高考数学第三章导数及其应用第4讲导数的综合应用第2课时利用导数探究函数零点问题教案文新人教A版.docx

第2课时利用导数探究函数零点问题判断、证明或讨论函数零点个数(师生共研) (2019高考全国卷节选)已知函数f(x)2sin xxcos xx，f(x)为f(x)的导数证明：f(x)在区间(0，)存在唯一零点【证明】设g(x)f(x)，则g(x)cos xxsin x1，g(x)xcos x.当x时，g(x)0；当x时，g(x)0，g()2，故g(x)在(0，)存在唯一零点所以f(x)在(0，)存在唯一零点利用导数确定函数零点或方程根个数的常用方法(1)构建函数g(x)(要求g(x)易求，g(x)0可解)，转化确定g(x)的零点个数问题求解，利用导数研究该函数的单调性、极值，并确定定义区间端点值的符号(或变化趋势)等，画出g(x)的图象草图，数形结合求解函数零点的个数(2)利用零点存在性定理：先用该定理判断函数在某区间上有零点，然后利用导数研究函数的单调性、极值(最值)及区间端点值符号，进而判断函数在该区间上零点的个数已知f(x)3，F(x)ln x3x2.(1)判断f(x)在(0，)上的单调性；(2)判断函数F(x)在(0，)上零点的个数解：(1)f(x)，令f(x)0，解得x1，令f(x)0，解得0x1，所以f(x)在(0，1)上单调递减，在(1，)上单调递增(2)F(x)f(x)3，由(1)得x1，x2，满足0x11x2，使得f(x)在(0，x1)上大于0，在(x1，x2)上小于0，在(x2，)上大于0，即F(x)在(0，x1)上单调递增，在(x1，x2)上单调递减，在(x2，)上单调递增，而F(1)0，当x0时，F(x)，当x时，F(x)，画出函数F(x)的草图，如图所示故F(x)在(0，)上的零点有3个已知零点个数求参数范围(师生共研) 函数f(x)x3ax2bxc(a，b，cR)的导函数的图象如图所示：(1)求a，b的值并写出f(x)的单调区间；(2)若函数yf(x)有三个零点，求c的取值范围【解】(1)因为f(x)x3ax2bxc，所以f(x)x22axb.因为f(x)0的两个根为1，2，所以解得a，b2，由导函数的图象可知(图略)，当1x2时，f(x)0，函数f(x)单调递减，当x1或x2时，f(x)0，函数f(x)单调递增，故函数f(x)的单调递增区间为(，1)和(2，)，单调递减区间为(1，2)(2)由(1)得f(x)x3x22xc，函数f(x)在(，1)，(2，)上是增函数，在(1，2)上是减函数，所以函数f(x)的极大值为f(1)c，极小值为f(2)c.而函数f(x)恰有三个零点，故必有解得c0，当a0时，f(x)0，f(x)在R上是增函数，当x1时，f(x)exa(x1)0；当x0时，取x，则f1aa0.所以函数f(x)存在零点，不满足题意当a0时，令f(x)0，得xln(a)在(，ln(a)上，f(x)0，f(x)单调递增，所以当xln(a)时，f(x)取最小值函数f(x)不存在零点，等价于f(ln(a)eln(a)aln(a)a2aaln(a)0，解得e2a0，则函数F(x)xf(x)的零点个数是()A0B1C2 D3解析：选B.函数F(x)xf(x)的零点，就是方程xf(x)0的根，即方程xf(x)的根令函数g(x)xf(x)，则g(x)f(x)xf(x)因为当x0时，g(x)f(x)xf(x)0，所以g(x)xf(x)单调递增，g(x)g(0)0；当x0时，g(x)f(x)xf(x)g(0)0.所以函数yg(x)与y的图象只有一个交点，即F(x)xf(x)只有一个零点故选B.2(2020武汉调研)已知f(x)exax2.命题p：a1，yf(x)有三个零点，命题q：aR，f(x)0恒成立则下列命题为真命题的是() Apq B(p)(q)C(p)q Dp(q)解析：选B.对于命题p：当a1时，f(x)exx2，在同一坐标系中作出yex，yx2的图象(图略)，由图可知yex与yx2的图象有1个交点，所以f(x)exx2有1个零点，故命题p为假命题，因为f(0)1，所以命题q显然为假命题故(p)(q)为真命题3已知函数f(x)的定义域为1，4，部分对应值如下表：x10234f(x)12020f(x)的导函数yf(x)的图象如图所示当1a2时，函数yf(x)a的零点有 个解析：根据导函数图象，知2是函数的极小值点，函数yf(x)的大致图象如图所示由于f(0)f(3)2，1a2，所以yf(x)a的零点个数为4.答案：44若函数f(x)1(a0)没有零点，则实数a的取值范围为 解析：f(x)(a0)当x2时，f(x)2时，f(x)0，所以当x2时，f(x)有极小值f(2)1.若使函数f(x)没有零点，当且仅当f(2)10，解得ae2，因此e2a0.