复变函数复习资料

一一 复数的概念复数的概念 1 1 复数的概念复数的概念 是实数 zxiy x y Re Imxzyz 2 1i 注 一般两个复数不比较大小 但其模 为实数 有大小 两个复数相等 当且仅当它们的实部与虚部分别相等 一个复数等于零 当且仅当它的实部与虚部同时等于零 称复数 x iy 和 x iy 互为共轭复数 2 2 复数的表示复数的表示 1 1 模 模 22 zxy 2 幅角 幅角 在时 矢量与 轴正向的夹角 记为 多值0z x Arg z 函数 主值是位于中的幅角 有无穷个值 arg z 2 0 Arg z 是复数 z 的辐角的主值 2k arg z Arg z arg z 3 与之间的关系如下 arg zarctan y x 当 0 x argarctan y z x 当 0 argarctan 0 0 argarctan y yz x x y yz x 4 三角表示 三角表示 其中 注 中间一定是 sin cosz ir rzgA 号 r z 5 指数表示 指数表示 其中 i re z rzgA 二 复数的运算 1 1 加减法加减法 若 则 111222 zxiy zxiy 121212 zzxxi yy 2 2 乘除法乘除法 1 1 若 则 111222 zxiy zxiy 1 212122112 z zx xy yi x yx y 1122 11112121221 2222 22222222222 xiyxiyzxiyx xy yy xy x i zxiyxiyxiyxyxy 2 若 则 12 1122 ii zz ezz e 12 1 212 i z zzz e 12 1 1 22 i zz e zz 3 3 乘幂与方根乘幂与方根 对任何整数 n 有 特别地当 r 1 时 有 即 innn er z inni e e ninsincos isin cos n 若则称复数 w 为复数 z 的 n 次方根 记作z n w n z 设 则有 ii ewre z n 2 r 0 1 K n 故 k 0 n 1 n 2 1 k n p erw 与表示的是同一个复数 i re z ki rez 2 一个圆心在原点 半径为 R 的圆可表示为 z R 一个圆心在 半径为 R 的圆可表示为 0 zRzz 0 三 复变函数 1 1 复变函数复变函数 2 2 复初等函数 复初等函数 1 1 指数函数 指数函数 在 平面处处可导 处处解析 cossin zx eeyiy z 且 zz ee 注 是以为周期的周期函 z e2 i 数 注意与实函数不同 2 对数函数对数函数 多值函数 i2lnn kzzL 0 1 2 k 主值 单值函ln arg2 Lnzzizk 0 1 2 k lnlnargzziz 数 的每一个主值分支在除去原点及负实轴的 平面内处处解Lnzln zz 析 且 1 lnz z 注 负复数也有对数存在 与实函数不同 3 3 乘幂与幂函数 乘幂与幂函数 Lnz e z 4 4 三角函数 三角函数 sincos sin cos t 22cossin iziziziz eeeezz zzgzctgz izz 在 平面内解析 且sin coszzz sincos cossinzzzz 注 有界性不再成立 与实函数不同 sin1 cos1zz 双曲函数双曲函数 22 zzzz eeee shzchz 奇函数 是偶函数 在 平面内解析 且shzchz shz chzz shzchz chzshz 导数导数 1 复变函数的导数 复变函数的导数 1 点可导 点可导 0 fz 00 0 lim z f zzf z z 2 区域可导区域可导 在区域内点点可导 f z 2 解析函数的概念 解析函数的概念 1 点解析 在及其的邻域内可导 称在点解析 f z 0 z 0 z f z 0 z 2 区域解析 在区域内每一点解析 称在区域内解析 f z f z 3 若在点不解析 称为 f z 0 z 0 z的奇点 f z 3 3 解析函数的运算法则 解析函数的运算法则 解析函数的和 差 积 商 除分母 为零的点 仍为解析函数 解析函数的复合函数仍为解析函数 五 函数可导与解析的充要条件 1 1 函数可导的充要条件 函数可导的充要条件 在可导 f zu x yiv x y zxiy 和在可微 且在 处满足条件 u x y v x y x y x yCD 此时 有 uvuv xyyx uv fzi xx 2 函数解析的充要条件函数解析的充要条件 在区域内解析 f zu x yiv x y 和在在内可微 且满足条件 u x y v x y x yDCD 此时 uvuv xyyx uv fzi xx 注意注意 若在区域具有一阶连续偏导数 则 u x yv x yD 在区域内是可微的 