立体几何外接球

立体几何之外接球秒杀 第一种 长方体正方体模型 长方体各顶点可在一个球面上 故长方体存在外切球 但是不一定存在内切球 设长方体的棱 长为a b c 其体对角线为 l 当球为长方体的外接球时 截面图为长方体的对角面和其外 接 圆 故球的半 径 例 1 1 已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为4 体积为16 则这个球的表面积 是 A 16 B 20 C 24 D 32 2 2013 秋 潮阳区校级期中 长 宽 高分别为 4 3 的长方体的外接球的体积为 A 3 B C D 9 第二种 补形法 把几何体放到规则图形里面 规则的锥体 如正四面体 正棱锥 特殊的一些棱锥等能够和球进行充分的组合 把多面体 放到规则几何体里面 类型 1 有一条棱垂直于底面 图 1 c a b C P A B 1 已知直三棱柱 ABC ABC 1 1 1的 6 个顶点都在球 O 的球面上 若AB AC AA1 12 AB 3 AC 4 则球 O 的半径为 A B 2 10 C D 3 10 317 2 2 若三棱锥的三个侧面两垂直 且侧棱长均为3 则其外接球的表面积是 3 在正三棱锥S ABC 中 M N 分别是棱SC BC 的中点 且 AM MN 若侧棱 SA 2 3 则正三棱锥S ABC外接球的表面积是 4 2014 秋 吉安期末 三棱锥 P ABC 的侧棱 PA PB PC 两两互相垂直 且 PA PB PC 2 则三棱锥 P ABC 的外接球的体积是 A 2 B 4 C D 8 类型二 对棱相等利用长方体相对面的对角线长度相等 把四面体放入其中 1 在三棱锥A BCD中 AB CD 2 AD BC 3 AC BD 4 则三棱锥A BCD外 接球的表面积为 2 2015 秋 湖南月考 在四面体 ABCD 中 AB CD AC BD AD BC 则四面体的外接球的表面积为 A 6 B 8 C 14 D 16 第三种 正棱锥巧用公式 b2 正棱锥外接球半径的秒杀方法 R b为侧棱长 h为棱锥的高 2h 如图所示 PA b PE h PO AO R 在直角三角形 AOE 中 AO EO AE2 22 2 222 2 b RhRbhR h 正四面体 外接圆半径 6a 4 a 为棱长 可用补形法求的 1 2017 秋 平遥县月考 如果三棱锥的每条侧棱和底面的边长都是 a 那么这个 三棱锥的外接球的体积是 A a3 B a3 C a3 D a3 2 2017 秋 茂名月考 在正三棱锥 S ABC 中 SA 2 AB 6 则该三棱锥 外接球的直径为 A 7 B 8 C 9 D 10 3 2015 秋 青岛校级月考 如图 已知正三棱锥的侧棱长为 2 底面周长为 9 1 求这个正三棱锥的体积 2 求这个正三棱锥的外接球的体积 4 正四棱锥的顶点都在同一球面上 若该棱锥的高为 4 底面边长为 2 则该 球 的表面积为 81 A B 16 4 C 9 27 D 4 第四种 则外接球半径 R 1 2017 深圳二模 已知三棱锥 S ABC ABC 是直角三角形 其斜边 AB 8 SC 平面 ABC SC 6 则三棱锥的外接球的表面积为 A 64 B 68 C 72 D 100 2 如图是一个空间几何体的三视图 则该几体体的外接 球的体积是 32 28 2 21 2 22 12 4 ABCBCDlRRBC l RR 平面平面 ABC 和BCD外接圆半径分别为 B C D 8 333 2 在三棱锥S ABC 中 ABC 90 AC中点为点 O AC 2 SO 平面 ABC SO 3 则三棱锥外接球的表面积为 3 已知直三棱柱 ABC ABC 1 1 1的各顶点都在球 O 的球面上 且AB AC 1 20 5 BC 3 若球 O 的体积为 则这个直三棱柱的体积等于 3 A 2 B 3 C 2 D 5 4 已知点A是以BC为直径的圆 O 上异于 B C 的动点 P为平面ABC外一点 且平面PBC 平面ABC BC 3 PB 2 2 PC 5 则三棱锥P ABC 外接球的表面积为 A 642 5 如图 平面四边形ABCD中 AB AD CD 1 BD 2 BD CD 将其沿 对角线BD折成四面体A BCD 使平面ABD 平面BCD 四面体 A BCD 顶点在同一个球面上 则该球的体积为 6 如图 在小正方形边长为 1 的网格中画出了某多面体