暑期专题辅导材料六

暑期专题辅导材料六暑期专题辅导材料六 暑期专题辅导材料六 旧 一 教学进度第一章集合与简易逻辑1 6逻辑联结词1 7四种命题1 8 充分条件与必要条件 二 教学内容 1 能用逻辑联结词和简单命题构成不同形式的复合命题 2 能识别复合命题中所用的逻辑联结词及其联结的简单命题 3 理解四种命题之间的相互关系 能由原命题写出其他三种形式 4 通过对四种命题之间关系的学习 培养学生逻辑推理能力 5 正确理解充分条件 必要条件和充要条件的概念 6 能正确判断是充分条件 必要条件还是充要条件 三 重点 难点选讲 1 命题与逻辑联结词 1 所谓命题 是指能够判断其真假的语句 因此疑问句 祈使句 都不是命题 2 若一个命题是正确的 该命题叫真命题 若一个命题不正确 该命题叫假命题 由命题的概念 一个命题不是真命题就是假命题 3 由简单命题用逻辑联结词 或 且 非 联结起来组 成的命题叫复合命题 若用小写字母p q表示命题 则复合命题的基 本形式是 p或q p且q 以及 非p 4 逻辑联结词 或 可以与集合中的 并 相联系 A BxAxxB 或 逻辑联结词 且 可以与集合中的 交 相联系 A BxAx xB 且 逻辑联结词 非 可以与集合中的 补 相联系 u AxUxxA 且 例1判断下列语句是否是命题 若是命题 请判断其真假 1 台湾是中国领土不可分割的一部分 2 05232 xx 3 证明平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和 4 三角形两边之和等于第三边 解 1 它是作出判断的语句 所以是命题 且是真命题 2 因语句中字母x的值不确定 所以这个不等式不能判断是否成 立 该语句不是命题 3 它是祈使句 没有作出判断 不是命题 4 它是作出判断的语句 是命题 且是假命题 评析第 2 题的语句中含有变量x 当x不确定时无法判断这个命题的真假 这种语句也叫 开语句 如 0432 xx 也是开语句 例2指出 下列复合命题的形式以及构成它们的简单命题是什么 1 6是18和24的公因数 2 x A B 3 矩形的对角线相等且互相平分 4 方程 4 2086212 xxxx的解是解 1 该命题是 p且q 的形式 p6是18的因数 q6是24的因数 2 该命题是 非p 的形式 p BAx 3 该命题是是 p且q 的形式 p矩形的对角线相等 q矩形的对 角线互相平分 4 该命题是 p或q 的形式 p x 086221的解是方程 xx q 086422的解是方程 xxx 2 真值表 1 一个简单命题的真假易于判断 但一个复合命题的真假不一定 容易判断 真值表是判断复合命题真假的有力工具 2 对一个复合命题 如果能把它分解成一个或几个简单命题及逻 辑联结词 只要逐一判断简单命题的真假 就可以很容易用真值表 判断这个复合命题的真假 3 真值表中 非p 形式的复合命题的真假与p相反 p且q 形式的复合命题 当且仅当p q都为真时为真 其余情况均为假 p或q 形式的复合命题 当且仅当p q都为假时为假 其余情况 都为真 例3对于简单命题p q的下列几种情况列出 非p 非q p且q p或q 的真值表 1 p真 q真 2 p真 q假 3 p假 q真 4 p假 q假 解列表如下题号p q非p非q P且q P或q 1 真真假假真真 2 真假假真假真 3 假真真假假真 4 假假真真假假例4若用 1 表示 真 用 0 表示 假 对于命题p和q的下列几种情况列出命题 p或q 非 p或q 非p 且 非q 非 非p 的真值表 1 p真 q真 2 p真 q假 3 p假 q真 4 p假 q假 题号p qp或q非 p或q 非p非q 非P 且 非q 非 非p 1 11100001 2 10100101 3 01101000 4 00011110评析由表中可以看出 非 p或q 与 非p 且 非q 的真值相同 非 非p 与 p 的真值相同 例5 1 如果命题 p且q 是真命题 判断命题 非p 或 非q 的 真假 2 如果命题 p且q 是假命题 判断命题 非p 