对数函数知识点总结

对数函数对数函数 一 对数 1 对数的概念 一般地 如果 那么数叫做以为底的对数 Na x 1 0 aaxaN 记作 底数 真数 对数式 Nx a log aNN a log 说明 注意底数的限制 且 1 0 a1 a 2 xNNa a x log 注意对数的书写格式 3 两个重要对数 常用对数 以 10 为底的对数 1 Nlg 自然对数 以无理数为底的对数的对 2 71828 2 e 数 Nln 二 对数的运算性质 如果 且 那么 0 a1 a0 M0 N 1 M a log NM a logN a log 2 N M a logM a logN a log 3 n aM logn M a log Rn 注意 换底公式 且 且 a b b c c a log log log 0 a1 a0 c1 c 0 b 利用换底公式推导下面的结论 1 2 b m n b a n am loglog a b b a log 1 log 二 对数函数 1 对数函数的概念 函数 且叫做对数0 log axy a 1 a 函数 其中是自变量 函数的定义域是 0 x 注意 对数函数的定义与指数函数类似 都是形式定义 注 1 意辨别 如 都不是对数函数 而只能xy 2 log2 5 log5 x y 称其为对数型函数 对数函数对底数的限制 且 2 0 a 1 a 2 对数函数的性质 a 10 a0 得 函数的定义域是 2 x0 x 2 log xy a 0 x x 2 由得 函数的定义域是 04 x4 x 4 logxy a 4x x 3 由 9 得 3 函数的定义域是0 2 x3 x 9 log 2 xy a 例例 2 2 求函数和函数的反函数 33xx 2 5 1 x y2 2 1 1 2 x y 0 x 解 1 1 2 5 x y 1 1 5 log 2 fxx 2 x 2 2 1 1 2 2 x y 1 1 2 log 2 fxx 5 2 2 x 例例 4 4 比较下列各组数中两个值的大小 1 2 3 2 log 3 4 2 log 8 5 0 3 log1 8 0 3 log2 7log 5 1 a log 5 9 a 解 1 对数函数在上是增函数 于是 2 logyx 0 2 log 3 4 2 log 8 5 2 对数函数在上是减函数 于是 0 3 logyx 0 0 3 log1 8 0 3 log2 7 3 当时 对数函数在上是增函数 于是1a logayx 0 log 5 1 a log 5 9 a 当时 对数函数在上是减函数 于是 1oa logayx 0 log 5 1 a log 5 9 a 例例 5 5 比较下列比较下列各组数中两个值的大小 1 2 6 log 7 7 log 6 3 log 2 log 0 8 3 4 0 9 1 1 1 1 log0 9 0 7 log0 8 5 log 3 6 log 3 7 log 3 解 1 66 log 7log 61 77 log 6log 71 6 log 7 7 log 6 2 33 loglog 10 22 log 0 8log 10 3 log 2 log 0 8 3 0 90 1 11 11 1 11 1 log0 9log 10 0 70 70 7 0log1log0 8log0 71 0 9 1 1 0 7 log0 8 1 1 log0 9 4 333 0log 5log 6log 7 5 log 3 6 log 3 7 log 3 例例 7 7 求下列函数的值域 1 2 3 2 log 3 yx 2 2 log 3 yx 且 2 log 47 a yxx 0a 1a 解 1 令 则 即函数值域为 3tx 2 logyt 0t yR R 2 令 则 即函数值域为 2 3tx 03t 2 log 3y 2 log 3 3 令 当时 即值域为 22 47 2 33txxx 1a log 3 a y log 3 a 当时 即值域为 01a log 3 a y log 3 a 例例 8 8 判断函数的奇偶性 2 2 log 1 f xxx 解 恒成立 故的定义域为 2 1xx f x 2 2 log 1 fxxx 所以 2 2 1 log 1xx 2 2 222 1 log 1 xx xx 2 2 log1 xxf x 为奇函数 f x 例例 9 9 求函数的单调区间 2 1 3 2log 32 yxx 解 令在上递增 在上递减 22 31 32 24 uxxx 3 2 3 2 又 或 2 320 xx 2x 1x 故在上递增 在上递减 又 为减函数 2 32uxx 2 1 1 3 2logyu 所以 函数在上递增 在上递减 2 1 3 2log 32 yxx 2 1 例例 1010 若函数在区间上是增函数 的取值范围 2 2 log yxaxa 