2015高考数学二轮复习热点题型专题十二-函数模型及其应用

专题十二专题十二 函数模型及其应用函数模型及其应用 高频考点解读高频考点解读 1 了解指数函数 对数函数以及幂函数的增长特征 知道直线上升 指数增长 对数 增长等不同函数类型增长的含义 2 了解函数模型 如指数函数 对数函数 幂函数 分段函数等在社会生活中普遍使用 的函数模型 的广泛应用 热点题型热点题型 题型一题型一 几类常见函数模型几类常见函数模型 例 1 据调查 苹果园地铁的自行车存车处在某星期日的存车量为 4 000 辆次 其中变 速车存车费是每辆一次 0 3 元 普通车存车费是每辆一次 0 2 元 若普通车存车数为 x 辆次 存车费总收入为 y 元 则 y 关于 x 的函数关系是 A y 0 1x 800 0 x 4 000 B y 0 1x 1 200 0 x 4 000 C y 0 1x 800 0 x 4 000 D y 0 1x 1 200 0 x 4 000 解析 y 0 2x 4 000 x 0 3 0 1x 1 200 答案 D 提分秘籍提分秘籍 应用函数模型解应用题要注意应用函数模型解应用题要注意 1 正确理解题意 选择适当的函数模型 2 要特别关注实际问题的自变量的取值范围 合理确定函数的定义域 3 在解决函数模型后 必须验证这个数学解对实际问题的合理性 举一反三举一反三 在某种新型材料和研制中 实验人员获得了下列一组实验数据 现准备用下列四个函数 中的一个近似地表示这些数据的规律 其中最接近的一个是 A y 2x B y log2x C y x2 1 D y 2 61cos x 1 2 2 解析 通过检验可知 y log2x 较为接近 答案 B 热点题型热点题型 题型二题型二 三种增长型函数模型的图象与性质三种增长型函数模型的图象与性质 例 2 f x x2 g x 2x h x log2x 当 x 4 时 对三个函数的增长速度进行 比较 下列选项中正确的是 A f x g x h x B g x f x h x C g x h x f x D f x h x g x 提分秘籍提分秘籍 三种模型的增长差异三种模型的增长差异 在区间 0 上 尽管函数 y ax a 1 y logax a 1 和 y xn n 0 都是增函数 但它 们的增长速度不同 而且不在同一个 档次 上 随着 x 的增大 y ax a 1 的增长速度越来越 快 会超过并远远大于 y xn n 0 的增长速度 而 y logax a 1 的增长速度则会越来越 慢 因此 总会存在一个 x0 使得当 x x0时 有 logax xn0 左侧图形的面积为 f t 则 f t 的大致图象是 热点题型热点题型 题型五题型五 指数函数模型指数函数模型 例 5 将甲桶中的 a 升水缓慢注入空桶乙中 t 分钟后甲桶中剩余的水量符合指数衰减曲 线 y aen t 假设过 5 分钟后甲桶和乙桶的水量相等 若再过 m 分钟甲桶中的水只有 升 则 a 8 m 6 提分秘籍提分秘籍 指数函数型多涉及增长率 减少率 银行利率 细胞分裂等一系列问题 通常可以表示 为 y a 1 p x的形式 利用指数运算与对数函数图象性质去求解 举一反三举一反三 某电脑公司 2012 年的各项经营收入中经营电脑配件的收入为 400 万元 占全年经营总 收入的 40 该公司预计 2014 年经营总收入要达到 1 690 万元 且计划从 2012 年到 2014 年 每年经营总收入的年增长率相同 则 2013 年预计经营总收入为 万元 热点题型热点题型 题型六题型六 函数的实际应用问题函数的实际应用问题 例 6 小王大学毕业后 决定利用所学专业进行自主创业 经过市场调查 生产某小型 电子产品需投入年固定成本为 3 万元 每生产 x 万件 需另投入流动成本为 W x 万元 在年 产量不足 8 万件时 W x x2 x 万元 在年产量不小于 8 万件时 W x 6x 38 万 1 3 100 x 元 每件产品售价为 5 元 通过市场分析 小王生产的商品能当年全部售完 1 写出年利润 L x 万元 关于年产量 x 万件 的函数解析式 注 年利润 年销售收入 固定成本 流动成本 2 年产量为多少万件时 小王在这一商品的生产中所获利润最大 最大利润是多少 提分秘籍提分秘籍 函数模型的应用有两个方面 