七年级数学竞赛讲座02 特殊的正整数

1 七年级数学竞赛讲座七年级数学竞赛讲座 二二 特殊的正整数特殊的正整数 一 一 知识要点 1 1 完全平方数及其性质 定义定义 1 1 如果一个数是一个整数的平方 则称这个数是完全平方数 如 1 4 9 等都是完全平方数 完全平方数有下列性质 性质 1 任何完全平方数的个位数只能是 0 1 4 5 6 9 中的一个 性质 2 奇完全平方数的十位数一定是偶数 性质 3 偶完全平方数是 4 的倍数 性质 4 完全平方数有奇数个不同的正约数 性质 5 完全平方数与完全平方数的积仍是完全平方数 完全平方数与非完全平方 数的积是非完全平方数 2 2 质数与合数 定义定义 2 2 一个大于 1 的整数 a 如果只有 1 和 a 这两个约数 那么 a 叫做质数 定义定义 3 3 一个大于 1 的整数 a 如果只有 1 和 a 这两个约数外 还有其他正约数 那 么 a 叫做合数 1 既不是质数也不是合数 3 3 质数与合数的有关性质 1 1 质数有无数多个 2 2 2 是唯一的既是质数 又是偶数的整数 即是唯一的偶质数 大于 2 的质数必为奇数 3 3 若质数 p a b 则必有 p a 或 p b 4 4 若正整数 a b 的积是质数 p 则必有 a p 或 b p 5 5 唯一分解定理 任何整数 n n 1 可以唯一地分解为 k a k aa pppn 21 21 其中 p1 p2 11 一定可以表示成两个合数之和 评注 本题是通过对整数的合理分类来帮助解题 这是解决整数问题的一种常用方法 但要注意对整数的分类要不重复不遗漏 例 9 证明 n n 1 1 n 是自然数 不能是某个整数的平方 分析 注意到 n n 1 1 n2 n 1 n 是自然数 n2 n2 n 1 n 1 2 这为我们证 题提供了出发点 4 证明 n n 1 1 n2 n 1 n 是自然数 n2 n2 n 1 n 1 2 而 n n 1 是两个相邻的自然数 n n 1 1 n 是自然数 不能是某个整数的平方 评注 本题应用了在两个相邻正整数的平方数之间不可能还存在一个完全平方数这个 结论 例 10 如果一个自然数是质数 且它的数字位置经过任意交换后仍然是质数 则称这 个数为绝对质数 证明 绝对质数不能有多于三个不同的数字 分析 绝对质数中出现的数字不会有偶数 也不会有 5 因为有偶数和 5 它就一定不 是绝对质数 则绝对质数中出现的数字只可能是 1 3 7 9 接下来用反证法来 证明这个问题 证明 因为绝对质数的数字位置经过任意交换后仍然是质数 所以绝对质数中出现的 数字不会有偶数 也不会有 5 即绝对质数中出现的数字只可能是 1 3 7 9 假设有一个绝对质数 M 中出现的数字超过了 3 个 也即这个绝对质数中出现的 数字包含了 1 3 7 9 则 13791379M 211 Maaa n M2 M 9137 M3 M 7913 M4 M 3791 M5 M 1397 M6 M 3197 M7 M 7139 都是质数 可验证 这七个数中每两个数的差都不能被 7 整除 说明 M1 M2 M3 M4 M5 M6 M7被 7 除所得余数互不相同 因而必有一个是 0 即 能被 7 整除 这与此数是质数矛盾 所以假设不成立 所以绝对质数不能有多 于三个不同的数字 评注 本题是用反证法来证明 对于题目中出现 不 的字眼 常常用反证法来证明 三 三 巩固练习 选择题 1 在整数 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 中 设质数的个数为 x 偶数的个数为 y 完全平方数的个数为 z 合数的个数为 u 则 x y z u 的值是 A 17 B 15 C 13 D 11 2 设 n 为大于 1 的自然数 则下列四个式子的代数值一定不是完全平方数的是 A 3n2 3n 3 B 5n2 5n 5 C 9n2 9n 9 D 11n2 11n 11 3 有 3 个数 一个是最小的奇质数 一个是小于 50 的的最大质数 一个是大于 60 的 最小质数 则这 3 个数的和是 A 101 B 110 C 111 D 113 4 两个质数的和是 49 则这两个质数的倒数和是 A 49 94 B 94 49 C 45 86 D 86 45 5 a b 为正整数 且 56a 392b 为完全平方数 则 a b 的最小值等于 A 6 B 7 C 8 D 9 5 6 3 个质数 p q r 满足等式 p q r 且 p qn2 且 79 2 2 2 1 nn 则 n1 n2 解答题 13 证明 不存在这样的三位数abc 使 cabbcaabc 成为完全平方数 14 试求四位数xxyy 使它是一个完全平方数 15 a b c d 都是质数 且 10 c d 20 c a 是大于 2 的质数 d 2 c 2 a 3b a b 求 a b c d 的值 16 设 a b c d 是四个整数 且 2222 2 4 1 dcbacdabm 是非零整 数 求证 m 是合数 17 求一个三位数 使它等于 n2 并且各位数字之积为 n 1 18 设 n1 n2是任意两个大于