第六章 第二节

第二节二元一次不等式(组)及简单的线性规划问题1一元二次不等式(组)表示的平面区域不等式表示区域AxByC0直线AxByC0某一侧的所有点组成的平面区域不包括边界直线AxByC0包括边界直线不等式组各个不等式所表示平面区域的公共部分2确定二元一次不等式(组)表示的平面区域的方法步骤以上简称为“直线定界，特殊点定域”.3简单的线性规划中的基本概念名称意义约束条件由变量x，y组成的不等式(组)线性约束条件由变量x，y组成的一次不等式(组)目标函数关于x，y的函数解析式，如z2x3y等线性目标函数关于x，y的一次函数解析式可行解满足线性约束条件的解(x，y)可行域所有可行解组成的集合最优解使目标函数取得最大值或最小值的可行解线性规划问题在线性约束条件下求线性目标函数的最大值或最小值问题1判断下面结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)不等式AxByC0表示的平面区域一定在直线AxByC0的上方()(2)线性目标函数的最优解可能是不唯一的()(3)线性目标函数取得最值的点一定在可行域的顶点或边界上()(4)在目标函数zaxby(b0)中，z的几何意义是直线axbyz0在y轴上的截距()答案：(1)(2)(3)(4)2不等式组表示的平面区域是()解析：选Cx3y60所表示的平面区域内，则m的取值范围是_解析：点(m,1)在不等式2x3y50所表示的平面区域内，2m350，即m1.答案：(1，)6若实数x，y满足约束条件则x2y的最大值为_解析：画出可行域如图中阴影部分所示，令zx2y，可知zx2y在点A(1,1)处取得最大值1.答案：1考点一二元一次不等式(组)表示的平面区域二元一次不等式(组)表示的平面区域问题，高考主要考查：(1)求平面区域的面积；(2)已知平面区域求参数的取值或范围，一般以选择题、填空题出现，难度不大.(一)直接考求平面区域的面积1不等式组表示的平面区域的面积为()A4B1C5 D无穷大解析：选B不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，ABC的面积即所求求出点A，B，C的坐标分别为A(1,2)，B(2，2)，C(3,0)，则ABC的面积为S(21)21.2不等式组所表示的平面区域的面积为_解析：如图，平面区域为直角梯形，易得A(0,2)，B(2,2)，C(2,7)，D(0，5)，所以AD3，AB2，BC5.故所求区域的面积为S(35)28.答案：8题型技法解决求平面区域面积问题的方法步骤(1)画出不等式组表示的平面区域；(2)判断平面区域的形状，并求得直线的交点坐标、图形的边长、相关线段的长(三角形的高、四边形的高)等，若为规则图形则利用图形的面积公式求解；若为不规则图形则利用割补法求解(二)迁移考根据平面区域满足的条件求参数3已知约束条件表示面积为1的直角三角形区域，则实数k的值为()A1B1C0 D2解析：选A作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，要使阴影部分为直角三角形，当k0时，此三角形的面积为331，所以不成立，所以k0，则必有BCAB，因为xy40的斜率为1，所以直线kxy0的斜率为1，即k1，故选A.4若不等式组表示的平面区域是一个三角形，则实数a的取值范围是()A. B(0,1C. D(0,1解析：选D不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示由得A，由得B(1,0)若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则直线xya中a的取值范围是0a1或a.题型技法根据平面区域确定参数的方法在含有参数的二元一次不等式组所表示的平面区域问题中，首先把不含参数的平面区域确定好，然后用数形结合的方法根据参数的不同取值情况画图观察区域的形状，根据求解要求确定问题的答案简单的线性规划问题是高考的重点，而简单的线性规划问题具有代数和几何的双重形式，多与函数、平面向量、数列、三角、概率、解析几何等问题交叉渗透.,常见的命题角度有：(1)求线性目标函数的最值及范围；(2)求非线性目标函数的最值；(3)线性规划中的参数问题.题点全练角度(一)求线性目标函数的最值及范围1(2017全国卷)设x，y满足约束条件则zxy的取值范围是()A3,0B3,2C0,2 D0,3解析：选B作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l0：yx，平移直线l0，当直线zxy过点A(2,0)时，z取得最大值2，当直线zxy过点B(0,3)时，z取得最小值3，所以zxy的取值范围是3,22(2017全国卷)设x，y满足约束条件则z3x2y的最小值为_解析：画出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域知，当直线yx过点A时，在y轴上的截距最大，此时z最小，由解得即A(1,1)所以zmin5.答案：5题型技法求目标函数最值的一般步骤角度(二)求非线性目标函数的最值3(2018太原模拟)已知实数x，y满足约束条件则zx2y2的取值范围为()A1,13 B1,4C. D.解析：选C不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由此得zx2y2的最小值为点O到直线BC：2xy20的距离的平方，zmin，最大值为点O与点A(2,3)的距离的平方，zmax|OA|213.