13 a 解 令 函数为减函数 2 ug xxaxa 2 logyu 在区间上递减 且满足 2 ug xxaxa 13 0u 解得 13 2 13 0 a g 22 32a 所以 的取值范围为 a 22 3 2 例例1 1 1 y log 2 y 1 1log a0a1 3 f x 01 y f log 3x 1 2 a 1 3 求函数的定义域 求函数 且 的定义域 已知函数的定义域是 求函数 的定义 32 21 x x xa 解解 1 由 或 log 1 2 32 21 0 32 21 0 210 32 21 1 32 210 1 2 1 21 0 1 2 2 3 1 2 x x x x x x x xx x x x xx x 1 2 1 1 2 2 3 1 2 2 3 1 或 x xx x x 所求定义域为 x 2 3 x1 解 2 1 loga x a 0 loga x a 1 当 a 1 时 0 x a a 函数的定义域为 a 0 当 0 a 1 时 x a a 函数的定义域为 0 解解 3 f x 01 y f log 3x 1 3 的定义域为 函数 有意义 必须满足 即 故函数 的定义域为 0log 3x 1loglog 3x log 1 3 1 3 3 x12xy f log 3x 2 1 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 8 3 8 3 例例2 2 y 10 x 已知函数 试求它的反函数 以及反函数的定义 1 10 x 域和值域 解解 y 10 y1y 10 1y 10 y10 y 1y 00y1 xx xx 已知函数的定义域为 由得 即为函数的值域 R 110110 xx 由得 即反函数 10 y 1y x lg y 1y f x lg x 1x x1 反函数的定义域为 0 1 值域为 y R 例 3 作出下列函数的图像 并指出其单调区间 1 y lg x 2 y log2 x 1 3 y log x1 4 ylog 1x 1 2 2 解 1 y lg x 的图像与 y lgx 的图像关于 y 轴对称 如图 2 8 3 所示 单调减区间是 0 解 2 先作出函数 y log2 x 的图像 再把它的图像向左平移 1 个单位就得 y log2 x 1 的图像如图 2 8 4 所示 单调递减区间是 1 单调递增区间是 1 解解 3 y log x1y log x1 1 2 1 2 把的图像向右平移 个单位得到 的图像 保留其在 x 轴及 x 轴上方部分不变 把 x 轴下方的图像以 x 轴为 对称轴翻折到 轴上方 就得到 的图像 如图 xy log x1 285 1 2 所示 单调减区间是 1 2 单调增区间是 2 解 4 函数 y log2 x 的图像与函数 y log2x 的图像关于 y 轴对称 故 可先作 y log2 x 的图像 再把 y log2 x 的图像向右平移 1 个单位得到 y log2 1 x 的图像 如图 2 8 6 所示 单调递减区间是 1 例 4 图 2 8 7 分别是四个对数函数 y logax y logbx y logcx y logdx 的图像 那么 a b c d 的大小关系是 A d c b aB a b c d C b a d cD b c a d 解 选 C 根据同类函数图像的比较 任取一个 x 1 的值 易得 b a 1 d c 例 5 已知 loga3 logb3 试确定 a 和 b 的大小关系 解法一 令 y1 logax y2 logbx logax logb3 即取 x 3 时 y1 y2 所以它们的图像 可能有如下三种情况 1 当 loga3 logb3 0 时 由图像 2 8 8 取 x 3 可得 b a 1 2 当 0 loga3 logb3 时 由图像 2 8 9 得 0 a b 1 3 当 loga3 0 logb3 时 由图像 2 8 10 得 a 1 b 0 例例6 6 aba1logloglog alog b 2 abba 若 则 的大小 a b b a 顺序是 解解 aba1011log a b 0log b a 00log a1log b1aba1a1loglog a 1logloglog alog b 2 ab ba 2 bb abba 由 得 故得 a b b a b a b a a b b a 例例8 8 f x log x a0a1 a 已知函数 且 判断其1 2 x奇偶性 解法一 已知函数的定义域为 R 则 x R f x log 1 xx log a 2 a 11 1 22 2 xxxx xx log log log a a a 1 1 1 1 1 22 2 2 2 xx xx xx xxf x f x 是奇函数 解法二 已知函数的定义域为 R 由 f x