第二章随机变量的分布和数字特征习题课

第二章第二章 随机向量的分布和数字特征的习题课随机向量的分布和数字特征的习题课 一 选择题 1 若随机变量 的分布函数为与则a b取值为 21 X X 1 xF 2 xF 时 可使F x a b为某随机变量的分布函数 1 xF 2 xF A 3 5 2 5 B 2 3 2 3 C 1 2 3 2 D 1 2 3 2 分析分析 由分布函数在由分布函数在 的极限性质 不难知的极限性质 不难知a ba b应满足应满足a b 1a b 1 只只 有选项有选项A A正确 正确 答案答案 选 选 A A 2 设 X x 且 x x 其分布函数为F x 则对任意实 数a F a A 1 d B d C F a D 2F a 1 a x 0 x 2 1 a x 0 x 分析 分析 是偶函数 可结合标准正态分布来考虑 是偶函数 可结合标准正态分布来考虑 d d a x 0 F a F a F 0 F 0 F 0 F 0 0 50 5 F a F a F a 1F a 1 答案答案 选 选 B B x 3 设X N 则随着的增大 P X 2 A 单调增大 B 单调减少 C 保持不变 D 增减不定 答案答案 选 选 C C 4 设随机变量 X 与 Y 均服从正态分布 X N 16 Y N 25 记 P X 4 P Y 5 则 正确 1 p 2 p A 对任意实数 均有 B 对任意实数 均有 1 p 2 p 1 p 2 p 答案答案 选 选 A A 5 设是随机变量且 则对任意常数 X 0 2 XDXEc 成立 222 cEXcXEA 22 XEcXEB 22 XEcXEC 22 XEcXED 分析 分析 答案答案 选 选 D 由 得 2 XDXE 2222 EXXDEX 2 222 ccXXEcXE 22222 22 2 2 ccc ccEXEX 2 222 XXEXE 22222 22 2 2 EXEX 显然 22 XEcXE 二 题空题二 题空题 1 设在每次伯努里试验中 事件 A 发生的概率均为 p 则在 n 次伯努 里试验中 事件 A 至少发生一次的概率为 至多发生一次的概 率为 答案答案 填 填 1 1 p 1 1 p 1 p 1 p np 1 p np 1 p nn1 n 由伯努里概型的概率计算公式 由伯努里概型的概率计算公式 据题意可知 据题意可知 事件事件A A至少发生一次的概率为至少发生一次的概率为或或 knk n k k n ppC 1 1 n n ppC 1 1 00 事件事件A A至多发生一次的概率为至多发生一次的概率为 knk k K N ppC 1 1 0 n n ppC 1 00 111 1 n n ppC 2 设随机变量Y在区间 1 6 上服从均匀分布 则方程 有实根的概率为 01 2 Yxx 分析分析 方程方程有实根当且仅当有实根当且仅当 0 0 即 即 Y Y 2 2 01 2 Yxx 则则 P Y P Y 2 2 d d 0 8 0 8 答案答案 填 填 0 8 0 8 6 2 5 1 x 3 设设 X 对X的三次独立重复观察中 其他 0 10 2 xx xf 事件 X 0 5 出现的次数为随机变量Y 则P Y 2 分析分析 P XP X0 5 0 25 0 5 0 25 Y Y服从服从B B 3 0 25 3 0 25 分布分布 则则P YP Y 2 2 答案答案 填填 75 0 25 0 22 3 C 64 9 64 9 4 设设X B 2 p Y B 3 p 且P X 1 则P Y 1 9 5 分析分析 由由P XP X 1 1 P X 0 1 1 P X 0 可得 可得 p p 则则P P Y Y 1 1 1 1 2 2pp 9 5 3 1 P Y 0 P Y 0 答案答案 填 填 27 19 27 19 5 设随机变量X服从均值为 10 标准差为 0 02 的正态分布 设 x 为标准正态分布函数 已知 2 5 0 993 8 则X 落在 区间 9 95 10 05 内的概率为 分析分析 P 9 95 x 10 05 P 9 95 10 x 10 10 05 10 P 2 5 x 10 0 02 2 5 2 5 2 5 2 2 5 1 2 0 9938 1 1 9876 1 0 9876 答案答案 填 填 0 9876 0 9876 6 设设随机变量X的概率密度为 其他 0 6 3 9 2 1 0 3 1 x x xf 若k使得P X k 2 3 则k的取值范围是 分析分析 1 9 2 3 1 6 3 1 9 2 3 2 9 2 3 1 9 2 0 3 1 63 3 1 0 3 1 31 3 1 3 1 10 0 0 6 3 1 0 3 3 1 1 0 3 2 1 0 0 dtdtxFx xxdtdtdtxFx