三角形的全等和角的平分线.doc

三角形的全等判定（ASA、AAS、SSS、HL）和角的平分线例题精讲与同步练习本周的内容：三角形的全等判定（ASA、AAS、SSS、HL）和角的平分线一、 本周的重点是三角形全等的判定； 难点是角平分线性质定理及其逆定理1. 证明三角形全等的思路由于证明三角形全等的方法较多，因此证明两个三角形全等的思路与其他证明题目的思咱有所不同，它不是先想用什么方法去证，而是先分析条件，观察待证全等的两个三角形中，已经具备了哪些条件，然后以其为基础，观察其他需要的条件，最后证出需要的条件。例如：易得两边对应相等，则应再找，在（1）（2）中证出一个条件，则可以证出三角形的全等。2. 全等三角形的应用（1） 证明线段或角相等，通常先观察要证明的线段或角分布在怎样的两个可能全等的三角形中，再分析这两个三角形全等已经有什么条件，还缺少什么条件，最后证出所缺条件。（2） 添辅助线构造全等三角形常见的辅助线有：题中有三角形中线的条件时，常作如下辅助线：如下图，ABC中，BD=DC，延长AD到E，使DE=AD，连结CD或BE。则有结论CDEBDA或BDECDA题中有三角形角平分线的条件时，常作如下辅助线：如图(1)，1=2，ABAC，则在AB上截取AE=AC，连结DE，必有结论ADEADC.如图(2)，若延长AC到F，使AF=AB，连结DF，必有结论ADFADB.如图(3)，若作DEAB于E，DFAC于F，必有结论DE=DF.3. 角的平分线（1）定理：在角的平分线上的点到这个角的两边的距离相等；（2）逆定理：到一个角的两边的距离相等的点，在这个角的平分线上。这两个定理是两个能简化证明过程的定理，如果没有这两个定理，它们所得出的结论，可以通过全等三角形得到。学生在碰到能运用这两个定理的题时，往往会习惯性地还是用全等的方法来进行证明，应当有意识地加强训练，加深对这两个定理的印象。4. 逆命题的制造：如果把一个命题的题设和结论交换位置，便得到这个命题的逆命题。在调换时要特别注意，许多命题都有个大前提，而在交换题设与结论时，大前提是不参加交换的。例如：此题易误认为逆命题是“对应角相等的三角形是全等三角形”。因为只有当两个三角形全等时，才会有“对应角”的概念，而“全等三角形”是结论，并不是已知条件。所以不能在逆命题的题设中出现“对应角”的概念。此外：在书写逆命题时还要注意语言通顺。二、 例题分析例1 已知：如图，1=2，ABC=DCB。求证：AB=DC。分析：要证AB=DC，只需证明ABCDCB。证明：1= 2，ABC= DCB，ABC1=DCB2DBC= ACB在ABC和DCB中：ABC DCB（ASA）AB=DC说明：证明线段或角相等时，常归结到线段或角所在的三角形的全等上，这是三角形全等判断的一种应用。本例要证明AB=DC，以它们所在的三角形全等为证明的手段，就是这种应用的一个例子。例2 已知：如图，AB=DC，AE=DF，CE=FB，求证：AF=DE。分析：要证AF=DE，可证AFB与DEC全等，但还缺少相关角相等的条件，所以先证AEB与DFC全等。证明：CE=FBCE+EF=FB+EF，即：CF=BE在AEB和DFC中：AEB DFC（SSS）B= C在AFB和DEC中：AFB DEC（SAS）AF=DE本例是一个通过两次全等才能得到结论的题目，第一次全等的证明为第二次全等的证明创造必要的条件。例3 已知：如图，AD为ABC的高，E为AC上一点，BE交AD于F，且有BF=AC，FD=CD，求证：BEAC。分析：本题考察“HL”公理的应用。要证BEAC，可证C+1=90，而2+1=90，只需证2=C。从而转化为证明它们所在的BDF与ADC全等，而这由“HL”公理不难得证。证明：ADBCBDA=ADC=901+2=90在RtBDF和RtADC中RtBDFRtADC（HL）2=C1+C=90BEC=90BEAC例4 已知：如图，AB=DE，BC=EF，CD=FA，A= D。求证：B= E。分析：要证B=E，通常的思路是要证ABC DEF，但如果连结AC、DE就会破坏A=D的条件。因此应当另想他法。观察后不难发现：ABFDEC，于是可证ABF= DEC，进一步即可证明ABC= DEF证明：连结BF、CF、CE在ABF和DEC中ABF DEC（SAS）1= 2，BF=EC在BFC和ECF中BFC ECF（SSS）3= 41+3= 2+4，即：ABC= DEF如果直接证明线段或角相等比较困难时，可以将线段、角扩大（或缩小）或将线段、角分解为几部分，再分别证明扩大（或缩小）的量相等；或证明被分成的几部分对应相等，这是证明线段、角相等的一个常用手段。例5 已知：如图，ABC中，D是BC的中点，1=2，求证：AB=AC。分析：此题看起来简单，其实不然。题中虽然有三个条件（1= 2；BD=CD，AD=AD），但无法证明ABD ACD。因此一定要找到别的角相等才能证明这两个三角形全等，于是要利用角平分线来构造两个全等的三角形。证明：作DEAB于E，DFAC于F1= 2，DEAB于E，DFAC于FDE=DF（角平分线上的点到角的两边的距离相等）D是BC的中点BD=CDDEAB于E，DFAC于FBED=90，CFD=90在RtBDE和RtCDF中RtBDERtCDF（HL）BE=CF同理可证AE=AFAE+BE=AF+CF即AB=AC三、 练习题1、已知：如图，在ABC中，ACB=90，延长BC到D，使CD=CA，E是AC上一点，若CE=CB。求证：DEAB。2、如图，已知C=Rt，1=2，若BC=8，BD=5，求D到AB的距离。3、如图，ABC中，AD是A的平分线，E、F分别为AB、AC上的点，且EDF+BAF=180。求证：DE=DF。4、如图，在ABC中，ABC=2C，AD平分BAC交BC于D。求证：AB+BD=AC。练习题解答1、 证明：2=90，1+2=1801=2=90A+B=90在DEC和ABC中 DECABC（SAS）D=AD+B=90DFB=90DEAB2、 本题考察角平分线的性质定理解：过D作DEAB于E1=2，DEAB，CDCADE=DCBC=8，BD=5DC=BCBD=85=3DE=33、 证明：作DGAB于G，DHAC于HAD平分A，DGAB，DHACDG=DHEGD=FHD=901+2+3+ADH=180 即：BAF+GDH=180又EDF+BAF=180EDF=GDHEDFGDF=GDHGDF，即：EDG=FDH在DGE和DHF中DGEDHF（ASA） DE=DH4、