正交多项式相关

上的正交多项式上的正交多项式 由最佳平方逼近的一般理论知 上的最佳平方逼近完全可以转化为正 交系的讨论 因为若是f的最佳平方逼近元 则系数向量 满足方程组 而当 i 为规 范正交时 该方程组的解立即可以写为 正交多项式的性质正交多项式的性质 假设 0 x 1 x 是空间上的幂函数系 1 x x2 经正交化手续得 到的正交多项式系 则它有如下性质 1 n x 是 n 次代数多项式 2 任一不高于 n 次的多项式都可以表示成 3 n x 在中与所有次数低于 n 的多项式正交 也即 以下假设是 n的首一化多项式 也即 且的最高次项系数为 1 则仍然是一正交系 且有如下递推关系 定理 1 其中 证明 由于是 k 1 次多项式 因此可由线性表出 即 1 其中 cj是适当常数 将 1 式两边同乘以并积分 有 上式左端当 s 0 1 k 2 时 的次数小于 k 从而积分值为 0 同样 右端第一个积分也为 0 于是 当 s 0 1 k 2 时 上式变为 令 s 0 上式变为 从而 c0 0 同理 当 s 依次为 1 k 2 时 可推出 cs 0 于是 1 式可简 化为 2 下面我们来确定 ck ck 1 在 2 式两边乘以并积分 得 3 由于 代入 3 式两端得 同理 用乘 2 式两端并积分 可得 将 ck ck 1代入 2 式两端并加以整理即得定理结论 如果设 k x 的首项系数为 k 则对规范正交系 0 x 1 x 可以得到如 下递推关系 4 注 4 式可通过令代入定理 1 得到 定理 2 n 次正交多项式 n x 有 n 个互异零点 并且都包含在 a b 中 证明 令 n 1 假定 n x 在 a b 不变号 则 这与正交性相矛盾 于是至少有一个点 x1 a b 使 n x1 0 若 x1是重根 则 n x x x1 2是一 n 2 次多项式 由正交性知 但另一方面有 从而推出 x1只能是单根 今假设 n x 在 a b 内只有 j 个单根 x1 x2 xj j n 则 n x x x1 x x2 x xj q x x x1 2 x x2 2 x xj 2 现将上式两端乘以 x 并积分 则对于左端来说 由于 x x1 x x2 x xj 的次数小于 n 因此积分值等于零 但对右端来说 由于 q x 在 a b 不变号 所以积分值不为零 由这个矛盾推出 j n 定理证毕 定理 3 假设 a x1 x2 xn b 是正交多项式 n x 的 n 个根 那么在每个区间 a x1 x1 x2 xn b 内都有 n 1 x 的一个零点 常用的正交多项式常用的正交多项式 自然 根据 x 的不同选择 我们可以构造许许多多的正交多项式 这只 要分别利用施密特正交化过程就可以完成 然而在这些正交多项式类中 真正 有用的是如下几个具有代表性的正交多项式系 其一是勒让德 Legendre 多项式 它是L2 1 1 上的正交多项式 并且可 以表示成如下形式 5 由于是 2n 次多项式 所以Pn x 是 n 次多项式 其最高次项系数与 单项式 的系数相同 可以证明勒让德多项式具有如下性质 1 2 Pn x 1 n Pn x 3 其二是第一类契比雪夫多项式