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高考函数大题训练一解答题（共13小题）1已知函数f（x）=（1）求曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：当a1时，f（x）+e02设函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求a；（）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围3已知函数（1）当a0时，试求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围4已知函数f（x）=ln（x+a）x（aR），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线（1）求a的值；（2）设函数g（x）=xex2xf（xa）a+2，证明：函数g（x）无零点5已知函数f（x）=ax1lnx（aR）（1）讨论函数f（x）的定义域内的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，x（0，+），f（x）bx2恒成立，求实数b的最大值6已知函数，aR（1）试讨论函数f（x）极值点个数；（2）当2aln22时，函数f（x）在1，+）上最小值记为g（a），求g（a）的取值范围7已知函数f（x）=lnxax，g（x）=x2（2a+1）x+（a+1）lnx（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）当a1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根8已知函数f（x）=klnx1+，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直（）求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）ax 对0x1恒成立，求实数a的取值范围9函数f（x）=ax2（1+a）x+lnx（a0）（）讨论函数f（x）的单调性；（）当a=0时，方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围10已知函数f（x）=exax1（aR）（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x2恒成立，求实数a的取值范围11已知函数f（x）=2lnxax2（aR）（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）=2x3图象的下方，求实数a的取值范围12已知函数f（x）=ax+（a1）lnx，其中a2（）讨论函数f（x）的单调性；（）若对于任意的x1，x2（0，+），x1x2，恒有，求a的取值范围13已知函数f（x）=lnxax（aR）（）若曲线y=f（x）与直线xy1ln2=0相切，求实数a的值；（）若不等式（x+1）f（x）lnx在定义域内恒成立，求实数a的取值范围高考函数大题训练参考答案与试题解析一解答题（共13小题）1已知函数f（x）=（1）求曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程；（2）证明：当a1时，f（x）+e0【解答】解：（1）=f（0）=2，即曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线斜率k=2，曲线y=f（x）在点（0，1）处的切线方程方程为y（1）=2x即2xy1=0为所求（2）证明：函数f（x）的定义域为：R，可得=令f（x）=0，可得，当x时，f（x）0，x时，f（x）0，x（2，+）时，f（x）0f（x）在（），（2，+）递减，在（，2）递增，注意到a1时，函数g（x）=ax2+x1在（2，+）单调递增，且g（2）=4a+10函数g（x）的图象如下：a1，则e，f（x）e，当a1时，f（x）+e02设函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex（）若曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与x轴平行，求a；（）若f（x）在x=2处取得极小值，求a的取值范围【解答】解：（）函数f（x）=ax2（4a+1）x+4a+3ex的导数为f（x）=ax2（2a+1）x+2ex由题意可得曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线斜率为0，可得（a2a1+2）e=0，解得a=1；（）f（x）的导数为f（x）=ax2（2a+1）x+2ex=（x2）（ax1）ex，若a=0则x2时，f（x）0，f（x）递增；x2，f（x）0，f（x）递减x=2处f（x）取得极大值，不符题意；若a0，且a=，则f（x）=（x2）2ex0，f（x）递增，无极值；若a，则2，f（x）在（，2）递减；在（2，+），（，）递增，可得f（x）在x=2处取得极