【创新设计】2015高考数学(四川专用,理科)二轮专题整合：1-3-1数列的通项与求和问题

专题三专题三 数列数列 第第 1 讲讲 数列的通项与求和问题数列的通项与求和问题 一 选择题 1 在等差数列 an 中 若 a2 a3 4 a4 a5 6 则 a9 a10等于 A 9B 10 C 11D 12 解析 设等差数列 an 的公差为 d 则有 a4 a5 a2 a3 4d 2 所以 d 又 a9 a10 a4 a5 10d 5 所以 a9 a10 a4 a5 5 11 1 2 答案 C 2 2014 嘉兴教学测试 在各项均为正数的等比数列 an 中 a3 1 a5 1 则 a 2a2a6 a3a7 222 3 A 4B 6 C 8D 8 4 2 解析 在等比数列 an 中 a3a7 a a2a6 a3a5 所以 2 5 a 2a2a6 a3a7 a 2a3a5 a a3 a5 2 1 1 2 2 2 8 2 32 32 5222 答案 C 3 已知数列 1 3 5 7 则其前 n 项和 Sn为 1 2 1 4 1 8 1 16 A n2 1 B n2 2 1 2n 1 2n C n2 1 D n2 2 1 2n 1 1 2n 1 解析 因为 an 2n 1 1 2n 则 Sn n2 1 n 1 2n 1 2 1 1 2n 1 2 1 1 2 1 2n 答案 A 4 2014 烟台一模 在等差数列 an 中 a1 2 012 其前 n 项和为 Sn 若 2 002 则 S2 014的值等于 S2 012 2 012 S10 10 A 2 011B 2 012 C 2 014D 2 013 解析 等差数列中 Sn na1 d a1 n 1 即数列是首项 n n 1 2 Sn n d 2 Sn n 为 a1 2 012 公差为 的等差数列 因为 2 002 所以 2 d 2 S2 012 2 012 S10 10 012 10 2 002 1 所以 S2 014 2 014 2 012 2 014 1 1 2 d 2 d 2 014 选 C 答案 C 5 2014 合肥质量检测 数列 an 满足 a1 2 an 其前 n 项积为 Tn an 1 1 an 1 1 则 T2 014 A B 1 6 1 6 C 6D 6 解析 由 an 得 an 1 an 1 1 an 1 1 1 an 1 an a1 2 a2 3 a3 a4 a5 2 a6 3 1 2 1 3 故数列 an 具有周期性 周期为 4 a1a2a3a4 1 T2 014 T2 a1a2 2 3 6 答案 D 二 填空题 6 2014 衡水中学调研 已知数列 an 满足 a1 an 1 an n 2 则 1 2 an 1an n n 1 该数列的通项公式 an 解析 an 1 an n 2 an 1an n n 1 an 1 an an 1an 1 n n 1 1 an 1 an 1 1 n 1 1 n 1 a2 1 a1 1 1 1 2 1 a3 1 a2 1 2 1 3 1 an 1 an 1 1 n 1 1 n 1 又 a1 3 1 an 1 a1 1 n 1 2 1 an 1 n an n 3n 1 答案 n 3n 1 7 设等差数列 an 的前 n 项和为 Sn Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 则 m 等于 解析 由 Sm 1 2 Sm 0 Sm 1 3 得 am 2 am 1 3 所以 d 1 因为 Sm 0 故 ma1 d 0 故 a1 m m 1 2 m 1 2 因为 am am 1 5 故 am am 1 2a1 2m 1 d m 1 2m 1 5 即 m 5 答案 5 8 2014 广东卷 若等比数列 an 的各项均为正数 且 a10a11 a9a12 2e5 则 ln a1 ln a2 ln a20 解析 a10a11 a9a12 2a10a11 2e5 a10 a11 e5 ln a1 ln a2 ln a20 10ln a10 a11 10 ln e5 50 答案 50 三 解答题 9 2014 北京卷 已知 an 是等差数列 满足 a1 3 a4 12 数列 bn 满足 b1 4 b4 20 且 bn an 为等比数列 1 求数列 an 和 bn 的通项公式 2 求数列 bn 的前 n 项和 解 1 设等差数列 an 的公差为 d 由题意得 d 3 a4 a1 3 12 3 3 所以 an a1 n 1 d 3n n 1 2 设等比数列 bn an 的公比为 q 由题意得 q3 8 解得 q 2 b4 a4 b1 a1 20 12 4 3 所以 bn an b1 a1 qn 1 2n 1 从而 bn 3n 2n 1 n 1 2 2 由 1 知 bn 3n 2n 1 n 1 2 数列 3n 的前 n 项和为 n n 1 数列 2n 1 的前 n 项和为 2n 1 3 2 1 2n 1 2 所以 数列 bn 的前 n 项和为 n n 1 2n 1 3 2 10 2014 江西卷 已知首项都是 1 的两个数列 an bn bn 0 n N 满足 anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 1 令 cn 求数列 cn 的通项公式 an bn 2 若 bn 3n 1 求数列 an 的前 n 项和 Sn 解 1 因为 anbn 1 an 1bn 2bn 1bn 0 bn 0 n N 所以 2 即 cn 1 cn 2 an 1 bn 1 an bn 所以数列 cn 是以首项 c1 1 公差 d 2 的等差数列 故 cn 2n 1 2 由 bn 3n 1知 an cnbn 2n 1 3n 1 于是数列 an 前 n 项和 Sn 1 30 3 31 5 32 2n 1 3n 1 3Sn 1 31 3 32 2n 3 3n 1 2n 1 3n 相减得 2Sn 1 2 31 32 3n 1 2n 1 3n 2 2n 2 3n 所以 Sn n 1 3n 1 11 2014 成都诊断 已知数列 an 前 n 项和为 Sn 首项为 a1 且 an Sn成等差 1 2 数列 1 求数列 an 的通项公式 2 数列 bn 满足 bn log2a2n 1 log2a2n 3 求数列的前 n 项和 1 bn 解 1 an Sn成等差数列 2an Sn 1 2 1 2 当 n 1 时 2a1 S1 a1 1 2 1 2 当 n 2 时 Sn 2an Sn 1 2an 1 1 2 1 2 两式相减得 an Sn Sn 1 2an 2an 1 2 an an 1 所以数列 an 是首项为 公比为 2 的等比数列 1 2 即 an 2n 1 2n 2 1 2 2 bn log2a2n 1 log2a2n 3 log222n 1 2 l