平面截圆锥曲线b

平面与圆锥面的截线平面与圆锥面的截线 一 教学目标 一 教学目标 1 知识与内容 1 通过观察平面截圆锥面的情境 体会定理 2 2 利用 Dandelin 双球证明定理 2 中情况 1 3 通过探究 得出椭圆的准线和离心率 加深对椭圆结构的理解 2 过程与方法 利用现代计算机技术 动态地展现 Dandelin 两球的方法 帮助学生利用几 何直观进行思维 培养学生的几何直观能力 重视直觉的培养和训练 直觉用 于发现 逻辑用于证明 3 情感态度价值观 通过亲历发现的过程 提高对图形认识能力 重视合情推理和演绎推理的 启发 应用和培养 让学生辩证地观察 分析问题 二 教学重点难点二 教学重点难点 重点 1 定理 2 的证明 2 椭圆准线和离心率的探究 难点 椭圆准线和离心率的探究 三 教学过程三 教学过程 椭圆是生活中常见的图形 是圆锥曲线中重要的一种 生成椭圆的方法 有许多 例如 1 圆按某一个方向作伸缩变换可以得到椭圆 如图 1 2 椭圆的定义 3 平面内到定点和定直线的距离之比等于常数 0 e 1 的点的轨迹 4 一动点到两个定点连线的斜率之积是一个负常数生成轨迹是椭圆 5 圆柱形物体的斜截口是椭圆 如图 2 x y P D O 图 1 如果用一平面去截一个正圆锥 所得截口曲线是椭圆吗 还有其他情况 吗 让我们共同来探究平面与圆锥面的截线 39 1 0 2 1 2 3 ADABC BADlADPAD lABABAC lAB lBAAC 如图是等腰三角形底边上的高 直线与相交于点且与的夹角 为试探究当与满足什么关系 与或的延长线 都相交 与不相交 与的延长线 思考 都相交 利用几何画板实验探索 39 1 图 39 2 如图可以有如下结论 1 lABABAC lABABEACF AEP lABABAC 当与或的延长线 都相交时 设与或的延长线交于与交于 因为是的外角所以必然有 反之当时与或的延长线 都相交 2 lABlAB lABlAB 当与不相交时则这时有 反之当时那么与不相交 3 lBAAClBAG当与的延长线 都相交时设与的延长线交于 APGlBAAC 因为是的外角所以如果那么与的延长线 都相交 思考 39 3 10 将图中的等腰三角形拓广为圆锥直线拓广为平面则得到图 如果用一平面去截一个正圆锥 而且这个平面不通过圆锥的顶点 会出 现哪些情况呢 A B C P D l l C D B A P E F G 39 2 39 2 如果平面与一条母线平行相当于图中的那么 1 平面就只与正圆锥的一半相交这时的交线是一条抛物线 如果平面不与母线平行那么会出现两种情形 2 平面只与圆锥的一半相交这时的交线为椭圆 3 平面与圆锥的两部分都相交这时的交线叫做双曲线 归纳提升 定理 在空间中 取直线l为轴 直线l 与l相交于 O 点 其夹角为 l 围绕l旋转 得到以 O 为顶点 l 为母线的圆锥面 任取平面 若它与轴l交角为 与l平行 记住 0 则 1 平面 与圆锥的交线为椭圆 2 平面 与圆锥的交线为抛物线 3 平面 与圆锥的交线为双曲线 2 11你能仿照定理的证明方法证明定理的结论思吗考 问题 问题 利用 Dandelin 双球 这两个球位于圆锥的内部 一个位于平面 的上方 一个位于平面的下方 并且与平面 及圆锥均相切 证明 平面 与圆锥的交线为椭圆 讨论 讨论 点 A 到点 F 的距离与点 A 到直线 m 的距离比小于 1 证明证明 1 利用椭圆第一定义 证明 FA AE BA AC 定值 详见课本 证明证明 2 上面一个 Dandelin 球与圆锥面的交线为一个圆 并与圆锥的底面平 行 记这个圆所在平面为 如果平面 与平面 的交线为 m 在图中椭圆上任取一点 A 该 Dandelin 球与平面 的切点为 F 则点 A 到点 F 的距离与点 A 到直线 m 的距离比是 小于 1 称点 F 为这个椭圆的焦点 直线 m 为椭 圆的准线 常数为离心率 e 点评点评 利用 可以证明截线为抛物线 双曲线的情况 以离心率的范围为准 1 3 12 1 2 PFm 如图 找出椭圆的准线 