二次函数必背知识点(精辟)

适合任何版本的数学教材 希望能帮到你 相信你会成功 加油 1 二次函数必背知识点二次函数必背知识点 冲刺中考冲刺中考 1 定义 一般地 如果是常数 那么叫做的二次函数 cbacbxaxy 2 0 ayx 2 二次函数的性质 2 axy 1 抛物线的顶点是坐标原点 对称轴是轴 2 axy y 2 函数的图像与的符号关系 2 axy a 当时抛物线开口向上顶点为其最低点 0 a 当时抛物线开口向下顶点为其最高点 0 a 3 顶点是坐标原点 对称轴是轴的抛物线的解析式形式为 y 2 axy 0 a 3 二次函数 的图像是对称轴平行于 包括重合 轴的抛物线 cbxaxy 2 y 4 二次函数用配方法可化成 的形式 其中cbxaxy 2 khxay 2 a bac k a b h 4 4 2 2 5 二次函数由特殊到一般 可分为以下几种形式 2 axy kaxy 2 2 hxay khxay 2 cbxaxy 2 6 抛物线的三要素 开口方向 对称轴 顶点 的符号决定抛物线的开口方向 当时 开口向上 当时 开口向下 a0 a0 a 相等 抛物线的开口大小 形状相同 a 平行于轴 或重合 的直线记作 特别地 轴记作直线 yhx y0 x 7 顶点决定抛物线的位置 几个不同的二次函数 如果二次项系数相同 那么抛物线的开a 口方向 开口大小完全相同 只是顶点的位置不同 8 求抛物线的顶点 对称轴的方法 1 公式法 顶点是 对称轴是 a bac a b xacbxaxy 4 4 2 2 2 2 a bac a b 4 4 2 2 直线 a b x 2 2 配方法 运用配方的方法 将抛物线的解析式化为的形式 得到 khxay 2 适合任何版本的数学教材 希望能帮到你 相信你会成功 加油 2 顶点为 对称轴是直线 h khx 3 运用抛物线的对称性 由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形 所以对称轴的连 线的垂直平分线是抛物线的对称轴 对称轴与抛物线的交点是顶点 用配方法求得的顶点 再用公式法或对称性进行验证 才能做到万无一失 9 抛物线中 的作用cbxaxy 2 cba 1 决定开口方向及开口大小 这与中的完全一样 a 2 axy a 2 和共同决定抛物线对称轴的位置 由于抛物线的对称轴是直线bacbxaxy 2 故 时 对称轴为轴 即 同号 时 对称 a b x 2 0 by0 a b ab 轴在轴左侧 即 异号 时 对称轴在轴右侧 y0 a b aby 3 的大小决定抛物线与轴交点的位置 ccbxaxy 2 y 当时 抛物线与轴有且只有一个交点 0 0 xcy cbxaxy 2 yc 抛物线经过原点 与轴交于正半轴 与轴交于负0 c0 cy0 cy 半轴 以上三点中 当结论和条件互换时 仍成立 如抛物线的对称轴在轴右侧 则 y 0 a b 10 几种特殊的二次函数的图像特征如下 函数解析式开口方向对称轴顶点坐标 2 axy 轴 0 xy 0 0 kaxy 2 轴 0 xy 0 k 2 hxay hx 0 h khxay 2 hx h k cbxaxy 2 当时0 a 开口向上 当时0 a 开口向下a b x 2 a bac a b 4 4 2 2 11 用待定系数法求二次函数的解析式 适合任何版本的数学教材 希望能帮到你 相信你会成功 加油 3 1 一般式 已知图像上三点或三对 的值 通常选择一般cbxaxy 2 xy 式 2 顶点式 已知图像的顶点或对称轴 通常选择顶点式 khxay 2 3 交点式 已知图像与轴的交点坐标 通常选用交点式 x 1 x 2 x 21 xxxxay 12 直线与抛物线的交点 1 轴与抛物线得交点为 0 ycbxaxy 2 c 2 与轴平行的直线与抛物线有且只有一个交点 yhx cbxaxy 2 h cbhah 2 3 抛物线与轴的交点x 二次函数的图像与轴的两个交点的横坐标 是对应一元cbxaxy 2 x 1 x 2 x 二次方程的两个实数根 抛物线与轴的交点情况可以由对应的一0 2 cbxaxx 元二次方程的根的判别式判定 有两个交点抛物线与轴相交 0 x 有一个交点 顶点在轴上 抛物线与轴相切 x 0 x 没有交点抛物线与轴相离 0 x 4 平行于轴的直线与抛物线的交点x 同 3 一样可能有 0 个交点 1 个交点 2 个交点 当有 2 个交点时 两交点的纵坐 标相等 设纵坐标为 则横坐标是的两个实数根 kkcbxax 2 5 一次函数的图像 与二次函数的图像 0 knkxyl 0 2 acbxaxy 的交点 由方程组 的解的数目来确定 方程组有两组不同G cbxaxy nkxy 2 的解时与有两个交点 方程组只有一组解时与只有一个交点 lG lG 方程组无解时与没有交点 lG 6 抛物线与轴两交点之间的距离 若抛物线与轴两交点为xcbxaxy 2 x 适合任何版本的数学教材 希望能帮到你 相信你会成功 加油 4 由于 是方程的两个根 故 00 21 xBxA 1 x 2 x0 2 cbxax a c xx a b xx 2121 aa acb a c a b xxxxxxxxAB 44 4 2 2 21 2 21 2 2121 考点一 考点一 二次函数的概念和图像二次函数的概念和图像 3 8 分 分 1 二次函数的概念 一般地 如果 那么 y 叫做 x 的二次函数 0 2 acbacbxaxy是常数 叫做二次函数的一般式 0 2 acbacbxaxy是常数 2 二次函数的图像 二次函数的图像是一条关于对称的曲线 这条曲线叫抛物线 a b x 2 抛物线的主要特征 有开口方向 有对称轴 有顶点 3 二次函数图像的画法 五点法 1 先根据函数解析式 求出顶点坐标 在平面直角坐标系中描出顶点 M 并用虚 线画出对称轴 2 求抛物线与坐标轴的交点 cbxaxy 2 当抛物线与 x 轴有两个交点时 描出这两个交点 A B 及抛物线与 y 轴的交点 C 再找 到点 C 的对称点 