或 非q 的真假 解 1 若命题 p且q 是真命题 由真值表知 命题p和q都是真命题 因此 非p 非q 都是假命题 所以命题 非p 或 非q 是假命题 2 若命题 p且q 是假命题 由真值表知有三种情况可能出现 p真 q假 这时 非p 为假 非q 为真 因此 非p 或 非 q 为真 p假 q真 这时 非p 为真 非q 为假 因此 非p 或 非q 为真 p假 q假 这时 非p 为真 非q 为真 因此 非p 或 非q 为真 综上可知 非p 或 非q 为真评析由本题可见 命题 非 p且q 与 非p 或 非q 的真值相同 3 四种命题 1 在初中学习原命题和逆命题的基础上 引进了否命题和逆命题 的概念 2 将一个命题采用 交换命题的条件和结论 同时否定命题的 条件和结论 同时否定和交换命题的条件和结论 分别产生了原 命题的逆命题 否命题和逆否命题 如果原命题为 若p则q 则逆命题为 若q则p 否命题为 若 p则 q 逆否命题为 若 q则 p 3 在四种命题之间关系的图示中 要理解其中互逆 互否 互为 逆否的含意 原命题与逆否命题等价 逆命题与否命题等价 例6分别 写出下列命题的否定形式及命题的否命题 并判断它们的真假 1 如果两个三角形全等 那么它们的面积相等 2 数字和能被3整除的整数能被3整除 3 自然数的平方不都是正数 解 1 否定形式如果两个三角形全等 那么它们的面积不相等 是假 命题 否命题如果两个三角形不全等 那么它们的面积不相等 是假 命题 2 否定形式 数字和能被3整除的整数不能被3整除 是假命题 否命题数字和不能被3整除的整数不能被3整除 是真命题 3 否定形式所有自然数的平方都是正数 假命题 否命题有些自 然数的平方是正数 真命题 评析 1 命题的否定形式与否命题是两个不同的概念 若原命题为 p q 则命题的否定形式是 p q 而否命题是 p q 2 要熟悉一些常用语言的否定形式语言是都是相等大于 所 有至少有n个能一定 否定形式不是不都是不相等不大于 有些 至多有n 1个不能不一定 例7写出命题 直角均相等 的逆命题 否命题 逆否命题 并判断其真假 解原命题可改写为 如果两个角都是直角 那么这两个角相等 是真命题 逆命题如果两个角相等 那么这 两个角都是直角 是假命题 否命题如果两个角不都是直角 那么这 两个角不相等 是假命题 逆否命题如果两个角不相等 那么这两个 角不都是直角 是真命题 评析有些命题不是很明显的p q的形式 在写它的逆命题 否命题 逆否命题之前 应先将它改写为条件 结论的形式 例8已知原命题如下 分别写出它们的逆命题 否命题 和逆否命题 并判断它们的真假 1 若 dbca 则 dcba 2 若 0 xyz则 0 x或 0 y或0 z 解 1 逆命题若 dcba 则 ca 且 db 是假命题 否命题若 ca 或dcb adb 则 是假命题 逆否命题若 dbcadcba 或则是真命题 2 逆命题若 0 0 0 0 xyzzyx则或或是真命题 否命题若 0 0 0 0 zyxxyz且且则是真命题 逆否命题 若 0 0 0 0 xyzzyx 则且且是真命题 评析 1 原命题的条件 dbca 的命题结构是 p且q 的形式 它 的否定是 p或 q 而不是 p且 q 2 原命题的结论是 p或q或r 的形式 它的否定是 p且 q且 r 而不是 p或 q或 r 4 充分条件和必要条件 充分条件和 必要条件是十分重要的数学概念 必须准确理解 充分 必要 的涵义 p与q之间的因果关系有四种情况 qp 且pq 称p是q 的充分不必要条件 qp 且pq 称p是q的必要不充分条件 q p 且pq 称p是q的充分必要条件 qp 且pq 称p是q的既不 充分又不必要条件 p是q的充分条件即qp 可以从字面上理解为 若p真则充分保证q也为真 p是q的必要条件即pq 可以从字面 上理解为 若要q真 必须要p真 当qp 时 既可以称p是q的充 分条件 也可说成 q的充分条件是p 当pq 时 既可以称p是q的 必要条件 也可说成 q的必要条件是p 例9指出下列各题中p是q 的什么条件 指 