因此在使用充要条件证明时 u x yv x yD 只要能说明具有一阶连续偏导且满足条件时 函数 u vCR 一定是可导或解析的 f zuiv 3 3 函数可导与解析的判别方法 函数可导与解析的判别方法 1 利用定义 题目要求用定义 2 利用充要条件 函数以形式给出 f zu x yiv x y 3 利用可导或解析函数的四则运算定理 函数是以 的形 f zz 式给出 八 解析函数与调和函数的关系 1 1 调和函数的概念 调和函数的概念 若二元实函数在内有二阶连续偏导 yxhD 数且满足 0 h yxhyx yyxx 为 内的调和函数 yxhD 4 2 2 解析函数与调和函数的关系 解析函数与调和函数的关系 解析函数的实部 与虚部 都是调和函数 而且它们 f zuiv uv 的一阶偏导数满足柯西 黎曼方程 则称虚部 为实部 的共vu 轭调和函数 两个调和函数 与 构成的函数不一定是解析函数 uv f zuiv 但是若如果满足柯西 黎曼方程 则一定是解析函数 u vuiv 3 3 已知解析函数 已知解析函数的实部或虚部 求解析函数的实部或虚部 求解析函数的方的方 f z f zuiv 法 法 1 偏微分法 若已知实部 利用条件 得 uu x y CR vv xy 对两边积分 得 vu yx u vdyg x x 再对 式两边对 求偏导 得 x vudy gx xxx 由条件 得 可求出 CR uv yx uudy gx yxx g x 代入 式 可求得 虚部 u vdyg x x 2 线积分法 若已知实部 利用条件可得 uu x y CR vvuu dvdxdydxdy xyyx 故虚部为 00 x y xy uu vdxdyc yx 由于该积分与路径无关 可选取简单路径 如折线 计算它 其 中与 是解析区域中的两点 00 xy x y 5 3 不定积分法 若已知实部 根据解析函数的导数公式 uu x y 和条件得知 CR uvuu fzii xyxy 将此式右端表示成 的函数 由于仍为解析函数 故z U z fz 为实常数 f zU z dzc c 注 若已知虚部 也可用类似方法求出实部v u 六 复变函数积分的概念与性质 六 复变函数积分的概念与性质 1 1 复变函数积分的概念 复变函数积分的概念 是光滑曲线 1 lim n kk cn k f z dzfz c 注 复变函数的积分实际是复平面上的线积分 2 2 复变函数积分的性质复变函数积分的性质 1 与 的方向相反 1 cc f z dzf z dz 1 c c 2 是常数 ccc f zg z dzf z dzg z dz 3 若曲线 由 与 连接而成 则 c 1 c 2 c 12 ccc f z dzf z dzf z dz 3 3 复变函数积分的一般计算法 复变函数积分的一般计算法 1 化为线积分 常用于理 ccc f z dzudxvdyivdxudy 论证明 2 参数方法 设曲线 其中 对应曲线 的起c zz tt c 点 对应曲线 的终点 则 c c f z dzf z tz t dt 被积函数不解析时 积分结果与路径有关 反之 无关 七 关于复变函数积分的重要定理与结论 1 1 柯西定理 柯西定理 设在单连域 内解析 为 内任一闭曲 f zBcB 线 则 0 c f z dz A 6 2 2 复合闭路定理 复合闭路定理 设在多连域内解析 为内任意一 f zDcD 条简单闭曲线 是 内的简单闭曲线 它们互不包含互 12 n c cc c 不相交 并且以为边界的区域全含于内 则 12 n c cc D 其中 与均取正向 c f z dz A 1 k n k c f z dz A c k c 其中 由 及所组成的复合闭路 0f z dz A c 1 1 2 ckn 3 3 闭路变形原理 闭路变形原理 一个在区域内的解析函数沿闭曲线D f z 的积分 不因 在内作连续变形而改变它的值 只要在变形ccD 过程中 不经过使不解析的奇点 c f z 4 4 解析函数沿非闭曲线的积分 解析函数沿非闭曲线的积分 设在单连域 内解析 f zB 为在 内的一个原函数 则 G z f zB 2 1 2112 z z f z dzG zG zz zB 说明 解析函数沿非闭曲线的积分与积分路径无关 计算 f z 时只要求出原函数即可 5 5 柯西积分公式 柯西积分公式 设设 f z f z 在简单正向闭曲线在简单正向闭曲线 c c 及其所及其所 围区域围区域 D D 内处处解析 内处处解析 为为 D D 内任意一点 那么内任意一点 那么 z dz zz zf i c 0 0 2 1 z 即即 2 0 0 zidz zz zf c 6 6 解析函数的导数 解析函数的导数 解析函数的导数仍为解析函数 它的 f z 阶导数为 