小值；若0a，则2，f（x）在（2，）递减；在（，+），（，2）递增，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意；若a0，则2，f（x）在（，2）递增；在（2，+），（，）递减，可得f（x）在x=2处取得极大值，不符题意综上可得，a的范围是（，+）3已知函数（1）当a0时，试求f（x）的单调区间；（2）若f（x）在（0，1）内有极值，试求a的取值范围【解答】解：（1）求导，f（x）=a（1）=，当a0时，对于x（0，+），exax0恒成立，f（x）0，x1；f（x）0，0x1，单调增区间为（1，+），单调减区间为（0，1）；（2）若f（x）在（0，1）内有极值，则f（x）=0在x（0，1）内有解，令f（x）=0，exax=0，a=，设g（x）=，x（0，1），则g（x）=，当x（0，1）时，g（x）0恒成立，g（x）单调递减，又g（1）=e，又当x0时，g（x），即g（x）在（0，1）上的值域为（e，+），当ae时，f（x）=0，设H（x）=exax，则H（x）=exa，x（0，1），H（x）在x（0，1）单调递减，由H（0）=10，H（1）=ea0，H（0）=0，在x（0，1），有唯一解x0， x （0，x0） x0 （x0，1） H（x）+ 0 f（x） 0+ f（x） 极小值当ae时，f（x）在（0，1）内有极值且唯一，当ae时，若x（0，1），则f（x）0恒成立，f（x）单调递增，不成立，综上，a的取值范围为（e，+）4已知函数f（x）=ln（x+a）x（aR），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线（1）求a的值；（2）设函数g（x）=xex2xf（xa）a+2，证明：函数g（x）无零点【解答】解：（1）函数f（x）=ln（x+a）x（aR）的导数为f（x）=1，设切点为（m，n），直线l：是曲线y=f（x）的一条切线，可得1=，ln（m+a）m=m+ln3，解得m=2，a=1；（2）证明：函数g（x）=xex2xf（xa）a+2=xex2xf（x1）2+2=xexxlnx，x0，g（x）=（x+1）ex1=（x+1）（ex），可设ex=0的根为m，即有em=，即有m=lnm，当xm时，g（x）递增，0xm时，g（x）递减，可得x=m时，g（x）取得极小值，且为最小值，则g（x）g（m）=memmlnm=1m+m=1，可得g（x）0恒成立，则函数g（x）无零点5已知函数f（x）=ax1lnx（aR）（1）讨论函数f（x）的定义域内的极值点的个数；（2）若函数f（x）在x=1处取得极值，x（0，+），f（x）bx2恒成立，求实数b的最大值【解答】解：（ 1）f（x）的定义域为（0，+）f当a0时，f（x）0在 （0，+）上恒成立，函数f（x）在（0，+）上单调递减f（x）在（0，+）上没有极值点当a0时，由f（x）0得x，所以，f（x）在（0，）上递减，在（，+）上递增，即f（x）在x=处有极小值综上，当a0时，f（x）在（0，+）上没有极值点；当a0时，f（x）在（0，+）上有一个极值点（2）函数f（x）在x=1处取得极值，f（1）=a1=0，则a=1，从而f（x）=x1lnx因此f（x）bx2 即1+，令g（x）=1+，则，由g（x）0得xe2则g（x）在（0，e2）上递减，在（e2，+）上递增，故实数b的最大值是16已知函数，aR（1）试讨论函数f（x）极值点个数；（2）当2aln22时，函数f（x）在1，+）上最小值记为g（a），求g（a）的取值范围【解答】解：（1）根据题意，函数，则f（x）=（x1）lnx2a，记h（x）=（x1）lnx2，则，h（x）在（0，+）上递增且h（1）=0当0x1时，h（x）0，当x1时，h（x）0h（x）在（0，1）上递减，在（1，+）上递增，则h（x）min=h（1）=2，当a2时，f（x）0，f（x）在定义域上递增，函数f（x）无极值点，当a2时，y=f（x）有两变号零点，函数f（x）有两极值点，（2）由（1）知，f（x）在1，+）上递增，又f（1）=2a0，f（2）=ln22a0存在唯一实数t（1，2）使f（t）=0，此时有a=（t1）lnt2，f（x）在（1，t上递减，在t，+）上递增，=，又明显a=（t1）lnt2在1，+）上递增，对任意一个a（2，ln22），都存在唯一t（1，2）与之对应，反之亦然设u（t）=，t（1，2）u（t）=t（lnt+1）+10u（t）在（1，2）上递减，u（2）u（t）u（1），即，g（a）的取值范围为7已知函数f（x）=lnxax，g（x）=x2（2a+1）x+（a+1）lnx（1）当a=1时，求函数f（x）的极大值；（2）当a1时，求证：方程f（x）=g（x）有唯一实根【解答】解：（1）a=1时，函数f（x）=lnxx，x（0，1）时，f（x）0，x（1，+）时，f（x）0，f（x）在（0，1）递增，在（1，+）递减，x=1时，函数f（x）取得极大值f（1）=1（2）方程f（x）=g（x）的根的根，令h（x）=，（x0，a1），当a=1时，h（x）0在（0，+）恒成立，函数h（x）单调递增，方程f（x）=g（x）有唯一实根当a1时，x（0，1）时，h（x）0，x（1，a）时，（x）0，x（a，+）时，h（x）0，h（x）在（0，1），（a，+）单调递增，在（1，a）单调递减，而h（1）=a，x+时，h（x）+，函数h（x）与x轴只有一个交点，方程f（x）=g（x）有唯一实根综上所述：方程f（x）=g（x）有唯一实根8已知函数f（x）=klnx1+，且曲线y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直（）求函数f（x）的单调区间；（）若f（x）ax 