D 将这五个点按从左到右的顺序连接起来 并向上或向下延伸 就得到 二次函数的图像 当抛物线与 x 轴只有一个交点或无交点时 描出抛物线与 y 轴的交点 C 及对称点 D 由 C M D 三点可粗略地画出二次函数的草图 如果需要画出比较精确的图像 可再描 出一对对称点 A B 然后顺次连接五点 画出二次函数的图像 考点二 考点二 二次函数的解析式二次函数的解析式 10 16 分 分 二次函数的解析式有三种形式 1 一般式 0 2 acbacbxaxy是常数 2 顶点式 0 2 akhakhxay是常数 3 当抛物线与 x 轴有交点时 即对应二次好方程cbxaxy 2 有实根和存在时 根据二次三项式的分解因式0 2 cbxax 1 x 2 x 二次函数可转化为两根式 21 2 xxxxacbxax cbxaxy 2 适合任何版本的数学教材 希望能帮到你 相信你会成功 加油 5 如果没有交点 则不能这样表示 21 xxxxay 考点三考点三 二次函数的最值 二次函数的最值 10 分 分 如果自变量的取值范围是全体实数 那么函数 在顶点处取得最大值 或最小值 即当时 a b x 2 a bac y 4 4 2 最值 如果自变量的取值范围是 那么 首先要看是否在自变量取值范围 21 xxx a b 2 内 若在此范围内 则当 x 时 若不在此范围内 21 xxx a b 2 a bac y 4 4 2 最值 则需要考虑函数在范围内的增减性 如果在此范围内 y 随 x 的增大而增大 21 xxx 则当时 当时 如果在此范 2 xx cbxaxy 2 2 2最大1 xx cbxaxy 1 2 1最小 围内 y 随 x 的增大而减小 则当时 当时 1 xx cbxaxy 1 2 1最大2 xx cbxaxy 2 2 2最小 考点四 考点四 二次函数的性质二次函数的性质 6 14 分 分 1 二次函数的性质 函数 二次函数 0 2 acbacbxaxy是常数 a 0a 0 图像 y 0 x y 0 x 性质 1 抛物线开口向上 并向上无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 1 抛物线开口向下 并向下无限延伸 2 对称轴是 x 顶点坐标是 a b 2 a b 2 a bac 4 4 2 适合任何版本的数学教材 希望能帮到你 相信你会成功 加油 6 3 在对称轴的左侧 即当 x 时 y 随 x 的增大而增大 简记左减 a b 2 右增 4 抛物线有最低点 当 x 时 y 有最 a b 2 小值 a bac y 4 4 2 最小值 3 在对称轴的左侧 即当 x时 y 随 x 的增大而减小 简 a b 2 记左增右减 4 抛物线有最高点 当 x 时 y 有最 a b 2 大值 a bac y 4 4 2 最大值 2 二次函数中 的含义 表示 0 2 acbacbxaxy是常数 cb aa 开口方向 0 时 抛物线开口向上 0 时 图像与 x 轴有两个交点 当 0 时 图像与 x 轴有一个交点 当0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 的符号a开口方向顶点坐标对称轴性质 0a 向上 hk X h 时 随的增大而增大 时 xh yxxh 随的增大而减小 时 有最小yxxh y 值 k 0a 向下 hk X h 时 随的增大而减小 时 xh yxxh 随的增大而增大 时 有最大yxxh y 值 k 适合任何版本的数学教材 希望能帮到你 相信你会成功 加油 12 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 同左上加 异右下减 三 二次函数三 二次函数与与的比较的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 请将利用配方的形式配成顶点式 请将配成 2 245yxx 2 yaxbxc 2 ya xhk 总结 总结 从解析式上看 与是两种不同的表达形式 后者通过 2 ya xhk 2 yaxbxc 配方可以得到前者 即者 即 其中 其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa 四 二次函数四 二次函数图象的画法图象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法 利用配方法将二次函数化为顶点式 确 2 yaxbxc 2 ya xhk 定其开口方向 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我 们选取的五点为 顶点 与轴的交点 以及关于对称轴对称的点y 0c 0c 与轴的交点 若与轴没有交点 则取两组关于对称轴 2hc x 1 0 x 2 0 x x 对称的点 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与轴的交点 与轴的交点 xy 适合任何版本的数学教材 希望能帮到你 相信你会成功 加油 13 五 二次函数五 二次函数的性质的性质 2 yaxbxc 1 当时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 当时 随的增大而减小 当时 随的增大而增大 当 2 b x a yx 2 b x a yx 时 有最小值 2 b x a y 2 4 4 acb a 2 当时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 当0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 时 随的增大而增大 当时 随的增大而减小 当时 2 b x a yx 2 b x a yx 2 b x a 有最大值 y 2 4 4 acb a 六 二次函数解析式的表示方法六 