汕头市高二年级期末统考试题(理科数学)

1 绝密 启用前 试卷类型 B 2013 年汕头市高二年级期末统考试题 数学 理科 2013 7 本试卷共 6 页 21 小题 满分 150 分 考试用时 120 分钟 注意事项 1 答卷前 考生首先检查答题卡是否整洁无缺损 监考教师分发的考生信息条形码是 否正确 之后务必用 0 5 毫米黑色字迹的签字笔在答题卡指定位置填写自己的学校 姓名和考生号 同时 将监考教师发放的条形码正向准确粘贴在答题卡的贴条形码 区 请保持条形码整洁 不污损 2 选择题每小题选出答案后 用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑 如需 改动 用橡皮擦干净后 再选涂其它答案 答案不能答在试卷上 不按要求填涂的 答案无效 3 非选择题必须用 0 5 毫米黑色字迹的签字笔作答 答案必须写在答题卡各题目指定 区域内相应位置上 请注意每题答题空间 预先合理安排 如需改动 先划掉原来 的答案 然后再写上新的答案 不准使用铅笔和涂改液 不按以上要求作答的答案 无效 4 作答选做题时 请先用 2B 铅笔填涂选做题的题号对应的信息点 再做答 漏涂 错涂 多涂的答案无效 5 考生必须保持答题卡的整洁 考试结束后 将答题卡交回 参考公式 体积公式 1 3 VS hVS h 柱体锥体 其中 V S h分别是体积 底面积和 高 一 选择题 本大题共一 选择题 本大题共 8 8 小题 每小题小题 每小题 5 5 分 共分 共 4040 分 在每小题给出的四个选项中 选分 在每小题给出的四个选项中 选 出符合题目要求的一项出符合题目要求的一项 1 1 已知全集 集合 则 U R 021 x Ax 3 log0 Bxx BCA U A B C D 1 x x 0 x x 01 xx 0 x x 2 2 已知 是虚数单位 则复数所对应的点落在 i 23 zi 2i3i A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 3 3 沿一个正方体三个面的对角线截得的几何体如图所示 则该几何体的左视图为 2 A B C D 4 4 已知变量 x y满足约束条件 1 10 1 xy x xy 则 2x y e 的最大值是 A 3 e B 2 e C 1 D 4 e 5 5 双曲线的渐近线与圆相切 22 22 1 xy ab 22 2 1xy 则双曲线离心率为 A B C D 2323 6 6 阅读下面程序框图 则输出结果s的值为 A 2 1 B 2 3 C 3 D 3 7 7 在下列命题中 是 的充要条件 2 sin1 的展开式中的常数项为 3 4 1 2 x x 2 设随机变量 若 则 0 1 N 1 Pp 1 10 2 Pp 已知命题 p 0 32 xx x 命题 q 0 32xxx 则命题 pq 为 真命题 其中所有正确命题的序号是 A B C D 8 设为有理数集 定义映射 则定义QQba QQf ba baxx dcba ff 为到的映射 则 QQ xffxff dcbadcba dcba ff A B C D bdac f dbca f badac f cdab f 二 二 填空题 本大共填空题 本大共 6 6 小题小题 每小题每小题 5 5 分分 共共 3030 分分 把答案填在答题卡的相应把答案填在答题卡的相应 位置 位置 一一 必做题必做题 9 9 1313 题题 9 抛物线的焦点坐标为 2 xy 开始 s 0 n 1 是 否 nn 1 输出s 结 3102 n 3 s s sin n 3 10 函数在点处的切线方程为 32 2 xxy 3 2 M 11 若向量 满足 且 则 2 12 我们知道 任何一个三角形的任意三条边与对应的三个内角满足余弦定理 比如 在 中 三条边对应的内角分别为 那么用余弦定理表达边角关系ABC cba CBA 的一种形式为 请你用规范合理的文字叙述余弦定理 注意 Abccbacos2 222 表述中不能出现任何字母 13 不等式解集为 1212 xx 二二 选做题选做题 14 14 1515 题 考生只能从中选做一题题 考生只能从中选做一题 1414 坐标系与参数方程 在极坐标系中 以点为圆心 2 2 半径为 2 的圆的极坐标方程为 1515 如图 中的弦与直径相交于点 为延长线OCDABEMAB 上一点 为 的切线 为切点 若 MDOD2AE 4DE 3CE 则 4DM OBMB 三 解答题 本大题共三 解答题 本大题共 6 6 小题 满分小题 满分 8080 分 解答须写出文字说明 证明过程分 解答须写出文字说明 证明过程 或演算步骤 或演算步骤 16 16 本小题共 本小题共 1212 分 分 已知等差数列的前项和为 n an n S4 2 