对0x1恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（I）f（x）的定义域为（0，+），f（x）=，y=f（x）在点（1，f（1）处的切线与y轴垂直，f（1）=0，即k=1，f（x）=，当0x1时，f（x）0，当x1时，f（x）0，f（x）的单调递减区间为（0，1），单调递增区间为（1，+）（II）f（x）=lnx1+，f（x）ax 对0x1恒成立，a在（0，1）上恒成立，设g（x）=（0x1），则g（x）=，令h（x）=2xxlnx2（0x1），则h（x）=2lnx1=1lnx0，h（x）在（0，1）上单调递增，h（x）h（1）=0，g（x）0，g（x）在（0，1）上单调递减，g（x）g（1）=0，a09函数f（x）=ax2（1+a）x+lnx（a0）（）讨论函数f（x）的单调性；（）当a=0时，方程f（x）=mx在区间1，e2内有唯一实数解，求实数m的取值范围【解答】解：（ I）f（x）=，（x0），（1分）（ i）当a=0时，f（x）=，令f（x）0，得0x1，令f（x）0，得x1，函数f（x）在（0，1）上单调递增，（1，+）上单调递减； （2分）（ ii）当0a1时，令f（x）=0，得x1=1，x2=1 （3分）令f（x）0，得0x1，x，令f（x）0，得1x，函数f（x）在（0，1）和（，+）上单调递增，（1，）上单调递减； （4分）（ iii）当a=1时，f（x）0，函数f（x）在（0，+）上单调递增；（5分）（ iv）当a1时，01 （6分）令f（x）0，得0x，x1，令f（x）0，得x1，（7分）函数f（x）在（0，）和（1，+）上单调递增，（，1）上单调递减； （8分）综上所述：当a=0时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1），单调递减区间为（1，+）；当0a1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，1）和（，+），单调递减区间为（1，）；当a=1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，+）；当a1时，函数f（x）的单调递增区间为（0，）和（1，+），单调递减区间为（，1）（9分）（ II）当a=0时，f（x）=x+lnx，由f（x）=mx，得x+lnx=mx，又x0，所以m=1，要使方程f（x）=mx在区间1，e2上有唯一实数解，只需m=1有唯一实数解，（10分）令g（x）=1，（x0），g（x）=，由g（x）0得0xe；g（x）0得xe，g（x）在区间1，e上是增函数，在区间e，e2上是减函数（11分）g（1）=1，g（e）=1，g（e2）=1，故1m1或m=1 （12分）10已知函数f（x）=exax1（aR）（1）讨论f（x）的单调性；（2）当x0时，f（x）x2恒成立，求实数a的取值范围【解答】解：（1）f（x）=exa，当a0，f（x）0，f（x）在（，+）上单调递增，若当a0，当x（，lna）时，f（x）0，f（x）在（，lna）上单调递减，当x（lna，+）时，f（x）0，f（x）在（lna，+）上单调递增，综上所述：当a0，f（x）0，f（x）在（，+）上单调递增，当a0，f（x）在（，lna）上单调递减，在（lna，+）上单调递增，（2）当x0时，f（x）g（x）恒成立，即exax1x2，即ax恒成立令h（x）=x（x0），则h（x）=令（x）=exx1（x0），则（x）=ex10在（0，+）恒成立，（x）在（0，+）单调递增，（x）（0）=0，令h（x）=0，解得x=1，当x（0，1）时，即h（x）0，则h（x）单调递减；当x（1，+）时，即h（x）0，即h（x）0，则h（x）单调递增，h（x）min=h（1）=e2，a（，e211已知函数f（x）=2lnxax2（aR）（1）当a=1时，求函数f（x）的极值；（2）若函数f（x）的图象始终在函数g（x）=2x3图象的下方，求实数a的取值范围【解答】解：（1）当a=1时，f（x）=2lnxx2，定义域为（0，+），=，令f（x）=0，则x=1，x（0，1）时，f（x）0；x（1，+）时，f（x）0，x=1时，f（x）极大值=f（1）=1；无极小值（2）令F（x）=g（x）f（x）=2x32lnx+ax2，由题意，函数f（x）的图象始终在函数g（x）=2x3图象的下方，等价于F（x）0在（0，+）恒成立，即2x3+ax22lnx0恒成立，得到（x（0，+）令（x0），显然h（1）=0，又函数y=22x34lnx在（0，+）上单调递减；所以当x（0，1）时，h（x）0；x（1，+）时，h（x）0，则h（x）h（1）=2，因此a2，所以a（2，+）12已知函数f（x）=ax+（a1）lnx，其中a2（）讨论