高二数学导数大题练习(详细答案)

高二数学导数部分大题练习 1 已知函数的图象如图所dxbacbxaxxf 23 23 示 I 求的值 dc II 若函数在处的切线方程为 求 xf2 x0113 yx 函数的解析式 xf III 在 II 的条件下 函数与的 xfy mxxfy 5 3 1 图象有三个不同的交点 求的取值范围 m 2 已知函数 3ln Raaxxaxf I 求函数的单调区间 xf II 函数的图象的在处切线的斜率为若函数 xf4 x 2 3 在区间 1 3 上不是单调函数 求 m 的取值范围 2 3 1 23 m xfxxxg 3 已知函数的图象经过坐标原点 且在处取得极大cbxaxxxf 23 1 x 值 I 求实数 的取值范围 a II 若方程恰好有两个不同的根 求的解析式 9 32 2 a xf xf III 对于 II 中的函数 对任意 求证 xfR 81 sin2 sin2 ff 4 已知常数 为自然对数的底数 函数 0 ae xexf x xaxxgln 2 I 写出的单调递增区间 并证明 xfaea II 讨论函数在区间上零点的个数 xgy 1 a e 高二数学导数部分大题练习 5 已知函数 ln 1 1 1f xxk x I 当时 求函数的最大值 1k f x II 若函数没有零点 求实数 的取值范围 f xk 6 已知是函数的一个极值点 2x 2 23 x f xxaxae 718 2 e I 求实数 的值 a II 求函数在的最大值和最小值 f x 3 2 3 x 7 已知函数 0 ln 2 4 2 aRaxaxxxf I 当 a 18 时 求函数的单调区间 xf II 求函数在区间上的最小值 xf 2 ee 8 已知函数在上不具有单调性 6 lnf xx xax 2 x I 求实数 的取值范围 a II 若是的导函数 设 试证明 对任意两个不相 fx f x 2 2 6g xfx x 等正数 不等式恒成立 12 xx 1212 38 27 g xg xxx 高二数学导数部分大题练习 9 已知函数 1 ln 1 2 1 2 axaaxxxf I 讨论函数的单调性 xf II 证明 若 1 0 5 21 21 2121 xx xfxf xxxxa有则对任意 10 已知函数 2 1 ln 1 1 2 f xxaxg xaxa I 若函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同 求 f xg x 1 3 实数 的取值范围 a II 若 设 求证 当时 1 2 71828 aee F xf xg x 12 1 x xa 不等式成立 12 1F xF x 11 设曲线 表示导函数 C lnf xxex 2 71828e fx f x I 求函数的极值 f x II 对于曲线上的不同两点 求证 存在唯一C 11 A x y 22 B xy 12 xx 的 使直线的斜率等于 0 x 12 x x AB 0 fx 12 定义 0 1 yxxyxF y I 令函数 写出函数的定义域 2 2 3 log 24 f xFxx f x II 令函数的图象为曲线 C 若存在实数 b 使得 32 2 1 log 1 g xFxaxbx 曲线 C 在处有斜率为 8 的切线 求实数 的取值范围 14 00 xxa III 当且时 求证 x y Nxy F x yF y x 高二数学导数部分大题练习 答案答案 1 解 函数的导函数为 2 分 xfbacbxaxxf2323 2 I 由图可知 函数的图象过点 0 3 且 xf0 1 f 得 4 分 0 3 02323 3 c d bacba d II 依题意 且 3 2 f5 2 f 534648 323412 baba baba 解得 所以 8 分 6 1 ba396 23 xxxxf III 可转化为 有三9123 2 xxxf mxxxxxx 534396 223 个不等实根 即 与 轴有三个交点 mxxxxg 87 23 x 4238143 2 xxxxxg x 3 2 3 2 4 3 2 4 4 x g 0 0 xg 增极大值减极小值增 10 分 mgmg 164 27 