题型技法常见的2种非线性目标函数及其意义(1)点到点的距离型：形如z(xa)2(yb)2，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)的距离的平方；(2)斜率型：形如z，表示区域内的动点(x，y)与定点(a，b)连线的斜率角度(三)线性规划中的参数问题4当实数x，y满足时，1axy4恒成立，则实数a的取值范围是_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，由1axy4恒成立，结合图可知，a0且在A(1,0)处取得最小值，在B(2,1)处取得最大值，所以a1，且2a14，故a的取值范围为.答案：题型技法求解线性规划中含参问题的基本方法(1)把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围(2)先分离含有参数的式子，通过观察的方法确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数题“根”探求1学会“3转化”(1)线性约束条件可行域(2)线性目标函数zAxBy一组平行线yx.(3)最值平行线组的最大(小)纵截距.2活用“2结论”(1)线性目标函数的最大(小)值一般在可行域的顶点处取得，也可能在边界处取得(2)求线性目标函数的最优解，要注意分析线性目标函数所表示的几何意义与y轴上的截距相关的数冲关演练1(2017浙江高考)若x，y满足约束条件则zx2y的取值范围是()A0,6 B0,4C6，) D4，)解析：选D作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示，由zx2y，得yx，是直线yx在y轴上的截距，根据图形知，当直线yx过A点时，取得最小值由得x2，y1，即A(2,1)，此时，z4，zx2y的取值范围是4，)2(2018成都一诊)若实数x，y满足约束条件则的最小值为_解析：作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为表示平面区域内的点与定点P(0,1)连线的斜率由图知，点P与点A连线的斜率最小，所以minkPA.答案：3(2018郑州质检)已知x，y满足约束条件若目标函数z3xy的最大值为10，则z的最小值为_解析：画出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：3xy0，平移l，从而可知经过C点时z取到最大值，由解得231m0，m5.由图知，平移l经过B点时，z最小，当x2，y2251时，z最小，zmin3215.答案：5利用线性规划解决实际问题是高考主要考查的一个知识点，试题通常是解决实际问题的最值问题，一般以选择题或填空题的形式出现，难度不大.典题领悟(2016全国卷)某高科技企业生产产品A和产品B需要甲、乙两种新型材料生产一件产品A需要甲材料1.5 kg，乙材料1 kg，用5个工时；生产一件产品B需要甲材料0.5 kg，乙材料0.3 kg，用3个工时生产一件产品A的利润为2 100元，生产一件产品B的利润为900 元该企业现有甲材料150 kg，乙材料90 kg，则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B的利润之和的最大值为_元解析：设生产A产品x件，B产品y件，由已知可得约束条件为即目标函数为z2 100x900y，由约束条件作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示作直线2 100x900y0，即7x3y0，当直线经过点M时，z取得最大值，联立解得M(60,100)则zmax2 10060900100216 000(元)答案：216 000解题师说1解线性规划应用题3步骤转化设元，写出约束条件和目标函数，从而将实际问题转化为线性规划问题求解解这个纯数学的线性规划问题作答将数学问题的答案还原为实际问题的答案2求解线性规划应用题的3个注意点(1)明确问题中的所有约束条件，并根据题意判断约束条件是否能够取到等号(2)注意结合实际问题的实际意义，判断所设未知数x，y的取值范围，特别注意分析x，y是否是整数、是否是非负数等(3)正确地写出目标函数，一般地，目标函数是等式的形式冲关演练某旅行社租用A，B两种型号的客车安排900名客人旅行，A，B两种车辆的载客量分别为36人和60人，租金分别为1 600元/辆和2 400元/辆，旅行社要求租车总数不超过21辆，且B型车不多于A型车7辆，则租金最少为()A31 200元B36 000元C36 800元 D38 400元解析：选C设旅行社租用A型客车x辆，B型客车y辆，租金为z，则线性约束条件为目标函数为z1 600x2 400y.