2010年高三数学高考易错典型习题专练：函数与导数3

用心 爱心 专心 20102010 高考数学易错典型习题专练 函数与导数高考数学易错典型习题专练 函数与导数 典型习题导练典型习题导练 28 2009 湖北卷文 已知关于 x 的函数 f x 3 3 1 x bx2 cx bc 其导函数为 f x 令 g x f x 记函数 g x 在区间 1 1 上的最大值为 M 如果函数 f x 在 x 1 处有极值 3 4 试确定 b c 的值 若 b 1 证明对任意的 c 都有 M 2 若 M K 对任意的 b c 恒成立 试求 k 的最大值 本小题主要考察函数 函数的导数和不等式等基础知识 考察综合运用数学知识进行推理论 证的能力和份额类讨论的思想 满分 14 分 I 解 2 2fxxbxc 由 f x在1x 处有极值 4 3 可得 1 120 14 1 33 fbc fbcbc 解得 1 1 b c 或 1 3 b c 若1 1bc 则 22 21 1 0fxxxx 此时 f x没有极值 若1 3bc 则 2 23 1 1 fxxxxx 当x变化时 f x fx的变化情况如下表 x 3 3 3 1 1 1 fx 0 0 f x A 极小值12 A极大值 4 3 A 当1x 时 f x有极大值 4 3 故1b 3c 即为所求 证法 1 22 g xfxxbbc 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 之外 fx 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故M应是 1 g 和 1 g中较大的一个 用心 爱心 专心 2 1 1 12 1 2 4 4 Mggbcbcb 即2M 证法 2 反证法 因为 1b 所以函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 之外 fx 在 1 1 上的最值在两端点处取得 故M应是 1 g 和 1 g中较大的一个假设2M 则 1 1 2 2 1 12 2 gbc gbc 将上述两式相加得 4 1 2 12 4 4bcbcb 导致矛盾 2M 解法 1 22 g xfxxbbc 1 当 1b 时 由 可知2M 2 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 内 此时 max 1 1 Mggg b 由 1 1 4 ffb 有 2 1 1 0fbfb 若10 b 则 1 1 1 max 1 fffbggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 若01b 则 1 1 fffb 1 max 1 ggg b 于是 2 1111 max 1 1 1 1 2222 Mffbffbffbb 综上 对任意的b c都有 1 2 M 而当 1 0 2 bc 时 2 1 2 g xx 在区间 1 1 上的 最大值 1 2 M 故Mk 对任意的b c恒成立的k的最大值为 1 2 解法 2 22 g xfxxbbc 1 当 1b 时 由 可知2M 2 当 1b 时 函数 yfx 的对称轴xb 位于区间 1 1 内 此时 max 1 1 Mggg b 2 4 1 1 2 1 2 12 2 Mggg hbcbcbc 用心 爱心 专心 22 1 2 12 2 22 2bcbcbcb 即 1 2 M 下同解法 1 29 2009 宁夏海南卷文 本小题满分 12 分 已知函数 3223 39f xxaxa xa 1 设1a 求函数 f x的极值 若 1 4 a 且当 1 4xa 时 xf 12a 恒成 立 试确定a的取值范围 请考生在第 22 23 24 三题中任选一题作答 如 果多做 则按所做的第一题计分 作答时用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应的题 号涂黑 21 解 当 a 1 时 对函数 f x求导数 得 2 369 fxxx 令 12 0 1 3 fxxx 解得 列表讨论 f xfx的变化情况 x 1 1 1 3 3 3 fx 0 0 f x A 极大值 6 A 极小值 26 A 所以 f x的极大值是 1 6f 极小值是 3 26 f 22 369fxxaxa 的图像是一条开口向上的抛物线 关于 x a 对称 若 1 1 4 afx 则在 1 4a 上是增函数 从而 fx 在 1 4a 上的最小值是 2 1 369 faa 最大值是 2 4 15 faa 由 