八年级下期数学培优思维训练(平行四边形)

1 八年级下期数学培优思维训练八年级下期数学培优思维训练 三 平行四边形 一 知识梳理 二 方法归纳 三 范例精讲 1 如图 ABC 中 点 D E F 分别为 BC AD CE 的中点 S ABC 4cm2 求阴影部分的面 积 2 下列平行四边形中 其图中阴影部分面积不一定等于平行四边形面积一半的是 A B C D 3 如图 在 ABCD 中 过对角线 BD 上一点 P 作 EF BC HG AB 若四边形 AEPH 和四边 形 CFPG 的面积分别为 S1和 S2 则 S1与 S2的大小关系为 A S1 S2B S1 S2 C S1 S2D 不能确定 4 如图 一个平行四边形被分成面积为 S1 S2 S3 S4 的四个小平行四边形 当 CD 沿 AB 自左向右在平行四边形内平行滑动时 与的大小关 14 S SA 23 S SA 系为 A B 1423 S SS S AA 1423 S SS S AA C D 不能确定 1423 S SS S AA 2 5 在 ABCD 中 点 A1 A2 A3 A4和 C1 C2 C3 C4分别 AB 和 CD 的五等分点 点 B1 B2 和 D1 D2分别是 BC 和 DA 的三等分 点 已知四边形 A4B2C4D2的面积为 1 则 ABCD 面积为 A 2 B 3 5 C 5 3 D 15 6 如图 在 ABC 中 AB AC M N 分别是 AB AC 的中点 D E 为 BC 上的点 连接 DN EM 若 AB 13cm BC 10cm DE 5cm 则图中阴影部分的面积是 7 如图 四边形 ABCD 是一块某地示意图 EFG 是流经这块菜地的 水渠 水渠东边的地属张家承包 西边的地属李家承包 现村委 会在田园规划中需将流经菜地的水渠取直 并要保持张 李两家 的承包土地面积不变 请你设计一个挖渠的方案 就在给出的图 形上画出设计示意图 并说明理由 8 已知等边 ABC 的边长为 a P 为 ABC 内任意一点 且 PD AB PE BC PF AC 那么 PD PE PF 的值是一个定值吗 如果是 求出这个定值 3 9 如图 ABCD 的对角线 AC BD 交于 O EF 过点 O 交 AD 于 E 交 BC 于 F G 是 OA 的中 点 H 是 OC 的中点 求证 四边形 EGFH 是平行四边形 10 如图 以 ABC 的三条边为边向 BC 的同侧作等边 ABP 等边 ACQ 等边 BCR 求证 四边形 PAQR 是平行四边形 11 如图 DE 是 ABC 的中位线 F 是 DE 的中点 CF 的延长线交 AB 于点 G 1 探索 AG 与 GD 的数量关系 并证明你的结论 2 求 DFG 与四边形 AEFG 的面积比 4 12 如图 四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 相交于点 O AC BD M N 分别是 AB CD 的 中点 MN 分别交 BD AC 于 E F 求证 OEF 是等腰三角形 13 如图 1 BD CE 分别是 ABC 的外角平分线 过点 A 作 AF BD AG CE 垂足分别 为 F G 连接 FG 延长 AF AG 与直线 BC 相交于 M N 1 求证 FG AB BC AC 1 2 2 如图 2 BD CE 分别是 ABC 的内角平分线 探索线段 FG 与 ABC 三边的数量关 系 并证明你的结论 3 如图 3 BD 为 ABC 的内角平分线 CE 为 ABC 的外角平分线 探索线段 FG 与 ABC 三边的数量关系 并证明你的结论 5 四 思维训练 1 如图 小红作出了边长为 1 的第 1 个正三角形 A1B1C1 算出了正 A1B1C1的面积 然后 分别取 A1B1C1三边的中点 A2 B2 C2 作出了第二个正三角形 A2B2C2 算出第 2 个正 A2B2C2的面积 用同样的方法作出了第 3 个正 A3B3C3 算出第 3 个正 A3B3C3的面积 依此方法作下去 由此可得第 n 次作出的正 AnBnCn的面积是 2 如图 四边形 ABCD 中 对角线 AC BD 且 AC 8 BD 4 各边中点分别为 A1 B1 C1 D1 顺次连接得到四边形 A1B1C1D1 再取各边中点 A2 B2 C2 D2 得到 四边形 A2B2C2D2 依此类推 得到四边形 AnBnCnDn 则四边形 AnBnCnDn的面积为 3 如图所示 ABCD 中 点 E 在边 AD 上 以 BE 为折痕 将 ABE 向上翻折 点 A 正好落 在 CD 上的点 F 若 FDE 的周长为 8 FCB 的周长为 22 求 CF 的长 6 4 已知 如图 在四边形 ABCD 中 AD BC M N 分别是 AB CD 的中点 AD BC 的延长线分别交直线 MN 于 E F 求证 DEN F 5 如图 已知 AD 为 ABC 的角平分线 AB AC 在 AC 上截取 CE AB M N 分别为 BC AE 的中点 求证 MN AD 6 如图所示 D E 分别在 AB AC 上 BD CE BE CD 的中点分别是 