画出可行域如图中阴影部分所示，可知目标函数过点N时，取得最小值，由解得故N(5,12)，故zmin1 60052 4001236 800(元)(一)普通高中适用作业A级基础小题练熟练快1不等式组所表示的平面区域内的整点个数为()A2B3C4 D5解析：选C由不等式2xy6得y0，y0，则当x1时，0y4，则y1,2,3，此时整点有(1,1)，(1,2)，(1,3)；当x2时，0y2，则y1，此时整点有(2,1)；当x3时，y无解故平面区域内的整点个数为4.2不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选C(x2y1)(xy3)0或结合图形可知选C.3(2017北京高考)若x，y满足则x2y的最大值为()A1 B3C5 D9解析：选D不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，是以点A(1,1)，B(3,3)，C(3，1)为顶点的三角形及其内部设zx2y，当直线zx2y经过点B时，z取得最大值，所以zmax3239.4(2018兰州模拟)若变量x，y满足约束条件则z2xy的最大值为()A16 B8C4 D3解析：选A作出不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示又z2xy2xy，令uxy，则直线uxy在点(4,0)处u取得最大值，此时z取得最大值且zmax24016，故选A.5(2017郑州二模)已知实数x，y满足则z2|x2|y|的最小值是()A6 B5C4 D3解析：选C作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示，其中A(2,4)，B(1,5)，C(1，3)，x1,2，y3,5z2|x2|y|2xy4，当直线y2x4z过点A(2,4)时，直线在y轴上的截距最小，此时z有最小值，zmin22444，故选C.6(2018郑州第二次质量预测)已知直线yk(x1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则k的取值范围为()A0，) B.C. D.解析：选C画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含x轴)部分所示，直线yk(x1)过定点M(1，0)，由解得过点M(1，0)与A(1,3)的直线的斜率是，根据题意可知0k.7点(2，t)在直线2x3y60的上方，则t的取值范围是_解析：因为直线2x3y60的上方区域可以用不等式2x3y60表示，所以由点(2，t)在直线2x3y60的上方得43t60，解得t.答案：8(2017全国卷)若x，y满足约束条件则z3x4y的最小值为_解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x4y0，平移直线l，当直线z3x4y经过点A(1,1)时，z取得最小值，最小值为341.答案：19若x，y满足约束条件则的最大值为_解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.答案：310(2018西安质检)若变量x，y满足则2xy的取值范围为_解析：作出满足不等式组的平面区域如图中阴影部分所示，平移直线2xy0，经过点A(1,0)时，2xy取得最大值2102，经过点B(1,0)时，2xy取得最小值2(1)02，所以2xy的取值范围为2,2答案：2,2B级中档题目练通抓牢1(2018安庆二模)若实数x，y满足：|x|y1，则x2y22x的最小值为()A. BC. D.1解析：选B作出不等式|x|y1表示的可行域如图中阴影部分所示x2y22x(x1)2y21，(x1)2y2表示可行域内的点(x，y)到点(1,0)距离的平方，由图可知，(x1)2y2的最小值为点(1,0)到直线yx的距离的平方，即为2，所以x2y22x的最小值为1.2(2018石家庄质检)若x，y满足约束条件则z的最小值为()A2 BC D.解析：选C作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，因为目标函数z表示区域内的点与点P(3,2)连线的斜率由图知当区域内的点与点P的连线与圆相切时斜率最小设切线方程为y2k(x3)，即kxy3k20，则有2，解得k或k0(舍去)，所以zmin，故选C.3某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表每亩年产量每亩年种植成本每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A50,0 B30,20C20,30 D0,50解析：选B设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利润z40.55x60.3y1.2x0.9yx0.9y.此时x，y满足条件画出可行域如图，得最优解为A(30,20)4(2018石家庄模拟)已知x，y满足约束条件且b2xy，当b取得最大值时，直线2xyb0被圆(x1)2(y2)225截得的弦长为_解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由图知，当直线y2xb经过点A(2，2)时，b取得最大值，即bmax2(2)(2)6，此时直线方程为2xy60.因为圆心(1,2)到直线2xy60的距离d2，所以直线被圆截得的弦长L22.答案：25(2018河南六市联考)已知实数x，y满足若目标函数zxy的最小值为1，则实数m_.解析：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，作直线l：yx，平移l可知，当直线l经过A时符合题意，由解得又A(2,3)在直线xym上，所以m5.答案：56.