f x log 1 xx log 1 xx log1 x1 x a 22 a 22 xx loga1 0 f x f x 即 f x 为奇函数 单元测试单元测试 一 选择题 每小题 5 分 共 50 分 1 对数式中 实数a的取值范围是 ba a 5 log 2 A B 2 5 C D 5 2 5 3 3 2 2 如果lgx lga 3lgb 5lgc 那么 A x a 3b cB C D x a b3 c3 c ab x 5 3 5 3 c ab x 3 设函数y lg x2 5x 的定义域为M 函数y lg x 5 lgx的定义域为N 则 A M N RB M N C MN D MN 4 若a 0 b 0 ab 1 ln2 则logab与的关系是 a 2 1 loga 2 1 log A logab B logab a 2 1 loga 2 1 log C logab D logab a 2 1 loga 2 1 log 5 若函数log2 kx2 4kx 3 的定义域为R 则k的取值范围是 A B C D 4 3 0 4 3 0 4 3 0 4 3 0 6 下列函数图象正确的是 A B C D 7 已知函数 其中log2f x 2x xR 则g x 1 xf xfxg A 是奇函数又是减函数 B 是偶函数又是增函数 C 是奇函数又是增函数 D 是偶函数又是减函数 9 如果y log2a 1x在 0 内是减函数 则a的取值范围是 A a 1B a 2C a D 2 21 a 10 下列关系式中 成立的是 A B 10log 5 1 4log 3 1 0 3 4log 5 1 10log 3 0 3 1 C D 0 3 13 5 1 10log4log 0 3 3 1 5 1 4log10log 二 填空题 每小题 6 分 共 24 分 11 函数的定义域是 值域是 2 log 2 2 1 xy 12 方程 log2 2x 1 log2 2x 1 2 2 的解为 13 将函数的图象向左平移一个单位 得到图象 C1 再将 C1向上平移一个单位得到 x y2 图象 C2 作出 C2关于直线 y x 对称的图象 C3 则 C3的解析式为 14 函数y 的单调递增区间是 124 log 2 2 1 xx 三 解答题 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 共 76 分 15 12分 已知函数 log 1 log 1 1 log 222 xpx x x xf 1 求函数f x 的定义域 2 求函数f x 的值域 16 12分 设x y z R 且3x 4y 6z 1 求证 2 比较3x 4y 6z的大小 yxz2 111 17 12分 设函数 1lg 2 xxxf 1 确定函数f x 的定义域 2 判断函数f x 的奇偶性 3 证明函数 f x 在其定义域上是单调增函数 4 求函数 f x 的反函数 18 现有某种细胞100个 其中有占总数的细胞每小时分裂一次 即由1个细胞分裂成2 1 2 个细胞 按这种规律发展下去 经过多少小时 细胞总数可以超过个 参考数 10 10 据 lg30 477 lg20 301 20 14 分 已求函数的单调区间 1 0 log 2 aaxxy a 必修必修 1 1 数学章节测试 数学章节测试 7 7 第二单元 对数函数第二单元 对数函数 一 DCCAB BDBDA 二 11 12 0 13 2 112 01 1 log2 xy 14 2 三 15 解 1 函数的定义域为 1 p 2 当p 3时 f x 的值域为 2log2 p 1 2 当1 p3 时 f x 的值域为 1 log2 p 1 16 解 1 设3x 4y 6z t x 0 y 0 z 0 t 1 lgt 0 6lg lg 4lg lg 3lg lg log3 t z t y t tx yttttxz2 1 lg2 4lg lg 2lg lg 3lg lg 6lg11 2 3x 4y 6z 17 解 1 由得x R 定义域为R 2 是奇函数 3 设x1 x2 R 01 01 2 2 x xx 且x1 x2 则 令 1 1 lg 2 22 2 11 21 xx xx xfxf 1 2 xxt 则 1 1 2 22 2 1121 xxxxtt 11 2 2 2 121 xxxx 11 2 2 2 1 2121 21 xx xxxx xx 11 11 2 2 2 1 21 2 2 2 121 xx xxxxxx x1 x2 0 01 1 2 1 xx01 2 2 2 xx011 2 2 2 1 xx t1 t2 0 0 t1 t2 10 2 1 t t f x1 f x2 lg1 0 即f x1 f x2 函数f x 在R上是单调增函数 4 反函数为 xR x x y 102 1