dtdtxFx xdtxFx xFx x x 答案答案 填 填 1 1 3 3 7 设随机变量X f x x 则X F x 2 1 x e 答案答案 填 填 0 2 1 1 0 2 1 xe xe xF x x 分析 分析 当x 0 时 F x dd x tf x t te 2 1 x te 2 1 当 x 0 时 F x ddd x tf 0 2 1 t et x t et 0 2 1 t x e 2 1 1 8 设X U 0 2 则Y 在 0 4 0 4 内的概率密度 2 X yfY 答案答案 填 填 y4 1 分析 分析 当0 y 4时 2 yFyXPyXPyYPyF XY 此时 yfY y yf y yFyF XxY 2 1 2 1 y4 1 注 由于由于Y 在 0 4 内是单调函数 可直接用公式做 是单调函数 可直接用公式做 2 X 9 设 X 的分布函数 则A P x 2 1 0sin 00 2 x xxA x xF 6 答案答案 填 填 1 1 2 1 10 设X的分布函数F x 为 则X的概率分布为 31 318 0 114 0 10 x x x x xF 分析 其分布函数的图形是阶梯形 故分析 其分布函数的图形是阶梯形 故 x x 是离散型的随机变量是离散型的随机变量 答案 答案 P X 1 0 4 P X 1 0 4 P X 3 0 2 P X 1 0 4 P X 1 0 4 P X 3 0 2 11 设随机变量 X 的概率密度函数则 E X 1 12 2 xx exf XD 分析 分析 由 X 的概率密度函数可见X N 1 则 E X 1 2 1 XD 答案答案 填 填 1 1 2 1 2 1 12 设随机变量X服从参数为 2 的泊松分布 且Z 3X 2 则E X 答案答案 填 填 4 4 13 设X N 2 且P 2 X 4 0 3 则P X96 1 P X 96 1 0 023 24 即 0 977 查表得 2 则 12 即且X N 72 144 24 24 故P 60X84 P 11 2 1 1 0 682 12 72 X excelexcel 计算的函数为计算的函数为 NORMINVNORMINV 8 设设测量误差X N 0 100 求在 100 次独立重复测量中至少有 三次测量误差的绝对值大于 19 6 的概率 并用泊松分布求其近似 值 精确到 0 01 解 由于X N 0 100 则 P X 19 6 1 P X 19 6 2 1 1 96 0 05 且显然 Y B 100 0 05 故 P Y 3 1 P Y 2 1 9822 100 99100 95 0 05 0 95 0 05 0 10095 0 C 设 np 100 0 05 5 且Y P 5 则 P Y3 1 P Y 2 1 0 875348 124652 0 15 1 2 0 5 k k e k 9 设设一大型设备在任何长为t的时间内 发生故障的次数N t 服 从参数为 t的泊松分布 求 1 相继两次故障之间的时间间隔T的概率分布 2 在设备已无故障工作 8 小时的情况下 再无故障工作 8 小时 的概率 解 1 只需求出T的分布函数F t 当 tt 1 P N t 0 tt eet 1 0 1 1 0 可见 T T 服从参数为服从参数为 的指数分布的指数分布 2 P T 16 T 8 t t t e e e TP TP 8 8 16 1 1 1 1 8 16 10 设设X服从参数为 2 的指数分布 求证 Y 1 在 0 1 上服从 X e 2 均匀分布 证明 由X的分布可见其有效取值范围是 0 则Y的有效取 值范围是 0 1 从而 当 y 0 时 F y 0 当y 1 时 F y 1 当 0 y 1 F y P Y y P 1 y X e 2 P X 1 1 1 y y 1ln 2 1 y 1ln 2 1 2y e 对F y 关于y求导数即得Y的密度函数 其他 0 10 1 y yf 故Y在 0 1 上服从均匀分布 11 从学校乘汽车到火车站的途中有三个交通岗 设在各交通岗遇 到红灯的事件是相互独立的 其概率均为 0 4 用X表示途中遇到 红灯的次数 求X的分布律 分布函数和数学期望 解 显然X B 3 0 4 其分布律为 i 0 1 2 3 分 131 3 6 04 0 i CiXP 布函数为 E X x2 1 2x1 125 81 1x0 125 27 0 0 x xF 5 6 12 设设 求随机变量的期望 0 0 0 2 2 2 2 x xe a x xfX a x X Y 1 YE 解 由 可知 0 0 0 2 2 2 2 x xe a x xfX a x dxe a x x dxxf xX EYE a x 0 2 2 2 2 1 1 1 2 2 2 21 1 0 2 0 