已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示(1)写出表示区域D的不等式组(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求实数a的取值范围解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故实数a的取值范围是(18,14)7变量x，y满足(1)设z14x3y，求z1的最大值；(2)设z2，求z2的最小值；(3)设z3x2y2，求z3的取值范围解：作出可行域如图中阴影部分所示，易得A，B(1,1)，联立解得C(5,2)，(1)z14x3yyx，易知平移直线yx至过点C时，z1最大，且最大值为453214.(2)z2表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小，故z2的最小值为.(3)z3x2y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2OB2OA2OC229，故z32,29C级重难题目自主选做1已知变量x，y满足约束条件若zx2y的最大值与最小值分别为a，b，且方程x2kx10在区间(b，a)上有两个不同实数解，则实数k的取值范围是()A(6，2) B(3,2)C. D.解析：选C作出约束条件表示的可行域如图阴影部分所示，则目标函数zx2y在点A(1,0)处取得最大值1，在点B(1,1)处取得最小值3，所以a1，b3，从而可知方程x2kx10在区间(3,1)上有两个不同实数解令f(x)x2kx1，则解得kakAB3，解得a3，则实数a的取值范围是(，3答案：(，3(二)重点高中适用作业A级保分题目巧做快做1不等式(x2y1)(xy3)0在坐标平面内表示的区域(用阴影部分表示)应是()解析：选C(x2y1)(xy3)0或结合图形可知选C.2.(2018日照一模)已知变量x，y满足：则z()2xy的最大值为()A.B2C2 D4解析：选D作出满足不等式组的可行域如图中阴影部分所示，令m2xy，则当m取得最大值时，z()2xy取得最大值，由图知直线m2xy经过点A(1,2)时，m取得最大值，所以zmax()2124，故选D.3.(2018郑州质量预测)已知直线yk(x1)与不等式组表示的平面区域有公共点，则k的取值范围为()A0，) B.C. D.解析：选C画出不等式组表示的可行域如图中阴影(不含x轴)部分所示，直线yk(x1)过定点M(1，0)，由解得过点M(1，0)与A(1,3)的直线的斜率是，根据题意可知0k.4某农户计划种植黄瓜和韭菜，种植面积不超过50亩，投入资金不超过54万元，假设种植黄瓜和韭菜的产量、成本和售价如下表每亩年产量每亩年种植成本每吨售价黄瓜4吨1.2万元0.55万元韭菜6吨0.9万元0.3万元为使一年的种植总利润(总利润总销售收入总种植成本)最大，那么黄瓜和韭菜的种植面积(单位：亩)分别为()A50,0 B30,20C20,30 D0,50解析：选B设黄瓜、韭菜的种植面积分别为x亩，y亩，则总利润z40.55x60.3y1.2x0.9yx0.9y.此时x，y满足条件画出可行域如图，得最优解为A(30,20)5.(2018安庆模拟)若实数x，y满足：|x|y1，则x2y22x的最小值为()A. BC. D.1解析：选B作出不等式|x|y1表示的可行域如图中阴影部分所示x2y22x(x1)2y21，(x1)2y2表示可行域内的点(x，y)到点(1,0)距离的平方，由图可知，(x1)2y2的最小值为点(1,0)到直线yx的距离的平方，即为2，所以x2y22x的最小值为1.6(2017全国卷)若x，y满足约束条件则z3x4y的最小值为_解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，作出直线l：3x4y0，平移直线l，当直线z3x4y经过点A(1,1)时，z取得最小值，最小值为341.答案：17若x，y满足约束条件则的最大值为_解析：作出约束条件表示的可行域如图中阴影部分所示，由斜率的意义知，是可行域内一点与原点连线的斜率，由图可知，点A(1,3)与原点连线的斜率最大，故的最大值为3.答案：38.(2018惠州调研)已知实数x，y满足：若zx2y的最小值为4，则实数a的值为_解析：选B作出不等式组表示的平面区域如图中阴影部分所示，当直线zx2y经过点C时，z取得最小值4，所以a24，解得a2.答案：29.已知D是以点A(4,1)，B(1，6)，C(3,2)为顶点的三角形区域(包括边界与内部)，如图所示(1)写出表示区域D的不等式组(2)设点B(1，6)，C(3,2)在直线4x3ya0的异侧，求实数a的取值范围解：(1)直线AB，AC，BC的方程分别为7x5y230，x7y110,4xy100.原点(0,0)在区域D内，故表示区域D的不等式组为(2)根据题意有4(1)3(6)a4(3)32a0，即(14a)(18a)0，解得18a14.故实数a的取值范围是(18,14)10变量x，y满足(1)设z14x3y，求z1的最大值；(2)设z2，求z2的最小值；(3)设z3x2y2，求z3的取值范围解：作出可行域如图中阴影部分，易得A，B(1,1)联立解得C(5,2)，(1)z14x3yyx，易知平移直线yx至过点C时，z1最大，且最大值为453214.(2)z2表示可行域内的点与原点连线的斜率大小，显然直线OC斜率最小，故z2的最小值为.(3)z3x2y2表示可行域内的点到原点距离的平方，而2OB2OA20，即z2(2x)y42xy，即y2xz4，平移直线y2x可知，当直线经过点M(2,4)时，z取得最小值，最小值为4.故选C.法二：作出不等式组所表示的可行域如图中阴影部分所示，由可行域的形状