n 0 1 0 2 1 2 n n c f zi dzfzn zzn A 7 其中 为的解析区域内围绕的任何一条正向简单闭曲线 c f zD 0 z 而且它的内部完全属于 D 7 重要结论 重要结论 是包含 的任意正向简单闭曲线 1 2 0 1 0 0 n c in dz nza A ca 8 8 复变函数积分的计算方法 复变函数积分的计算方法 1 若在区域内处处不解析 用一般积分法 f zD c f z dzf z tz t dt 2 设在区域内解析 f zD 是内一条正向简单闭曲线 则由柯西 古萨定理 cD 0 c f z dz A 是内的一条非闭曲线 对应曲线 的起点和终点 则有cD 12 z zc 2 1 21 z cz f z dzf z dzF zF z 3 设在区域内不解析 f zD 曲线 内仅有一个奇点 在 内解c 0 0 0 1 0 2 2 c n n c f z dzi f z zz f zi dzfz zzn A A f zc 析 曲线 内有多于一个奇点 内只有一个c c f z dz A 1 k n k c f z dz A i c 奇点 或 留数基本定理 k z 1 2Re n k k c f z dzis f z z A 若被积函数不能表示成 则须改用留数定理来计算 1 n o f z zz 九 复数项级数 九 复数项级数 1 1 复数列的极限 复数列的极限 8 1 复数列 收敛于复数的充要条件 nnn aib 1 2n abi 为 同时成立 lim lim nn nn aabb 2 复数列收敛实数列同时收敛 n nn ab 2 2 复数项级数 复数项级数 1 复数项级数收敛的充要条件是级数与同 0 nnnn n aib 0 n n a 0 n n b 时收敛 2 级数收敛的必要条件是 lim0 n n 注 复数项级数的敛散性可以归纳为两个实数项级数的敛散性问 题的讨论 十 幂级数的敛散性 1 幂级数的概念幂级数的概念 表达式或为幂级数 0 0 n n n czz 0 n n n c z 2 2 幂级数的敛散性 幂级数的敛散性 1 1 幂级数的收敛定理 幂级数的收敛定理 阿贝尔定理阿贝尔定理 Abel Abel 如果幂级数在 0 n n n c z 处收敛 那么对满足的一切 该级数绝对收敛 0 0z 0 zz z 如果在处发散 那么对满足的一切 级数必发散 0 z 0 zz z 2 2 幂级数的收敛域 幂级数的收敛域 圆域圆域 幂级数在收敛圆域内 绝对收敛 在圆域外 发散 在收敛圆 的圆周上可能收敛 也可能发散 3 3 收敛半径的求法 收敛半径的求法 收敛圆的半径称收敛半径 比值法 如果 则收敛半径 1 lim0 n n n c c 1 R 9 根值法 则收敛半径 lim0 n n c 1 R 如果 则 说明在整个复平面上处处收敛 0 R 如果 则 说明仅在或点收敛 0R 0 zz 0z 注 若幂级数有缺项时 不能直接套用公式求收敛半径 如 2 0 n n n c z 3 3 幂级数的性质 幂级数的性质 1 代数性质代数性质 设的收敛半径分别为与 记 00 nn nn nn a zb z 1 R 2 R 则当时 有 12 min RR R zR 线性运算 000 nnn nnnn nnn ab za zb z 乘积运算 01 10 000 nnn nnnnn nnn a zb za baba b z 2 复合性质复合性质 设当时 当时 解析r 0 n n n fa zR g z 且 g zr 则当时 zR 0 n n n f g za g z 3 分析运算性质分析运算性质 设幂级数的收敛半径为 则 0 n n n a z 0R 其和函数是收敛圆内的解析函数 0 n n n f za z 在收敛圆内可逐项求导 收敛半径不变 且 1 0 n n n fzna z zR 在收敛圆内可逐项求积 收敛半径不变 1 0 0 1 z n n n a f z dzz n 10 zR 十一 幂函数的泰勒展开 1 1 泰勒展开 泰勒展开 设函数在圆域内解析 则在此圆域内 f z 0 zzR 可以展开成幂级数 并且此展开式是唯 f z 0 0 0 n n n fz f zzz n 一的 注 若在解析 则在的泰勒展开式成立的圆域的收敛 f z 0 z f z 0 z 半径 0 Rza 其中 为从到的距最近一个奇点 之间的距离 R 0 z f z 0 za 2 2 常用函数在 常用函数在的泰勒展开式的泰勒展开式 0 0z 1 23 0 1 1 2 3 n zn n zzz ezz nn z 2 2 0 1 1 1 nn n zzzz z 1z 3 35 2121 0 1 1 sin 21 3 5 21 nn nn n zz zzzz nn z 4 24 