一方面是利用已知函数模型解决问题 另一方面是建立恰 当的函数模型 并利用所得函数模型解决实际问题 建立函数模型解应用问题的步骤如下 1 审题 弄清题意 分清条件和结论 理顺数量关系 初步选择模型 2 建模 将文字语言转化为数学语言 利用数学知识 建立相应的数学模型 3 求模 求解数学模型 得出数学结论 4 还原 将利用数学知识和方法得出的结论 还原到实际问题中 高考风向标高考风向标 1 2014 湖南卷 某市生产总值连续两年持续增加 第一年的增长率为 p 第二年的增 长率为 q 则该市这两年生产总值的年平均增长率为 A B p q 2 p 1 q 1 1 2 C D 1 pq p 1 q 1 答案 D 解析 设年平均增长率为 x 则有 1 p 1 q 1 x 2 解得 x 1 1 p 1 q 2 2014 陕西卷 如图 1 2 某飞行器在 4 千米高空水平飞行 从距着陆点 A 的水平距 离 10 千米处开始下降 已知下降飞行轨迹为某三次函数图像的一部分 则该函数的解析式 为 8 图 1 2 A y x3 x B y x3 x 1 125 3 5 2 125 4 5 C y x3 x D y x3 x 3 125 3 125 1 5 3 2013 陕西卷 设 x 表示不大于 x 的最大整数 则对任意实数 x y 有 A x x B 2x 2 x C x y x y D x y x y 4 2013 重庆卷 若 a b c 则函数 f x x a x b x b x c x c x a 的两个 零点分别位于区间 A a b 和 b c 内 B a 和 a b 内 C b c 和 c 内 D a 和 c 内 随堂巩固随堂巩固 1 汽车经过启动 加速行驶 匀速行驶 减速行驶之后停车 若把这一过程中汽车的行 驶路程 s 看作时间 t 的函数 其图象可能是 2 国家规定某行业收入税如下 年收入在 280 万元及其以下的税率为 p 超过 280 万元的 部分按 p 2 征税 有一公司的实际缴税比例为 p 0 25 则该公司的年收入是 A 560 万元 B 420 万元 C 350 万元 D 320 万元 3 某单位为鼓励职工节约用水 作出了以下规定 每位职工每月用水不超过 10 立方米的 按每立方米 m 元的水费收费 用水超过 10 立方米的 超过部分加倍收费 某职工某月缴水 费 16m 元 则该职工这个月实际用水为 A 13 立方米 B 14 立方米 C 18 立方米 D 26 立方米 4 某城市对一种售价为每件 160 元的商品征收附加税 税率为 R 即每销售 100 元征税 R 元 若年销售量为万件 要使附加税不少于 128 万元 则 R 的取值范围是 30 5 2R A 4 8 B 6 10 C 4 8 D 6 100 10 5 某商店计划投入资金 20 万元经销甲 乙两种商品 已知经销甲商品与乙商品所获得的利 润分别为 P 万元 和 Q 万元 且它们与投入资金 x 万元 的关系是 P Q a 0 若 x 4 a 2 x 不管资金如何投放 经销这两种商品或其中一种商品所获得的纯利润总和不少于 5 万元 则 a 的最小值应为 A B 5 5 C D 55 6 为了在 十一 黄金周期间降价搞促销 某超市对顾客实行购物优惠活动 规定一次购 物付款总额 如果不超过 200 元 则不予优惠 如果超过 200 元 但不超过 500 元 则 按标价给予 9 折优惠 如果超过 500 元 其中 500 元按第 条给予优惠 超过 500 元的部 分给予 7 折优惠 辛云和她母亲两次去购物 分别付款 168 元和 423 元 假设她们一次性购 买上述同样的商品 则应付款额为 7 为了预防流感 某学校对教室用药熏消毒法进行消毒 已知药物释放过程中 室内每立方 米空气中的含药量 y 毫克 与时间 t 小时 成正比 药物释放完毕后 y 与 t 的函数关系式为 y t a a 为常数 如图所示 根据图中提供的信息 回答下列问题 1 16 1 从药物释放开始 每立方米空气中的含药量 y 毫克 与时间 t 小时 之间的函数关系为 2 据测定 当空气中每立方米的含药量降低到 0 25 毫克以下时 学生方可进教室 那么 从药物释放开始 至少需要经过 小时后 学生才能回到教室 8 某公司有价值 a 万元的一条流水线 要提高该流水线的生产能力 就要对其进行技 12 术改造