充分不必要条件 必要不充分条件 充 要条件 或 既不充分又不必要条件 1 p抛物线 0 2 acbxaxy经过点A 1 0 q 0 0 acba 2 px为偶数 且y为偶数 q yx 为偶数 3 p21 x q0322 xx 4 p0 a q 022Rbaba 5 p 2 x 或3 x q17 xx 解 1 若p真 即0 1102 cbacba 故qp 若q真 即 0 0 acba 则0112 cba 抛物线cbxaxy 2经过点A 1 0 故pq p是q的充要条件 2 若p真 即x为偶 且y为偶数 则yx 为偶数 故qp 若q真 即 yx 为偶数 则x y可能都是奇数 因此qp p是q的充分不必要条 件 3 若p真 即21 x 则31 x q为1 x或3 x 故qp pq p 是q的既非充分又非必要条件 4 显然qp 当0 a 0 b时 022 ba 又若q真 即 022R baba 则0 a 且0 b 故p真 pq p是q的必要不充分条件 5 解方程2 32 06 127 1 722 xxxxxxxxxx 或是增 根 q3 x 若p真 即 2 x或3 x 不一定有3 x qp 若q真 即 3 x 则 2 x或3 x 必真 pq p是q的必要不充分条件 评 析判断p是q的什么条件 应从qp 和pq 能否成立两个方面进行考虑 例10指出下列各题中 p是q的什么条件 指 充分不必要条件 必要不充分条件 充要条件 或 既不充分又不必要条件 1 p2 x 且3 y q5 yx 2 a Rb p q sinsin 解 1 考虑 qp 的等价命题 q p q5 yx p2 x 或3 y 显然有 q p 知qp 同样 由 p q 知pq p是q的既不 充分又不必要条件 2 q sinsin p p q pq q p qp p是q的必要不充分条件 评析 1 在不易确定p与q的关系时 也可以分别用 qp 的等价命题 q p 和 pq 的等价命题 p q 来判断 2 在判断qp 时 也可以用举反例的方法 如第 2 题可以用 2 但 2 sin sin sin 知qp 例11已 知p是q的充分不必要条件 s是q的必要不充分条件 t是s的充要条 件 t是r的必要不充分条件 1 p是t的什么条件 2 q是r的什么条件 3 s是r的什么条件 解由已知 可以将p q r s t之间的关 系表示为rtsqp 由此可知 p是t的充分不必要条件 q是r的既 不充分也不必要条件 s是r的必要不充分条件 评析只要用符号 或 分别表示已知条件中各个命题之间的关系 就可 以判断其中两个命题之间的关系 例12求证若a b Rc 则0 ac是关 于x的一元二次方程02 cbxax有两个异号实根的充要条件 证充分 性若0 ac 则0 a 且0 ac 02 b 042 acb 故方程有两 个相异实根 设两根为1x 2x 021 acxx 两根1x 2x异号 必要性若关于x的方程02 cbxax有两个异号实根 设两根为1x 2x 则021 acxx 0 ac 0 ac是关于x的一元二次方程02 cbxa x有两个异号实根的充要条件 例13求证关于x的不等式012 axax对 一切实数x成立的充分条件是40 a 这个条件是必要条件吗 请证 明之 解设p关于x的不等式012 axax对一切实数x成立 q40 a 要 证p的充分条件是q 即证q是p的充分条件 即证pq 当q真 即40 a时 41 21 122axaaxax 40 a 041 a 0 21 2 xa 012 axax q是p的充分条件 即p的充分条件是q 当0 a时 01 2 axax对一切实数x都成立 而 4 0 0 qp q不是p的必要条 件 即p的必要条件不是q 评析在证明 p的充分条件是q 时 一般 把问题改成证明 q是p的充分条件 即证明pq 在证明 p的必要 条件是q 时 一般把问题改成证明 q是p的必要条件 即证明qp 巩固练习 一 选择题1 如果命题p为真 命题q为假 则下列结论中错误的是 A 命题 p且q 为假B 命题 p或q 为真C 命题 非p 为 假D 