就越大 因此 在本题中 若杆转动的角速度 太小 AC 绳 偏离竖直方向的夹角太小 BC 绳就会松弛 若杆转动的角速度 太大 BC 绳偏 离竖直方向的夹角太大 AC 绳就会松弛 杆转动的角速度 合适时 绳 AC BC 均处于绷直状态 即存在两个临界点 杆转动的角速度 较小 BC 绳刚好松弛 杆转动的角速度 较大 AC 绳刚好松弛 这两种情况下 AC 绳 BC 绳与竖直方向夹角分别为 30 和 45 不变 第二步 分析临界条件 受力转变条件 杆转动的角速度 较小 BC 绳刚好松弛 此时 BC 绳中的张力为零 只有 AC 绳中有张力 FT1 设此时的角速度为 1 则有 竖直方向 FT1cos30 mg 0 水平方向 FT1sin30 m 12r 其中 r lsin30 联立解得 l g 3 32 1 杆转动的角速度 较大 AC 绳刚好松弛 此时 AC 绳中的张力为零 只有 AC 绳中有张力 FT2 设此时的角速度为 2 则有 竖直方向 FT2cos45 mg 0 水平方向 FT2sin45 m 22r 其中 r lsin30 联立解得 l g2 2 则当杆转动角速度满足时 绳 AC BC 均处于绷直状态 l g l g2 3 32 方法二 数学解析法方法二 数学解析法 第一步 假设法 假设物体间的该关联正常 设竖直杆以某一角速度 转动时 绳 AC BC 均处于绷直状态 此时 AC 绳中张力为 FT1 BC 绳中张力为 FT2 第二步 动力学方程 或平衡方程 受力范围条件 由牛顿第二定律 有 竖直方向 FT1cos30 FT2cos45 mg 0 水平方向 FT1sin30 FT2sin45 m 12r 由于绳 AC BC 均处于绷直状态 因此有FT1 0 FT2 0 联立解得 l g l g2 3 32 总结 对大多数学生来说 物理分析法分析这个问题要简单直接一些 数学解