2 0 2 1 22 2 dxe a dte a t a x a x de a xt a x 泊松分布令 13 设且 与同分布 与 其它 0 20 8 3 2 xx xfXYX aXA 独立 求 1 值 2 的期望 aYB 4 3 BAPa 2 1 X 解 1 由设且 与同分布 其它 0 20 8 3 2 xx xfXYX 与独立 可知当时 aXA aYB 0 a a dxxfaXPAP 1 8 1 0 8 3 0 2 0 3 2 2 0 2 0 xdxdxxdx a 即 1 a dyyfaYPBP 与相矛盾 因11111 BPAPBPAPBAP 4 3 BAP 而 即0 a a dxxfaXPAP 8 8 1 8 1 0 8 3 323 2 2 2 axdxdxx a a 即 a dyyfaYPBP 8 8 1 3 a BPAPBPAPBAP 8 8 1 3 a 8 8 1 3 a 8 8 1 3 a 8 8 1 3 a 4 3 即 即 不合题意 舍去 048 8 16 8 323 aa 3 4 a 3 4 a 2 4 3 8 3 8 31 1 1 2 0 2 2 0 222 xdxx x dxxf xX E 14 由由自动线加工的某种零件的内径 毫米 服从正态分布 X 1 N 内径小于 10 或大于 12 的为不合格品 其余为合格品 销售每件合 格品获利 销售每件不合格品亏损 设销售利润 元 与销售零L 件的内径的关系为X 12 5 1210 20 10 1 X X X L 问平均内径取何值时 销售一个零件的平均利润平均利润最大 解 由 即且 可知 1 NX 1 0 1 N X 2 2 2 1 x ex 10 10 10 XPXP 10 12 1210 1210 XPXP 12 1 12 12 XPXP 由 12 5 1210 20 10 1 X X X L 得 12 55 10 20 12 20 10 EL 5 10 21 12 25 d dEL 10 21 12 25 令 即0 d dEL 0 2 1 21 2 1 25 22 10 2 1 12 2 1 ee 即 11 2 10 2 1 12 2 1 22 25 21 ee 即 25 21 ln 11 2 9 10 25 21 ln 2 1 11 平均内径取时 销售一个零件的平均利润最大 9 10 15 设一部机器在一天内发生故障的概率为 机器发生故障时 2 0 全天停止工作 一周五个工作日 若无故障 可获利 10 万元 若发 生一次故障 仍可获利 5 万元 若发生两次故障 获利为零 若至 少发生三次故障 要亏损 2 万元 求一周内的利润期望 解 设 一周共五个工作日 机器发生故障的天数 且 X 2 0 5 BX 则 32768 0 8 02 0 0 500 5 CXP 4096 0 8 02 0 1 411 5 CXP 2048 0 8 02 0 2 322 5 CXP 3 1 3 XPXP 05792 0 2 1 0 1 XPXPXP 3 2 2 0 1 5 0 10 X X X X XL 05792 0 2 2048 0 04096 0 532768 0 10 EL 20896 5 所以一周内的利润期望为万元 20896 5 16 设设商店经销某种商品的每周需求量服从区间上的均匀分X 30 10 布 而进货量为区间中的某一个整数整数 商店每售一单位商品可 30 10 获利 500 元 若供大于求 则削价处理 每处理一单位商品亏损 100 元 若供不应求 则从外部调剂供应 此时每售出一单位商品 仅获利 300 元 求此商店每周最小进货量为多少 可使获利的期望 不少于 9280 元 解 设一商店经销某种商品的每周进货量为 且a3010 a 当时 aX 10aXXaXL100600 100500 当时 30 XaaXaXaL200300 300500 即 30200300 10100600 XaaX aXaX L 且 其它 0 3001 20 1 x xfX dxxfxLXLE 2 302 10 2 10 30 5 73505250 10 2 15 515 20 1 200300 20 1 100600 aa axxaxx dxaxdxax a a a a 令 即 即 取9280 XLE92805 73505250 2 aa26 3 2 20 a 21 a 答 此商店每周最小进货量为 21 个单位 可使获利的期望不少于 9280 元 17 设随机变量与 相互独立 均在区间上服从均匀分布 引XY 3 1 进事件 且 求 1 值 A aX aXB 9 7 BAPa 2 的数学期望 X 1 解 1 由与 在上均服从均匀分布 可知XY 3 1 其它 0 31 2 1 x xfX 其它 0 31 2 1 y yfY 当时1 a