68 3 2 当且仅当时 有三个交点 01640 27 68 3 2 mgmg且 故而 为所求 12 分 27 68 16 m 2 解 I 2 分 0 1 x x xa xf 当 1 1 0 0减区间为的单调增区间为时xfa 当 1 0 1 0减区间为的单调增区间为时 xfa 当 a 1 时 不是单调函数 5 分 xf II 32ln2 2 2 3 4 3 4 xxxfa a f得 6 分 2 4 2 2 2 3 1 223 xmxxgxx m xxg 2 0 3 1 gxg且上不是单调函数在区间 8 分 10 分 12 分 0 3 0 1 g g 3 19 3 m m 3 3 19 m 3 解 I 23 00 0 2 baxxxfcf 320 1 abf 323 1 32 23 2 axxaaxxxf 高二数学导数部分大题练习 由 因为当时取得极大值 3 32 10 a xxxf或1 x 所以 所以 31 3 32 a a 3 的取值范围是a II 由下表 x 1 1 3 32 1 a 3 32 a 3 32 a x f 0 0 xf 递增 极大 值 2 a 递减 极小值 2 32 27 6 a a 递增 依题意得 解得 9 32 32 27 6 2 2 a a a 9 a 所以函数的解析式是 xfxxxxf159 23 III 对任意的实数都有 2sin22 2sin22 在区间 2 2 有 230368 2 7 1 7430368 2 fff 7 1 fxf的最大值是7430368 2 fxf的最小值是 函数上的最大值与最小值的差等于81 2 2 在区间xf 所以 81 sin2 sin2 ff 4 解 I 得的单调递增区间是 201 x exf xf 0 分 即 4 分 0 a1 0 fafaaea 1aea II 由 得 列表 x a x a x x a xxg 2 2 2 2 2 2 0 x g 2 2a x x 2 2 0 a 2 2a 2 2 a x g 0 xg 单调递减极小值单调递增 当时 函数取极小值 无极大值 2 2a x xgy 2 ln1 2 2 2 aaa g 由 I aea 2 2 a a ee aa 2 2 a e a 2 2a ea 8 分 01 1 g0 22 aeaeaeeg aaaa i 当 即时 函数在区间不存在零点1 2 2 a 20 a xgy 1 a e ii 当 即时1 2 2 a 2 a 若 即时 函数在区间不存在零点0 2 ln1 2 aa ea22 xgy 1 a e 高二数学导数部分大题练习 若 即时 函数在区间存在一个零点 0 2 ln1 2 aa ea2 xgy 1 a eex 若 即时 函数在区间存在两个零点 0 2 ln1 2 aa ea2 xgy 1 a e 综上所述 在上 我们有结论 xgy 1 a e 当时 函数无零点 02ae f x 当 时 函数有一个零点 2ae f x 当时 函数有两个零点 2ae f x 5 解 I 当时 1k 2 1 x fx x 定义域为 1 令 当 xf 0 2fxx 得 1 2 x 时 0fx 当 2 x 时 0fx 内是增函数 上是减函数 1 2 f x 在 2 在 当时 取最大值 2x f x 2 0f II 当 函数图象与函数图象有公共点 0k 时ln 1 yx 1 1yk x 函数有零点 不合要求 当 f x0k 时 6 分 1 11 111 k k x kkx k fxk xxx 令 1 0 k fxx k 得 1 1 0 k xfx k 时 1 1 0 xfx k 时 内是增函数 上是减函数 1 1 1 f x k 在 1 1 k 在 的最大值是 f x 1 1 lnfk k 函数没有零点 f xln0k 1k 因此 若函数没有零点 则实数 的取值范围 f xk 1 k 6 解 I 由可得 2 23 x f xxaxae 4 分 22 2 23 2 3 xxx fxxa exaxaexa xae 是函数的一个极值点 2x f x 2 0 f 解得 2 5 0ae 5a II 由 得在递增 在递增 0 1 2 x exxxf xf 1 2 由 得在在递减0 x f xf 2 1 