2012年高考数学解答题考前集训 解析几何2

用心 爱心 专心 1 20122012 届高考数学解答题题考前集训 解析几何届高考数学解答题题考前集训 解析几何 2 2 1 已知 A 2 0 B 2 0 动点 P 与 A B 两点连线的斜率分别为 PA k 和 PB k 且满足 PA k PB k t t 0 且 t 1 求动点 P 的轨迹 C 的方程 当 t 0 时 曲线 C 的两焦点为 F1 F2 若曲线 C 上存在点 Q 使得 F1QF2 120O 求 t 的取值范围 2 在直角坐标系 xoy 中 射线OA在第一象限且与x轴的正方向成定角 60 若点P在射线 OA上运动 点Q在y轴负半轴上运动 且POQ面积为定值32 1 求线段 PQ中点M 的轨迹C的方程 2 若 1 R 2 R 表示曲线C上的两个动点 且 uOROR 2 21 求u的最大值 3 2012 年沧州六县大联考 如图 已知线段AB在直线 2 x 上 移动 O为原点 2 0 AOB 动点P满足 222 POPBPA 求动点P的轨迹方程 当 4 时 动点P的轨迹与直线OA交于 DC 两点 点 C在点D的下方 且OCCD4 求直线OA的方程 用心 爱心 专心 2 4 如图 以 A1 A2 为焦 点的双曲线 E 与半径为 c 的圆 O 相交于 C D C1 D1 连接 CC1 与 OB 交于点 H 且有 BAAHBOH 323 21 其中 是圆 O 与坐标轴的交点 c 为双曲 线的半焦距 1 当 c 1 时 求双曲线 E 的方程 2 试证 对任意正实数 c 双曲线 E 的离心率为常数 3 连接 A1C 与双曲线 E 交于点 F 是否存在实数 使 FCFA 1 恒成立 若存在 试 求出 的值 若不存在 请说明理由 参考答案参考答案 1 设点 P 坐标为 x y 依题意得 22 x y x y t y2 t x2 4 4 2 x t y 4 2 1 轨迹 C 的方程为 4 2 x t y 4 2 1 x 2 当 1 t 0 时 曲线 C 为焦点在 x 轴上的椭圆 设 1 PF r1 2 PF r2 则 r1 r2 2a 4 在 F1PF2 中 21F F 2c 4 t 1 F1PF2 120O 由余弦定理 得 4c2 r r 2r1r2 0 120cos r r r1r2 r1 r2 2 r1r2 r1 r2 2 2 21 rr 2 3a2 16 1 t 12 t 4 1 所以当 4 1 t 0 时 曲线上存在点 Q 使 F1QF2 120O 用心 爱心 专心 3 当 t 1 时 曲线 C 为焦点在 y 轴上的椭圆 设 1 PF r1 2 PF r2 则 r1 r2 2a 4 t 在 F1PF2 中 21F F 2c 4 t 1 F1PF2 120O 由余弦定理 得 4c2 r r 2r1r2 0 120cos r r r1r2 r1 r2 2 r1r2 r1 r2 2 2 21 rr 2 3a2 16 1 t 12t t 4 所以当 t 4 时 曲线上存在点 Q 使 F1QF2 120O 综上知当 t 0 时 曲线上存在点 Q 使 AQB 120O 的 t 的取值范围是 0 4 1 4 2 1 设 0 xyxM 由题意 得 xyQxxP322 0 32 2 yxOQxOP232 4 又 x xyyxxyxxS 1 332232150sin2324 2 1 0 x 轨迹C的方程为 0 1 3 x x xy 2 由题意设 2 222 1 111 1 3 1 3 x xxR x xxR uOROR 2 21 2 21 xx 2121 21 2 23 11 3 xxxx xxu 01132 4 1 132 2 21 xx 当且仅当 1 21 xx 时 u有最大值 最大值为0 3 由 222 POPBPA 得 POPBPA 则P为 ABO 的外心 设 yxP 作 NABPN于 则N为AB中点 APN 在 APNRt 中 用心 爱心 专心 4 044cossin 2 coscos 2222 22 xyx yx x PO PN PA PN 22 22 sin cos22 sin cos22 044sin xxxx或 又 2 x 2 sin cos22 x 因此点P的轨迹方程为 sin cos22 044cossin 2 2222 xxyx 当 4 时 动点P的轨迹方程为 224 8 4 22 xyx 设直线OA的方程为 1 2211 yxDyxCkkxy 直线OA的方程与 8 4 22 yx 联立 得 088 1 22 xxk 1 8 1 8 2 21 2 21 k xx k xx 由 OCCD4 得 12 33xxOCOD 代入 得 7 k 因点C在点D的下方 知 7 k 不合题意 舍去 故所求直线OA的方程为 xy7 4 1 由 c 1 知 B 0 1 HBOH 323 2 3 324 323 0 HH yx 即 2 3 0 H 点 C 在单位圆上 2 3 2 1 C 设双曲线 E 的方程为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 用心 爱心 专心 5 由点 C 在双曲线 E 上 半焦距 c 1 有 2 3 2 3 1 1 4 3 4 1 1 2 2 22 22 b a ba ba 解得 所以双曲线 E 的方程为 1 2 3 2 3 1 22 yx 2 证明 HBOHcBcA 323 0 0 1 由 得 2 3 2 1 2 3 0 ccCcH 设双曲线 E 的方程为 0 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 1 4 3 4 2 2 2 2 222 b c a c cba 代入 化简整理得 063 4224 bbaa 03 6 24 a b a b 解得 323 2 a b 又 324 1 2 2 2 2 a b a c e 13324 e 即双曲线 E 的离心率是与 c 无关的常数 3 假设存在实数 使 FCFA 1 恒成立 2 3 2 0 1 cc CcA 有 1 2 3 1 2 FF y c c x 点 1 2 3 1 2 2 cc F 点 C F 都在双曲线 E 上 故有 用心 爱心 专心 6 1 1 4 3 1 4 2 1 4 3 4 22 22 22 22 2 2 2 2 b c a c b c a c 由 得 3 4 4