a35 5 S 求数列的前项和 n an n S 若数列满足 求数列的前n项的和 n b n a n pb 0 p n b n T 17 17 本小题满分 本小题满分 1212 分 分 空气质量指数 单位 3 g m 表示每立方米空气中可5 2PM 入肺颗粒物的含量 这个值越高 就代表空气污染越严重 甲 乙两城市 2013 年 2 月份中的 15 天对空气质量指数进行监测 获得日5 2PM5 2PM 均浓度指数数据如茎叶图所示 根据你所学的统计知识估计甲 乙两城市 15 天 内哪个城市空气质量总体较好 注 不需说明理由 3 0 2 2 4 4 8 9 6 6 1 5 1 7 8 8 2 3 0 9 8 甲城市 3 2 0 4 5 5 6 4 7 6 9 7 8 8 0 7 9 1 8 0 9 乙城市 M E O D C B A 4 在 15 天内任取 1 天 估计甲 乙两城市 空气质量类别均为优或良的概率 在乙城市 15 个监测数据中任取2个 设X为空气质 量类别为优或良的天数 求X的分布列及数学期望 18 18 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知函数 2 2sinsin 2sin1 2 f xxxx x R 求函数的最小正周期及函数的单调递增区间 f x f x 若 求 的值 0 2 23 x f 0 44 x 0 cos2x 在锐角中 三条边对应的内角分别为 若 ABC cba CBA 2 b 12 5 C 且满足 求的面积 2 2 82 A fABC 19 19 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 在四棱锥PABCD 中 PA 平面ABCD ABC 是正三角形 AC与BD的交点M恰好是AC中点 又4PAAB 120CDA 点N在线段 PB上 且2PN 求证 BDPC 求证 MN平面PDC 求二面角APCB 的余弦值 20 20 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 已知椭圆 的离心率 且椭圆C 22 22 1 xy M ab 0 ab 3 5 e 上一点与椭圆的两个焦点构成的三角形周长为 16 求椭圆的方程 M 若 试探究在椭圆内部是否存在整点 平面内横 纵坐标均 0 0O 2 2PCQ 为整数的点称为整点 使得的面积 若存在 请指出共有几个这样的点 OPQ 4 OPQ S 并说明理由 不必具体求出这些点的坐标 2121 本小题满分 本小题满分 1414 分 分 设函数 2 1 f xxbln x 其中 b 0 当 b 1 2 时 判断函数 f x在定义域上的单调性 M D C B A P N 5 求函数 f x的极值点 证明对任意的正整数n 不等式 23 111 1 ln nnn 都成立 20132013 年高二统考理科数学试题答案年高二统考理科数学试题答案 一 选择题 DCBBCDCC 二 填空题 9 10 11 0 4 1 005 yx 12 三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘三角形的任意一边的平方等于另外两边的平方和与这两边以及它们的夹角的余弦的乘 积的积的 2 2 倍的差倍的差 本题可以酌情给分 得分 本题可以酌情给分 得分 0 0 分 分 4 4 分 分 5 5 分 分 对于文字表达不太规范的可 对于文字表达不太规范的可 以考虑给以考虑给 4 4 分 分 13 14 15 2 1 xx sin4 424 4 三 解答题 16 解 设数列的首项为a1 公差为d n a 则 4 分 1 1 4 5 5 1 535 2 ad ad 5 分 1 1 3 a d 6 分32 n an 前项和n 7 分 1 32 31 22 n nnnn S 且 8 分32 n an 23 n n pbpb 1 0 p 当n 2 时 为定值 9 分 3 2 1 3 23 1 p p p b b n n n n 数列构成首项为 公比为的等比数列 10 分 n bp 3 p 所以 1 当 即时 11 分1 3 p1 pnTn 6 2 当 即时数列的前n项的和是 1 3 p1 p n b 12 分 11 1 3 13 3 3 p pp p pp T nn n 17 本小题满分 12 分 解 甲城市空气质量总体较好 4 分 甲城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 10 天 任取 1 天 空气质量类别为 优或良的概率为 5 3 2 15 10 分 乙城市在 15 天内空气质量类别为优或良的共有 5 天 任取 1 天 空气质量类别为优或良的 概率为 6 分 3 