22 0 1 1 cos1 2 2 4 2 nn nn n zz zzz nn z 3 3 解析函数展开成泰勒级数的方法 解析函数展开成泰勒级数的方法 1 直接法 直接求出 于是 0 1 n n cfz n 0 0 n n n f zczz 2 间接法 利用已知函数的泰勒展开式及幂级数的代数运算 复合运算和逐项求导 逐项求积等方法将函数展开 十二 幂函数的洛朗展开 1 1 洛朗级数的概念 洛朗级数的概念 含正幂项和负幂项 0 n n n czz 2 2 洛朗展开定理 洛朗展开定理 设函数 11 在圆环域内处处解析 为圆环域内绕的 f z 102 RzzR c 0 z 任意一条正向简单闭曲线 则在此在圆环域内 有 且展开式唯一 0 n n n f zczz 3 3 解析函数的洛朗展开法 解析函数的洛朗展开法 洛朗级数一般只能用间接法展开 4 4 利用洛朗级数求围线积分 设 利用洛朗级数求围线积分 设在内解析 为 f z 0 rzzR c 内的任何一条正向简单闭曲线 则 其 0 rzzR 1 2 c f z dzic A 中为在内洛朗展开式中的系数 1 c f z 0 rzzR 0 1 zz 说明 围线积分可转化为求被积函数的洛朗展开式中的系 1 0 zz 数 留数留数 十三 孤立奇点的概念与分类 1 1 孤立奇点的定义孤立奇点的定义 在点不解析 但在的内 f z 0 z 0 z 0 0zz 解析 2 2 孤立奇点的类型 孤立奇点的类型 1 可去奇点 展开式中不含的负幂项 0 zz 2 01020 f zcczzczz 2 极点 展开式中含有限项的负幂项 0 zz 1 2 1 01020 1 000 m m mm c cc f zcc zzc zz zzzzzz 0 m g z zz 其中在解析 1 1 01000 mm mm g zcczzczzc zz 0 z 且 0 0 1 0 m g zmc 3 本性奇点 展开式中含无穷多项的负幂项 0 zz 1 0100 00 m m m m cc f zcc zzczz zzzz 12 十四 孤立奇点的判别方法 1 可去奇点 常数 0 0 lim zz f zc 2 极点 0 lim zz f z 3 本性奇点 不存在且不为 0 lim zz f z 4 零点与极点的关系 1 零点的概念 不恒为零的解析函数 如果能表示成 f z 0 mf zzzz 其中在解析 为正整数 称为的级零点 z 0 z 0 0 zm 0 z f zm 2 零点级数判别的充要条件 是的级零点 0 z f zm 0 0 0 1 2 1 0 n m fznm fz 3 零点与极点的关系 是的级零点是的级极 0 z f zm 0 z 1 f z m 点 4 重要结论 若分别是与的级与 级零点 则za z z mn 是的级零点 za z A z mn 当时 是的级零点 mn za z z mn 当时 是的级极点 mn za z z nm 当时 是的可去奇点 mn za z z 13 当时 是的 级零点 mn za zz lmin lm n 当时 是的 级零点 其中mn za zz l lm n 十五 留数的概念 1 1 留数的定义 留数的定义 设为的孤立奇点 在的去心邻域 0 z f z f z 0 z 内解析 为该域内包含的任一正向简单闭曲线 则 0 0zz c 0 z 称积分为在的留数 或残留 记作 1 2 c f z dz i A f z 0 z 0 Re s f zz 1 2 c f z dz i A 2 2 留数的计算方法 留数的计算方法 若是的孤立奇点 则 其中为 0 z f z 0 Re s f zz 1 c 1 c 在的去心邻域内洛朗展开式中的系数 f z 0 z 1 0 zz 1 1 可去奇点处的留数 可去奇点处的留数 若是的可去奇点 则 0 z f z 0 Re s f zz 0 2 2 级极点处的留数级极点处的留数m 法则法则 I I 若是的级极点 则 0 z f zm 0 Re s f zz 0 1 0 1 1 lim 1 m m m zz d zzf z mdz 特别地 若是的一级极点 则 0 z f z 0 Re s f zz 0 0 lim zz zzf z 注 注 如果极点的实际级数比低 上述规则仍然有效 m 法则法则 IIII 设 在解析 P z f z Q z P zQ z 0 z 0 0 P z 则 00 0 0Q zQz 0 0 0 Re P zP z sz Q zQz 十六 留数基本定理 设在区域内除有限个孤立奇点外处处解析 f zD 12 n z zz 为内包围诸奇点的一条正向cD 14 简单闭曲线 则 1 2Re n c n f z dzis f zz A 说明 说明 留数定理把求沿简单闭曲线积分的整体问题转化为求被积 