M N 直线 MN 分 别交 AB AC 于 P Q 求证 AP AQ 7 如图 AD 是 ABC 的高 M N E 分别是 AB AC BC 边上的中点 1 求证 ME DN 2 若 BC AD 12 AC 13 求四边形 DEMN 的面积 7 8 如图所示 M N 分别为平行四边形 ABCD 边 BC CD 上的点 且 MN BD 则 AND 的面积 ABM 的面积有什么关系 说明理由 9 如图 1 图 2 ABC 是等边三角形 D E 分别是 AB BC 边上的两个动点 与点 A B C 不重合 始终保持 BD CE 1 当点 D E 运动到如图 1 所示的位置时 求证 CD AE 2 把图 1 中的 ACE 绕 A 点顺时针旋转 60 到 ABF 的位置 如图 2 连接 DF EF 找出图中所有的等边三角形 ABC 除外 并对其中一个给予证明 试判断四边形 CDFE 的形状 并说明理由 10 如图 1 P 为 Rt ABC 所在平面内任意一点 不在直线 AC 上 ACB 90 M 为 AB 边 中点 操作 以 PA PC 为邻边作平行四边形 PADC 连续 PM 并延长到点 E 使 ME PM 连接 DE 探究 1 请猜想与线段 DE 有关的三个结论 2 请你利用图 2 图 3 选择不同位置的点 P 按上述方法操作 3 经历 2 之后 如果你认为你写的结论是正确的 请加以证明 8 如果你认为你写的结论是错误的 请用图 2 或图 3 加以说明 注意 错误的结论 只要 你用反例给予说明也得分 4 若将 Rt ABC 改为 任意 ABC 其他条件不变 利用图 4 操作 并写出与线段 DE 有关的结论 直接写答案 11 在 ABC 中 AB AC 点 P 为 ABC 所在平面内的一点 过点 P 分别作 PE AC 交 AB 于 点 E PF AB 交 BC 于点 D 交 AC 于点 F 1 如图 1 若点 P 在 BC 边上 此时 PD 0 猜想并写出 PD PE PF 与 AB 满足的数量 关系 然后证明你的猜想 2 如图 2 当点 P 在 ABC 内 猜想并写出 PD PE PF 与 AB 满足的数量关系 然后证 明你的猜想 3 如图 3 当点 P 在 ABC 外 猜想并写出 PD PE PF 与 AB 满足的数量关系 不用说 明理由 9 12 平行四边 形 ABCD 中 AB 2 cm BC 12 cm B 45 点 P 在边 BC 上 由点 B 向点 C 运动 速度为每秒 2 cm 点 Q 在边 AD 上 由点 D 向点 A 运动 速度为 每秒 1 cm 连接 PQ 设运动时间为 t 秒 1 当 t 为何值时 四边形 ABPQ 为平行四边形 2 设四边形 ABPQ 的面积为 y cm2 用含 t 的代数式表示 y 的值 3 当 P 运动至何处时 四边形 ABPQ 的面积是 ABCD 面积的四分之三 13 在 ABCD 中 BAD 的平分线交直线 BC 于点 E 交直线 DC 于点 F 1 在图 1 中证明 CE CF 2 若 ABC 90 G 是 EF 的中点 如图 2 直 接写出 BDG 的度数 3 若 ABC 120 FG CE FG CE 分别连接 DB DG 如图 3 求 BDG 的度数 10 14 已知在 ABCD 中 AE BC 于 E DF 平分 ADC 交线段 AE 于 F 1 如图 1 若 AE AD ADC 60 请直接写出线段 CD 与 AF BE 之间所满足等量关系 2 如图 2 若 AE AD 你在 1 中得到的结论是否仍然成立 若成立 对你的结论加 以证明 若不成立 请说明理由 15 已知 如图 在梯形 ABCD 中 AD BC AD 24 cm BC 30 cm 点 P 自点 A 向 D 以 1 cm s 的速度运动 到 D 点即停 止 点 Q 自点 C 向 B 以 2 cm s 的速度运动 到 B 点即停止 直线 PQ 截梯形为两个四边形 问当 P Q 同时出发 几秒后其中一个四边 形为平行四边形 11 16 如图 a b 在 ABCD 中 BAD ABC 的平分线 AF BG 分别与线段 CD 两侧的延长线 或线段 CD 相交于点 F G AF 与 BG 相交于点 E 1 在图 a 中 求证 AF BG DF CG 2 在图 b 中 仍有 1 中的 AF BG DF CG 成立 请解答下面问题 若 AB 10 AD 6 BG 4 求 FG 和 AF 的长 是否能给 ABCD 的边和角各添加一个条件 使得点 E 恰好落在 CD 边上且 ABE 为等腰 三角形 若能 请写出所给条件 若不能 请说明理由 17 小刘遇到这样一个问题 如图 1 在 ABCD 中 AE BC 于点 E AF CD 于点 F 连接 EF AEF 的三条高线交于点 H 如果 AC 4 EF 3 求 AH 的长 小刘是这样思考的 要想解决这个问题 应想办法将题目中的已知线段与所求线段尽可能 集中到同一个三角形中 他先后尝试了翻折 旋转 平移的方法 发现可以通过将 AEH 平 移至 GCF 的位置 如图 2 可以解决这个问题 请你参考小刘同学的思路回答 1 图 2 中