探讨到焦点的距离与到两平面交线 探 的距离之比 究 P 1 F AB 1 Q S m 3 12 图 1 3 12 DandelinSS mPPFPm APBABABPA 如图上面一个球与圆锥的交线为圆记圆 所在的平面为 设与的交线为在椭圆上任取一点连接在中过作的垂线垂足 为过作的垂线垂足为连接则是在平面上的射影 mAB 容易证明故 PAB 是平面与平面交成的二面角的平面角 cos 1Rt ABPAPBPBPA 在中所以 11 11 cos 2 PSQRt PQ B Q PBPBPQ 设过的母线与圆交于点则在中 所以 1 cos 12 cos PF PA 由得因为 1 cos 0 coscos 1 2cos PF PA 故则 coscos coscos m e 由上所述可知椭圆的准线为椭圆上任一点到焦点的距离与到准线的距离之比为 常数因此椭圆的离心率为 即椭圆的离心率等于截面和圆锥的轴的交角的余弦与圆锥的母线和轴所成角的余弦之比 我们延用讨论椭圆结构特点的思路讨论一下双曲线的结讨 构特点论 3 13 图 1 F 2 F P 2 Q 1 Q O 1 S 2 S 1212 3 13 Dandelin FFSS 如图当时平面与圆锥的两部分相交在圆锥的两部分分别嵌入球 与平面的两个切点分别是 与圆锥两部分截得的圆分别为 1212 PPFPFPOQQ在截口上任取一点连接 过和圆锥的顶点作母线分别与两个球切于 则 1122121212 PFPQ PFPQPFPFPQPQQQ 所以 121212 QQSSQQ由于为两圆 所在平行平面之间的母线段长因此的长为定值 由上所述可知双曲线的结构特点是 双曲上任意一点到两个定点即双曲线的两个焦点的距离之差的绝对值为常数 拓展 1 请证明定理 2 中的结论 2 2 探究双曲线的准线和离心率 3 探索定理中 3 的证明 体会当 无限接近 时平面 的极限结 果 四 自我检测练习四 自我检测练习 1 平面截球面和圆柱面所产生的截线形状是 分析分析 联想立体几何及上节所学 可得结论 要注意平面截圆柱面所得的截线 的不同情况 答案答案 平面截球面所得的截线为圆 平面截圆柱面所得的截线为圆或椭圆 2 判断椭圆 双曲线 抛物线内一点到焦点距离与到准线距离之比与 1 的关系 分析分析 首先通过画图寻找规律 然后加以证明 答案答案 略 五 课外研究材料五 课外研究材料 材料 1 阅读 和你的同学一起探讨文后的问题 运动的天体受向心力和离心力的作用 天体运行的速度不同 它所获得的 合力也不同 这样就导致形成不同的运行轨道 如人造卫星发射的速度等于或 大于 7 9km s 第一宇宙速度即环绕速度 时 它就在空中沿圆或椭圆轨道运行 当发射的速度等于或大于 11 2 km s 第二宇宙速度即脱离速度 时 物体可以 挣脱地球引力的束缚 成为绕太阳运动的人造行星或飞到其它行星上去 当速 度等于或大于 16 7 km s 第三宇宙速度即逃逸速度 时 物体将挣脱太阳引力 的束缚 飞到太阳系以外的宇宙空间去 例如 人造卫星 行星 慧星等由于 运动的速度的不同 它们的轨道是圆 椭圆 抛物线或双曲线 1 从天体运行的轨迹看 圆锥曲线也存在着统一 难道在冥冥宇宙中 有什么神奇的力量 使天体运行也遵循着一种统一的规律吗 2 邀请你们的物理老师 地理老师 请他们上一节天体运行课 更深入 的理解圆锥曲线 材料 2 圆锥截线 是一个平面截正圆锥面而得到的曲线 设圆锥轴截面母线与轴的夹角为 截面和圆锥的轴的夹角为 当截面不过顶点时 1 当 时 即截面和一条母线平行时 交线是抛物线 2 当 时 即截面不和母线平行 且只和圆锥面的一叶相交 2 时 交线是椭圆 特别地 当 即截面和圆锥面的轴垂直时 交线是 2 圆 3 当 0 时 即截面不与母线平行 且和圆锥面的两叶都相交时 交线是双曲线 当截面过顶点时 1 当 时 截面和圆锥面相切 交线退化为两条重合直线 2 当 时 截面和圆锥面只相交于顶点 交线退化为一个 2 点 3 当 0 时 截面和圆锥面相交于两条母线 交线退化为两条相 交直线 前一类情况中 抛物线 椭圆 包含圆 和双曲线这三