答案：(e2，0)5已知函数f(x)aln x(aR)(1)求f(x)的单调区间；(2)试判断f(x)的零点个数解：(1)函数f(x)的定义域是(0，)，f(x)()ln x，令f(x)0，解得xe2，令f(x)0，解得0xe2，所以f(x)在(0，e2)上单调递减，在(e2，)上单调递增(2)由(1)得f(x)minf(e2)a，显然a时，f(x)0，无零点，a时，f(x)0，有1个零点，a时，f(x)0，得x2.所以函数f(x)的单调递增区间是(，1)，(2，)(2)由(1)知f(x)极大值f(1)22，f(x)极小值f(2)242，由数形结合，可知要使函数g(x)f(x)2m3有三个零点，则2m3，解得m.所以m的取值范围为.综合题组练1(2019高考全国卷)已知函数f(x)(x1)ln xx1.证明：(1)f(x)存在唯一的极值点；(2)f(x)0有且仅有两个实根，且两个实根互为倒数证明：(1)f(x)的定义域为(0，)f(x)ln x1ln x.因为yln x单调递增，y单调递减，所以f(x)单调递增又f(1)10，故存在唯一x0(1，2)，使得f(x0)0.又当xx0时，f(x)x0时，f(x)0，f(x)单调递增因此，f(x)存在唯一的极值点(2)由(1)知f(x0)0，所以f(x)0在(x0，)内存在唯一根x.由x01得10.(1)若曲线yf(x)经过坐标原点，求该曲线在原点处的切线方程；(2)若f(x)g(x)m在0，)上有解，求实数m的取值范围解：(1)因为f(0)a10，所以a1，此时f(x)exex1.所以f(x)exe，f(0)1e.所以曲线yf(x)在原点处的切线方程为y(1e)x.(2)因为f(x)aexaex1，所以f(x)aexaea(exe)当x1时，f(x)0；当0x1时，f(x)1时，h(x)0；当0x0.所以h(x)在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减所以当x0，)时，h(x)maxh(1)m.要使f(x)g(x)m在0，)上有解，则m1，即m.所以实数m的取值范围为.规范答题示范(一)函数与导数类型一函数的单调性、极值及最值 (12分)已知函数f(x)excos xx.(1) 求曲线yf（x）在点（0，f（0）处的切线方程； (2)求函数f(x)在区间上的最大值和最小值建桥寻突破看到求曲线的切线方程，想到利用导数的几何意义求切线的斜率，再确定切线方程看到求函数f(x)在区间上的最大值和最小值，想到利用导数研究函数在给定区间上的单调性，得出最值.规范解答(1)因为f(x)excos xx，所以f(x)ex(cos xsin x)1，2分又因为f(0)1，f(0)0，3分所以曲线yf(x)在点(0，f(0)处的切线方程为y1.4分(2)设h(x)ex(cos xsin x)1，则h(x)ex(cos xsin xsin xcos x)2exsin x6分当x时，h(x)0，7分所以h(x)在区间上单调递减.8分所以对任意x有h(x)h(0)0，即f(x)0，9分所以函数f(x)在区间上单调递减，10分因此f(x)在区间上的最大值为f(0)1，11分最小值为f.12分评分标准有正确的求导式子得2分；得出f(0)0得1分；写出切线方程y1得1分；对新函数h(x)ex(cos xsin x)1求导正确得2分求导出错不得分；得出x时，h(x)0得1分；正确判断出函数h(x)的单调性得1分；得出f(x)0得1分；判断出函数f(x)在区间的单调性得1分；求出最大值得1分；求出最小值得1分.解题点津(1)牢记求导法则，正确求导：在函数与导数类解答题中，通常会涉及求导，正确的求导是解题关键，因此要牢记求导公式，做到正确求导，如本题第(1)问就涉及对函数的求导(2)注意利用第(1)问的结果：在题设条件下，如果第(1)问的结果第(2)问能用得上，可以直接用，有些题目不用第(1)问的结果甚至无法解决，如本题即是在第(1)问的基础上求解.核心素养导数的几何意义、函数的单调性、极值与最值的综合问题以函数为载体，以导数为解题工具，主要考查函数的单调性、极值、最值问题的求法主要考查“数学运算”的核心素养.类型二函数、导数与不等式 (12分)已知函数f(x)ln xax2(2a1)x.(1)(2)当a0时，证明建桥寻突破看到讨论f(x)的单调性，想到先确定函数的定义域，然后对函数f(x)进行求导看到f(x)2成立，想到利用导数求函数的最大值.规范解答(1)f(x)(x0)，2分当a0时，f(x)0，则f(x)在(0，)上单调递增，4分当a0时，则f(x)在上单调递增，在上单调递减.6分(2)由(1)知，当a0时，f(x)maxf，7分fln 1，令yln t1t，令y10，解得t1，8分所以y在(0，1)上单调递增，在(1，)上单调递减，9分所以ymaxy(1)0，所以y0，10分即f(x)max，所以f(x)2.12分评分标准正确求导并写出函数的定义域得2分；讨论当a0时，f(x)的单调性，正确得2分；讨论当a0时，f(x)的单调性，正确得2分；写出f(x)maxf得1分；构造函数yln t1t，并正确求导解