专题复习(一)(解析几何)

1 专题复习 一 专题复习 一 解析几何 实高提供 解析几何 实高提供 1 画出以A 3 1 B 1 1 C 1 3 为顶点的 ABC的区域 包括各边 写出该区域所表示的二元一次不等式组 并求以该区域为可行域的目标函数 z 3x 2y的最大值和最小值 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 解 如图 连结点A B C 则直线AB BC CA所围成的区域为所求 ABC区域 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 直线AB的方程为x 2y 1 0 BC及CA的直线方程分别为x y 2 0 2x y 5 0 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 在 ABC内取一点P 1 1 分别代入x 2y 1 x y 2 2x y 5 得x 2y 1 0 x y 2 0 2x y 50 只能 于是 点P的坐标是 yx 2 3 y 2 35 2 3 2 35 2 直线 AP的方程是 6 0 设点 M 0 则 M 到直线 AP的距离是x3ym 于是 又 6 6 解得 2 2 6 m 2 6 m 6 mmm 椭圆上的点 到点 M 的距离有xyd 7 15 2 9 9 4 9 5 20442 2 222 2 2 xxxxyxd 由于 6 x 6 当 时 d 取得最小值 x 2 9 15 7 在平面直角坐标系 xoy 中 直线 l 与抛物线相交于不同的 A B 两点 xy4 2 如果直线 l 过抛物线的焦点 求的值 OBOA 如果证明直线 l 必过一定点 并求出该定点 4 OBOA 解 由题意 抛物线焦点为 1 0 设消去 x 得 41 2 xytyxl 代入抛物线 044 2211 2 yxByxAtyy设 则 4 4 2121 yytyy 212121 2 21222121 1 1 1 yyyytyyt yytytyyyxxOBOA 34144 22 tt 设消去 x 得xybtyxl4 2 代入抛物线 则 y1 y2 4t y1y2 4b 044 2211 2 yxByxAbtyy设 21 2 2121 2 21212121 yybyybtyyt yybtybtyyyxxOBOA bbbbbtbt4444 2222 令2044 44 22 bbbbb 直线l过定点 2 0 8 如图 圆 O1与圆 O2的半径都是 1 O1O2 4 过 8 动点 P 分别作圆 O1 圆 O2的切线 PM PN M N 分别为切点 使得试建2PMPN 立适当的坐标系 并求动点 P 的轨迹方程 解 以 O1O2的中点 O 为原点 O1O2所在 直线为x轴 建立如图所示平面直角坐 标系 则 O1 2 0 O2 2 0 由已 知 即PN2 因为两圆的半径 都为 1 所以有 设 P x y 则 x 2 2 y2 1 2 x 2 2 y2 1 1 21 2 2 2 1 POPO 即33 6 22 yx 综上所述 所求轨迹方程为 或 33 6 22 yx0312 22 xyx 9 设椭圆方程为 过点 M 0 1 的直线 l 交椭圆于点 A B O 是坐标1 4 2 2 y x 原点 点 P 满足 点 N 的坐标为 当 l 绕点 M 旋转时 2 1 OBOAOP 2 1 2 1 求 1 动点 P 的轨迹方程 2 的最小值与最大值 NP 解 1 解法一 直线 l 过点 M 0 1 设其斜率为 k 则 l 的方程为 1 kxy 记 由题设可得点 A B 的坐标 是方程组 11 yxA 22 yxB 11 yx 22 yx 的解 1 4 1 2 2 y x kxy 将 代入 并化简得 所以032 4 22 kxxk P M N O1O2 O y x 9 4 8 4 2 2 21 2 21 k yy k k xx 于是 4 4 4 2 2 2 1 22 2121 kk kyyxx OBOAOP 设点 P 的坐标为则消去参数 k 得 yx 4 4 4 2 2 k y k k x 04 22 yyx 当 k 不存在时 A B 中点为坐标原点 0 0 也满足方程 所以点 P 的轨迹方程为 0 4 22 yyx 解法二 设点 P 的坐标为 因 在椭圆上 yx 11 yxA 22 yxB 所以 1 4 2 12 1 y x 1 4 2 22 2 y x 得 所以0 4 