命题 非q 为假2 命题p与命题 非p A 可能都是真 命题B 可能都是假命题C 有且只有一个是真命题D 以上情况都有 可能3 已知命题p若x y是实数 且022 yx 则0 yx 命题q若0 ab 则0 a 且0 b 下列说法中正确的是 A p真 q假 p且q假 B P真 q假 p或q假C P假 q假 p或q假D P真 q真 p且q真4 命题 若1 x 则12 x 的否命题是 A 若1 x 则12 x B 若1 x 则12 x C 若12 x 则1 x D 若1 x 则12 x5 已知p a Rb 且022 ba 命题 若p则a b全为0 若p则a b不全为0 若p则a b全不为0 若p则a b 至多有一个为0 若p则a b至少有一个为0 其中真命题有 A 1个B 2个C 3个D 4个6 与命题 能被5整除的整数的末位数是5 等价的命题是 A 能被5整除的整数的末位数不一定是5B 不 能被5整除的整数的末位数不是5C 末位数不是5的整数不能被5整除 D 末位数是5的整数能被5整除7 用反证法证明 方程02 cbxax 最多有两个实根 应假设 A 方程至少有一个实根B 方程至 少有2个实根C 方程至少有3个实根D 方程有一个实根8 BA 是 BA 的 A 充分不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要条 件D 既不充分又不必要条件9 若a bR 则 0 ab 的一个必要非 充分条件是 A 0 a 且0 b B 0 a 且0 b C 0 ab D 0 ba10 用反证法证明 2不是有理数 应假设 A qp 2B qp 2 p q为整数 C qp 2 p q为互质整数 D qp 2 p q 为正整数 11 已知a bR 则 ba11 是 ba 的 A 充分 不必要条件B 必要不充分条件C 充分必要D 既不充分又不必要条 件12 下列几个说法 1 x 是 2 x 的必要条件 0 xy 是 0 x 的充分条件 022 yx 是 0 x 的充分条件 12 x 是 1 x 的充分条件 其中正确的命题是 A B C D 二 填空题1 若复合命题 p或q 是假命题 则命题p与命题q的真 假情况是 2 已知命题p 0是自然数 命题q 9是无理数 则命题 非p 非q p或q p且q 中 假命题是 3 命题 若012 1 2 xxx则 的否定命题是 否命题是 4 命题 未位数字是偶数的整数能被2整除 的逆否命题是 5 用反证法证明命题 若关于x的整系数一元二次方程02 cbxax 有有理根 那么a b c中至少有一个是偶数 应假设 6 若a b Rc 则 ba 是 22bcac 的条件 7 若a b Rc 则 0 a b 是 022 ba 的条件 8 042 acb是关于x的方程02 cbxax有 两个实数根的条件 三 解答题1 已知命题p4是2的倍数 命题q 6是2的倍数 写出命 题 p或q p且q 以及 非p 2 已知命题p 是无理数 命题q 2是有理数 写出命题 非p 非q p或q p且q 并判断它们的真假 2 写出命题 若 则tan tan 的逆命题 否命题 逆否 命题 并判断它们的真假 4 写出命题 若1 x或 2 x则0232 xx 的逆命题 否命题 逆否 命题 并判断它们的真假 5 用反证法证明3是无理数 6 已知A是D的充分条件 D是B的必要 条件又是C的充分条件 B是C的必要条件 问 1 A是C的什么条件 A是B的什么条件 2 A B C D 中有几对互为充要条件 7 求关于x的二次方程 032 pxx有两个大于1的根的充要条件 8 若x Ry 求证0982222 yxyx的充要条件是1 x 且2 y 答案与提示 一 1 D2 C3 A4 B5 B6 C7 C8 A9 D10 C11 D12 B 二 1 P假 q假2 非p p且q3 若012 1 012 1 22 xxxx xx则若则4 不能被2整除的整数的末位数字不是偶数 5 a b c都 是奇数6 必要不充分7 充分不必要8 充分不必要 三 1 P或q 4是2的倍数或