是在的最小值 8 分 2 2 ef f x 3 2 3 x 2 3 4 7 2 3 ef 3 3 ef 2 3 3 0 74 4 1 4 7 2 3 3 2 3 2 3 3 ffeeeeeff 在的最大值是 f x 3 2 3 x 3 3 ef 7 解 xxxxfln164 2 2 分 x xx x xxf 4 2 216 42 高二数学导数部分大题练习 由得 解得或0 xf0 4 2 xx4 x2 x 注意到 所以函数的单调递增区间是 4 0 x xf 由得 解得 2 4 0 xf0 4 2 xxx 注意到 所以函数的单调递减区间是 0 x xf 4 0 综上所述 函数的单调增区间是 4 单调减区间是6 分 xf 4 0 在时 2 eex xaxxxfln 2 4 2 所以 x axx x a xxf 2422 42 2 设axxxg 242 2 当时 有 16 4 2 0 a08 2 aa 此时 所以 在上单调递增 0 xg0 xf xf 2 ee 所以8 分aeeefxf 24 2 min 当时 0 a08 2 2416 aa 令 即 解得或 0 xf0242 2 axx 2 2 1 a x 2 2 1 a x 令 即 解得 0 xf0242 2 axx 2 2 1 a 2 2 1 a x 若 即 时 2 2 1 a 2 ea 22 1 2 e 在区间单调递减 所以 xf 2 eeaeeefxf244 242 min 若 即时间 2 2 2 1e a e 222 1 2 1 2 eae 在区间上单调递减 在区间上单调递增 xf 2 2 1 a e 2 2 1 2 e a 所以 min xf 2 2 1 a f 2 2 1ln 2 32 2 a aa a 若 即 2时 在区间单调递增 2 2 1 a ea 0 2 1 e xf 2 ee 所以aeeefxf 24 2 min 综上所述 当 2时 a 22 1 eaeaxf244 24 min 当时 222 1 2 1 2 eae 2 2 1ln 2 32 2 min a aa a xf 当 时 14 分a 2 1 2 eaeexf 24 2 min 8 解 I 2 26 26 axxa fxx xx 在上不具有单调性 在上有正也有负也有 0 f x 2 x 2 x fx 即二次函数在上有零点 4 分 2 26yxxa 2 x 是对称轴是 开口向上的抛物线 2 26yxxa 3 2 x 2 2 26 20ya 的实数 的取值范围 a 4 高二数学导数部分大题练习 II 由 I 2 2 2 a g xx xx 方法 1 22 22 62 0 a g xfxxx xxx 8 分 4a 3 23233 444244 22 axx g x xxxxx 设 23 44 2h x xx 344 8124 23 x h x xxx 在是减函数 在增函数 当时 取最小值 h x 3 0 2 3 2 3 2 x h x 38 27 从而 函数是增函数 g x 38 27 38 0 27 g x x 38 27 yg xx 是两个不相等正数 不妨设 则 12 xx 12 xx 2211 3838 2727 g xxg xx 2121 38 27 g xg xxx 21 0 xx 12 12 38 27 g xg x xx 即 12 分 12 12 g xg x xx 38 27 1212 38 27 g xg xxx 方法 2 是曲线上任意两相异点 11 M x g x 22 N x g x yg x 1212 22 121212 2 2 g xg xxxa xxx xx x 1212 2xxx x 4a 8 分 12 22 3 121212 12 2 4 22 xxaa x xx xx xx x 3 12 12 44 2 x xx x 设 令 12 1 0tt x x 32 244 MN ku ttt 4 32 u ttt 由 得由得 0u t 2 3 t 0u t 2 0 3 t 在上是减函数 在上是增函数 u t 3 2 0 3 2 在处取极小值 所以 tu 3 2 t 27 3838 27 u t 12 12 g xg x xx 38 27 即 1212 38 