函数在 内各孤立奇点处留数的局部问题 f zc 积分变换复习提纲积分变换复习提纲 一 傅里叶变换的概念 jwt F f tf t edtF w 1 1 2 j t FFFedf t 二 几个常用函数的傅里叶变换 1 F e t j 1 F u t j 1Ft 1 2 F 三 傅里叶变换的性质 位移性 时域 位移性 时域 0 0 jwt F f tte F f t 位移性 频域 位移性 频域 0 0 0 jw t w w w F ef tF wF ww 位移性推论 位移性推论 000 1 sin 2 Fw t f tF wwF ww j 位移性推论 位移性推论 000 1 cos 2 Fw t f tF wwF ww 微分性 时域 微分性 时域 F f tjw F w 0tf t nn F ftjwF w 1 0 n tft 15 微分性 频域 微分性 频域 nn Fjt f tFwFjtf tFw 相似性 相似性 1 w F f atF aa 0 a 四 拉普拉斯变换的概念 0 st L f tf t edtF s 五 几个常用函数的拉普拉斯变换 1 kt L e sk 是自然数是自然数 11 1 m mm mm L tm ss 1 1 1 1 2 mmm 1 1 L u tL s 1Lt 2222 sin cos ks LktLkt sksk 2222 s ks LhktL chkt sksk 设 则 是以 为周期的周 f tTf t 0 1 1 T Ts L f tf t dt e f tT 期函数 六 拉普拉斯变换的性质 微分性 时域 微分性 时域 2 0 0 0 L ftsF sfL fts F ssff 微分性 频域微分性 频域 Lt f tFs nn Ltf tFs 积分性 时域积分性 时域 0 tF s Lf t dt s 积分性 频域积分性 频域 收敛 s f t LF s ds t 位移性 时域位移性 时域 at L ef tF sa 16 位移性 频域位移性 频域 s L f teF s 0 0 0tf t 相似性 相似性 1 s L f atF aa 0 a 七 卷积及卷积定理 1212 f tf tff td 1212 F f tf tF wF w 1212 1 2 F f tf tF wF w 1212 L f tf tF sF s 八 几个积分公式 0 f tt dtf 00 f ttt dtf t 1616 000 f t dtL f t dsF s ds t 0 kt s k f t edtL f t 复变函数复变函数 考试试题考试试题 一 填空题 每题 分 设 则 cossin zri n z 设函数 则的充要条件 f zu x yiv x y 00 Auiv 000 zxiy 0 lim zz f zA 设函数在单连通区域内解析 则在内沿任意一条简单闭曲线的积分 f zD f zDC C f z dz 17 设为的可去奇点 za f zlim za f z 设 则是的 阶零点 2 2 1 z f zze 0z f z 设 则在的邻域内的泰勒展式为 2 1 1 f z z f z0z 设 其中为正常数 则点的轨迹曲线是 zazab a bz 设 则的三角表示为 sincoszi z 1 0 i z ze dz 设 则在处的留数为 2 1 sinf zz z f z0z 二 计算题 计算下列各题 分 1 2 3 34 Lni 1 6 i e 1 1 i i 2 求解方程 分 3 20z 设 验证是调和函数 并求解析函数 使之 分 2 1 uxy u f zuiv 2 fi 计算积分 其中路径为 自原点到点的直线段 1 2 0 i xyix dz 1 i 2 自原点沿虚轴到 再由 沿水平方向向右到 10 分 ii1 i 试将函数在的邻域内的泰勒展开式 分 1 2 f z z 1z 计算下列积分 分 1 2 2 2 sin 2 z z dz z A 2 2 4 2 3 z z dz zz A 计算积分 分 2 0 53cos d 求下列幂级数的收敛半径 分 1 2 1 1 n n n iz 2 1 n n n n z n 设为复平面上的解析函数 试确定 的值 分 3232 f zmynx yi xlxy lmn 三 证明题 设函数在区域内解析 在区域内也解析 证明必为常数 分 f zD f zD f z 试证明的轨迹是一直线 其中为复常数 为实常数 分 0azazb ab 18 复变函数复变函数 考试试题参考答案考试试题参考答案 一 1 2 且 cossin n rnin 0 0 0 lim xx yy u x yu 0 0 0 lim xx yy v x yv 3 0 4 有限值 5 4 6 242 1 n zzz 7