1 15 5 在 15 天内任取 1 天 估计甲 乙两城市空气质量类别均为优或良的概率为 9 2 3 1 3 2 8 分 的取值为 9 分X2 1 0 7 3 0 2 15 2 10 0 5 C CC XP 21 10 1 2 15 1 10 1 5 C CC XP 21 2 0 2 15 0 10 2 5 C CC XP X的分布列为 11 分 X012 P 7 3 21 10 21 2 数学期望 12 分 3 2 21 2 2 21 10 1 7 3 0 EX 18 解 1 2 2sincos2sin1 f xxxx 分 3 分sin2cos2 xx 2sin 2 4 x 函数的最小正周期 4 f x 2 2 T 分 解法一 由已知得 6 分 0 00 2 sincos 23 x fxx 两边平方 得 所以 7 分 0 2 1 sin2 9 x 0 7 sin2 9 x 7 因为 所以 8 分 0 44 x 0 2 22 x 所以 9 分 2 0 74 2 cos21 99 x 解法二 因为 所以 5 0 44 x 0 0 42 x 分 又因为 6 00 0 2 2sin 2 2sin 22443 xx fx 分 得 所以 7 分 0 1 sin 43 x 2 0 12 2 cos 1 433 x 所以 00000 cos2sin 2 sin 2 2sin cos 2444 xxxxx 9 分 1 2 24 2 2 339 因为 10 分 2 2 sin2 4 82 2sin2 82 A AA f 所以 又因为为锐角三角形 所以 11 分 2 1 sin AABC 6 A 所以由 且得到 12 分 CBA 12 5 C 12 5 B 所以 且的面积 142 cbABC AbcSsin 2 1 1 6 sin22 2 1 分 19 证明 I 因为 ABC 是正三角形 M是AC中点 所以BM AC 即BD AC 1 分 又因为PA ABCD 平面 BD 平面ABCD PA BD 2 分 又PA ACA 所以BD 平面PAC 3 分 又PC 平面PAC 所以BD PC 4 分 在正三角形ABC中 2 3BM 5 分 在 ACD 中 因为M为AC中点 DM AC 所以AD CD 120CDA 所以 2 3 3 DM 所以 3 1BMMD 6 分 8 在等腰直角三角形PAB中 4PAAB 4 2PB 所以 3 1BN NP BN NPBMMD 所以 MNPD 8 分 又MN 平面PDC PD 平面PDC 所以 MN 平面PDC 9 分 因为 90BADBACCAD 所以AB AD 分别以 AB ADAP 为x轴 y 轴 z轴建立如图的空间直角坐标系 所以 4 3 4 0 0 2 2 3 0 0 0 0 0 4 3 BCDP 10 分 由 可知 4 3 4 0 3 DB 为平面PAC的法向量 11 分 2 2 3 4 PC 4 0 4 PB 设平面PBC的一个法向量为 nx y z 则 0 0 n PC n PB 即 22 340 440 xyz xz 令 3 z 则平面PBC的一个法向量为 3 3 3 n 12 分 设二面角A PCB 的大小为 显然为锐角 则 7 cos 7 n DB nDB 所以二面角A PCB 余弦值为 14 分 7 7 20 解 设椭圆 C 的半焦距为 c 由题意可知道 解得 3 分 5 3 1622 a c ca 3 5 c a 又因为 所以 222 cba 4 22 cab 所以椭圆的方程为 6 分1 1625 22 yx 依题意 直线的方程为 7 分2 2OP OPyx z y x M A D B C P N 9 因为 所以到直线的距离为 8 分4 OPQ S QOP2 2 所以点在与直线平行且距离为的直线 上 QOP2 2l 设 则 解得 10 分 l yxm 2 2 2 m 4m 当时 由 4m 22 4 1 2516 yx xy 消元得 即 12 分 2 412000 xx 200 0 41 x 又 所以 相应的也是整数 此时满足条件的点有个 xZ 4 3 2 1x yQ4 当时 由对称性 同理也得满足条件的点有个 13 分4m Q4 综上 存在满足条件的点 这样的点有个 14 分Q8 21 解 由题意可知 函数的定义域为 1 分 xf 1 且 2 分 1 22 1 2 2 x bxx x b xxf 设恒成立0 2 1 2 1 222 22 bxbxxxg 2 1 b 所以对任意恒成立 0 xf 1 x 函数 f x在定义域上是增函数 3 分 显然由 可知 当 b 1 2 时 函数无极值点 4 分 当时 恒成立 2 1 b0 1 2 1 2 2 x x xf 所以函数在定义域上单调递增 无极值点 5 分 当时 有两个不同的解 2 1 b0 xf 2 211 1 b