27 g xg xxx 9 1 的定义域为 xf 0 x axx x aaxx x a axxf 1 1 11 2 i 若 则 故在单调增加 2 11 aa即 1 2 x x xf xf 0 ii 若 0 1 1 21 1 11 xfaxaaa时则当故而 单调减少 在 0 a 1 1 1 0 1 1 0 axfxfxax在故时及当 单调增加 1 iii 若单调增加 1 1 0 1 1 2 11 aaxfaa在单调减少在同理可得即 II 考虑函数 xxfxg ln 1 2 1 2 xxaaxx 高二数学导数部分大题练习 由 11 1 1 1 2 1 1 2 aa x a x x a axxg 由于 从而当时有单调增加在即故 0 0 5 xgxgaa0 21 xx 0 0 212121 xxxfxfxgxg即 故 当时 有1 21 21 xx xfxf 21 0 xx 1 12 12 21 21 xx xfxf xx xfxf 10 解 I 1 a fxxg xa x 函数在区间上都是单调函数且它们的单调性相同 f xg x 1 3 当时 恒成立 即恒 1 3 x 2 1 0 axa fxg x x 2 1 0axa 成立 在时恒成立 或在时恒成立 2 1a ax 1 3 x 2 1a ax 1 3 x 或 91x 1a 9a II 2 1 ln 1 2 F xxaxax 1 1 axa x F xxa xx 定义域是 即 F x 0 1 ae 1a 在是增函数 在实际减函数 在是增函数 F x 0 1 1 a a 当时 取极大值 1x F x 1 1 2 MFa 当时 取极小值 xa F x 2 1 ln 2 mF aaaaa 12 1 x xa 12 F xF xMmMm 设 则 2 11 ln 22 G aMmaaa ln1G aaa 1 1G a a 1 ae 0G a 在是增函数 ln1G aaa 1 ae 1 0G aG 在也是增函数 2 11 ln 22 G aaaa 1 ae 即 G aG e 2 2 11 1 1 222 e G aee 而 22 2 11 1 3 1 111 2222 e ee 1G aMm 当时 不等式成立 12 1 x xa 12 1F xF x 11 解 I 得 11 0 ex fxe xx 1 x e 当 变化时 与变化情况如下表 x fx f x x 1 0 e 1 e 1 e fx 0 高二数学导数部分大题练习 f x 单调递增极大值单调递减 当时 取得极大值 没有极小值 1 x e f x 1 2f e II 方法 1 0 AB fxk 2121 021 lnln 1xxe xx e xxx 212 01 ln0 xxx xx 即 设 2 021 1 ln 0 x xxx x 2 21 1 ln x g xxxx x 是的增函数 2 1121 1 ln x g xxxx x 1 2 1 1 ln10 x x g x x 1 g x 1 x 12 xx 2 12222 2 ln 0 x g xg xxxx x 是的增函数 2 2221 1 ln x g xxxx x 2 2 2 1 ln10 x x g x x 2 g x 2 x 12 xx 1 21111 1 ln 0 x g xg xxxx x 函数在内有零点 2 21 1 ln x g xxxx x 12 x x 0 x 又 函数在是增函数 22 11 1 ln0 xx xx 2 21 1 ln x g xxxx x 12 x x 函数在内有唯一零点 命题成立 212 1 ln xxx g x xx 12 x x 0 x 方法 2 0 AB fxk 2121 021 lnln 1xxe xx e xxx 即 且唯一 020112 lnln0 xxxxxx 012 xx x 0 x 设 则 2112 lnlng xxxxxxx 1121112 lnlng xxxxxxx 再设 22 lnlnh xxxxxxx 2 0 xx 2 lnln0h xxx 在是增函数 22 lnlnh xxxxxxx 2 0 xx 同理 112 0g xh xh x 2 0g x 方程在有解 2112 lnln0 xxxxxx