22 12 1236912 fxaaxaxaa 得于是有 2 2 1 36912 4 1512 faaafaaa 且 由 14 1 121 4 120 35 faafaaa 得由得 所以 1141 4 1 1 0 4354 5 aa 即 若 a 1 则 2 1212 1 4 12faaaxafxa 故当时不恒成立 用心 爱心 专心 所以使 12 1 4 fxa xa 恒成立的 a 的取值范围是 1 4 4 5 30 2009 湖南卷理 本小题满分 13 分 某地建一座桥 两端的桥墩已建好 这两墩相距 m米 余下工程只需要建两端桥墩之间的桥面和桥墩 经预测 一个桥墩的工程费用为 256 万元 距离为x米的相邻两墩之间的桥面工程费用为 2 x x 万元 假设桥墩等距离分布 所有桥墩都视为点 且不考虑其他因素 记余下工程的费用为y万元 试写出y关于x的函数关系式 当m 640 米时 需新建多少个桥墩才能使 y最小 解 设需要新建n个桥墩 1 1 m nxm x 即n 所以 2 mm xx x xx y f x 256n n 1 2 x 256 1 256 2256 x m xm x 由 知 2 33 22 2 2561 512 22 mm fxmxx x x 令 0fx 得 3 2 512x 所以x 64 当 0 x 64 时 fx0 f x在区间 64 640 内为增函数 所以 f x在x 64 处取得最小值 此时 640 119 64 m n x 故需新建 9 个桥墩才能使y最小 31 2009 天津卷理 本小题满分 12 分 已知函数 22 23 x f xxaxaa exR 其中aR 1 当0a 时 求曲线 1 1 yf xf 在点处的切线的斜率 2 当 2 3 a 时 求函数 f x的单调区间与极值 本小题主要考查导数的几何意义 导数的运算 利用导数研究函数的单调性与极值等基础知 识 考查运算能力及分类讨论的思想方法 满分 12 分 I 解 3 1 2 0 22 efexxxfexxfa xx 故 时 当 3 1 1 efxfy处的切线的斜率为在点所以曲线 用心 爱心 专心 II 42 2 22x eaaxaxxf 解 2 2 3 2 2 20 aaaaxaxxf知 由 或 解得令 以下分两种情况讨论 1 a若 3 2 则a2 2 a 当x变化时 xfxf 的变化情况如下表 x a2 a2 22 aa 2 a 2a 0 0 极大值 极小值 22 2 2 内是减函数 内是增函数 在 在所以 aaaaxf 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且处取得极大值在函数 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且处取得极小值在函数 2 a若 3 2 则a2 2 a 当x变化时 xfxf 的变化情况如下表 x 2 a 2 a aa22 a2 a2 0 0 极大值 极小值 内是减函数 内是增函数 在 在所以 22 2 2 aaaaxf 34 2 2 2 2 a eaafafaxxf 且处取得极大值在函数 3 2 2 2 2a aeafafaxxf 且处取得极小值在函数 32 2009 四川卷理 本小题满分 12 分 已知0 1aa 且函数 log 1 x a f xa I 求函数 f x的定义域 并判断 f x的单调性 II 若 lim f n n n a nN aa 求 用心 爱心 专心 III 当ae e为自然对数的底数 时 设 2 1 1 f x h xexm 若函数 h x的极值存在 求实数m的取值范围以及函数 h x的极值 本小题主要考查函数 数列的极限 导数应用等基础知识 考查分类整合思想 推理和运算 能力 解 由题意知10 x a 当01 01 0af xaf x 时 的定义域是 当时 的定义域是 ln log 11 a a e g xx xx aa f x aa 当01 0 10 0 xx axaa 时 因为故f x 0 因为 n 是正整数 故 0 a1时 g x 0在R 上恒成立 故函数g x 在R 上为增函数 2 当440 k 即当k 1时 2 22 1 0 0 x ex g xx xk K 1 时 g x 在 R 上为增函数 3 440 k 即当0 k 1时 方程 2 20 xxk 有两个不相等实根 12 11 11xk xk 当 11 0 11 xkg xg xk 是故在 上为增函数 当11 11xkk 时 0 g x 故 11 11g xkk 在 上为减函数 11xk 时 0 g x 故 11g x