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 2 顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 3 两根式 是抛物线与轴两交点的横坐标 12 ya xxxx 0a 1 x 2 xx 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数都可以 写成交点式 只有抛物线与轴有交点 即时 抛物线的解析式才可以x 2 40bac 用交点式表示 二次函数解析式的这三种形式可以互化 七 二次函数的图象与各项系数之间的关系七 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数二次项系数a 二次函数中 作为二次项系数 显然 2 yaxbxc a0a 当时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之的值越小 开口越0a aa 大 当时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之的值越大 开口越0a aa 大 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决小决aaa 适合任何版本的数学教材 希望能帮到你 相信你会成功 加油 14 定开口的大小 定开口的大小 2 一次项系数一次项系数b 在二次项系数确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在的前提下 0a 当时 即抛物线的对称轴在轴左侧 ab 同号同左上加0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的右侧 a b 异号异右下减0b 0 2 b a y 在的前提下 结论刚好与上述相反 即0a 当时 即抛物线的对称轴在轴右侧 a b 异号异右下减0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在轴的左侧 ab 同号同左上加0b 0 2 b a y 总结起来 在确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 ab 总结 同左上加 异右下减 3 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在轴上方 即抛物线与轴交点的纵坐标为正 0c yxy 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c yy0 当时 抛物线与轴的交点在轴下方 即抛物线与轴交点的纵坐标为0c yxy 负 总结起来 决定了抛物线与轴交点的位置 cy 总之 只要都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 abc 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数 的解析式必须根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般来说 有如下几 种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 二 二次函数图象的对称二 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达 1 关于轴对称x 关于轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc x 2 yaxbxc 适合任何版本的数学教材 希望能帮到你 相信你会成功 加油 15 关于轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk x 2 ya xhk 2 关于轴对称y 关于轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc y 2 yaxbxc 关于轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk y 2 ya xhk 3 关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 yaxbxc 关于原点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 4 关于顶点对称 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 5 关于点对称 mn 关于点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk mn 2 22ya xhmnk 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变化 因此 永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便运算的原则 选择a 合适的形式 习惯上是先确定原抛物线 或表达式已知的抛物线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向 然后再写出其对称抛物线的表达式 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与轴交点情况 x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况 2 0axbxc 2 yaxbxc 0y 图象与轴的交点个数 x 当时 图象与轴交于两点 其中的 2 40bac x 12 00A xB