1 2 2 2 1 2 2 2 1 yyxx 0 4 1 21212121 yyyyxxxx 当时 有 21 xx 0 4 1 21 21 2121 xx yy yyxx 并且 将 代入 并整理得 1 2 2 21 21 21 21 xx yy x y yy y xx x 0 4 22 yyx 当时 点 A B 的坐标为 0 2 0 2 这时点 P 的坐标为 0 0 21 xx 10 也满足 所以点 P 的轨迹方程为 1 4 1 2 1 16 1 2 2 y x 2 解 由点 P 的轨迹方程知所以 4 1 4 1 16 1 2 xx即 12 7 6 1 34 4 1 2 1 2 1 2 1 222222 xxxyxNP 故当 取得最小值 最小值为时 取得最大值 4 1 x NP 6 1 4 1 x当 NP 最大值为 6 21 10 已知焦点在x轴上的双曲线 C 的两条渐近线过坐标原点 且两条渐近线与以点 为圆心 1 为半径为圆相切 又知 C 的一个焦点与 A 关于直线 y x对称 2 0 A 1 求双曲线 C 的方程 2 若 Q 是双曲线 C 上的任一点 F1 F2为双曲线 C 的左 右两个焦点 从 F1引 F1QF2的平分线的垂线 垂足为 N 试求点 N 的轨迹方程 解 1 设双曲线 C 的渐近线方程为 y kx 即 kx y 0 该直线与圆 相切 1 2 22 yx 双曲线 C 的两条渐近线方程为 xy 故设双曲线 C 的方程为 又 双曲线 C 的一个焦点为1 2 2 2 2 a y a x 0 2 双曲线 C 的方程为 1 22 22 aa1 22 yx 2 若 Q 在双曲线的右支上 则延长 QF2到 T 使 QT OF1 若 Q 在双曲线的左支上 则在 QF2上取一点 T 使 QT QF1 根据双曲线的定义 TF2 2 所以点 T 在以 F2为圆心 2 为半径的圆上 即 0 2 点 T 的轨迹方程是 0 4 2 22 xyx 由于点 N 是线段 F1T 的中点 设 N x y T TT yx 11 则 yy xx y y x x T T T T 2 22 2 2 2 即 代入 并整理得点 N 的轨迹方程为 2 2 1 22 xyx 11 如图 为圆与轴的两个交点 为垂直于轴从弦 且 1 A 2 A 22 1xy x 12 PPx 与的交点为 1 1 AP 22 A PM 1 求动点的轨迹方程 M 2 记动点的轨迹为曲线 若过点的直线 与曲线交于轴右边不ME 0 1AlEy 同两点 且 求直线 的方程 CB2ACAB l 解 1 由图可知 设 12 1 0 1 0AA 则 111211 P x yP xyM x y 可得 22 11 1 1 1 1 1 11 11 xy yy xx yy xx 2 3 由可得 22 1 22 1 11 yy xx 1 2 22 11 2 1 1 1 y yx x 22 11xyx 2 设直线 的方程为则l 122 1 ykxB x yC xy 消去可得 22 1 1 ykx xy y 22 1 220kxkx 直线 交双曲线的右支于不同两点 l 2 10k 解得 2 2 12 2 12 2 28 10 2 0 1 2 0 1 kk k xx k x x k 21k 1 3 2 12 221121 2 12 1 2ACABxyx yxx 消去可得 舍正 1 2 2 1 2 2 3 1 2 2 1 k x k x k 1 x 2 2 923 5 215 k k k 3 5 5 k 所求直线 的方程为 l 3 5 1 5 yx 12 有一幅椭圆型彗星轨道图 长 4cm 高 如下图 已知 O 为椭圆中心 cm32 A1 A2是长轴两端点 太阳位于椭圆的左焦点 F 处 建立适当的坐标系 写出椭圆方程 并求出当彗星运行到太阳正上方时二者 在图上的距离 直线l垂直于 A1A2的延长线于 D 点 OD 4 设 P 是l上异于 D 点的任意一 点 直线 A1P A2P 分别交椭圆于 M N 不同于 A1 A2 两点 问点 A2能否在 以 MN 为直径的圆上 试说明理由 解 I 建立图示的坐标系 设椭圆方程为依题意 2a 4 0 1 2 2 2 2 ba b y a x 3 2 322 bab 1 c 椭圆方程为 1 34 22 yx F 1 0 将 x 1 代入椭圆方程得 2 3 y 当彗星位于太阳正上方时 二者在图中的距离为 1 5 由 I 知 A1 2 0 A2 2 0 13 设 M 在椭圆上 Myx