高三一轮复习专题：数列通项公式与求和方法总结

总结方法 领悟思想 感受成功 青岛二中分校 2017 10 23 思想启发 尝试推导特殊数列有关的公式 性质 结论是掌握并灵活应用它们的最好方法 1 专题一 数列通项公式的求法详解 八种方法 专题一 数列通项公式的求法详解 八种方法 一 一 观察法观察法 关键是找出各项与项数 n 的关系 例例 1 根据数列的前 4 项 写出它的一个通项公式 1 9 99 999 9999 2 3 4 17 16 4 10 9 3 5 4 2 2 1 1 5 2 2 1 3 2 1 5 4 4 3 3 2 2 1 答案 答案 1 2 3 4 110 n n a 1 2 2 n n nan 1 2 n an 1 1 1 n n a n n 二 二 公式法公式法 公式法公式法 1 特殊数列 特殊数列 例例 2 已知数列 an 是公差为 d 的等差数列 数列 bn 是公比为 q 的 q R 且 q 1 的等比数列 若函数 f x x 1 2 且 a1 f d 1 a3 f d 1 b1 f q 1 b3 f q 1 1 求数列 a n 和 b n 的通项公式 答案 an a1 n 1 d 2 n 1 bn b qn 1 4 2 n 1 例例 3 等差数列是递减数列 且 48 12 则数列的通项公式是 n a 432 aaa 432 aaa A B C D D 122 nan42 nan122 nan102 nan 例例 4 已知等比数列的首项 公比 设数列的通项为 求数列的通 n a1 1 a10 q n b 21 nnn aab n b 项 公式 简析简析 由题意 又是等比数列 公比为 故数列是等 321 nnn aab n aqq aa aa b b nn nn n n 21 321 n b 比数列 易得 点评 当数列为等差或等比数列时 可直接利用等差或等比数列的通项公 1 1 1 qqqqqb nn n 式 只需求首项及公差公比 公式法公式法 2 知知利用公式利用公式 n s 2 1 1 1 nSS ns a nn n 例例 5 5 已知下列两数列的前 n 项和 sn的公式 求的通项公式 1 2 n a n a 1 3 nnSn 1 2 nsn 答案 1 3 2 点评 先分 n 1 和两种情况 然后验证能否统 n a23 2 nn 2 12 1 0 nn n an2 n 一 三 累加法累加法 型如的地退关系递推关系 1 nfaa nn 简析简析 已知 其中 f n 可以是关于 n 的一次 二次函数 指数函数 分式函数 求通项aa 1 1 nfaa nn n a 若 f n 是关于 n 的一次函数 累加后可转化为等差数列求和 若 f n 是关于 n 的指数函数 累加后可转化为 等比数列求和 若 f n 是关于 n 的二次函数 累加后可分组求和 若 f n 是关于 n 的分式函数 累加后可裂项 求和各式相加得 例例 5 已知数列 6 9 14 21 30 求此数列的一个通项 答案 总结方法 领悟思想 感受成功 青岛二中分校 2017 10 23 思想启发 尝试推导特殊数列有关的公式 性质 结论是掌握并灵活应用它们的最好方法 2 5 2 Nnnan 例例 6 若在数列中 求通项 答案 n a3 1 a n nn aa2 1 n a n a12 n 例例 7 已知数列满足 求此数列的通项公式 答案 n a3 1 a 2 1 1 1 n nn aa nn n an 1 2 四 累积法四 累积法 形如 n 型型 1 n af n a 1 当 f n 为常数 即 其中 q 是不为 0 的常数 此时数列为等比数列 q a a n n 1 n a 1 1 n qa 2 当 f n 为 n 的函数时 用累乘法 例例 8 在数列 中 1 n 1 n 求的表达式 n a 1 a 1 n a n a n a 例例 9 已知数列中 前项和与的关系是 试求通项公式 n a 3 1 1 an n S n a nn annS 12 n a 答案 思考题思考题 1 1 已知 求数列 an 的通项公式 12 12 1 nn an1 1 11 annaa nn 分析分析 原式化为 若令 则问题进一步转化为形式 累积得解 1 1 1 nn ana1 nn ab nn nbb 1 五 构造特殊数列法五 构造特殊数列法 构造构造 1 形如形如 其中其中 型型 1 若 c 1 时 数列 为等差数列 2 若 d 0 时 0 1 cdcaa nn aa 1n a 数列 为等比数列 3 若时 数列 为线性递推数列 其通项可通过待定系数法构造 n a01 且dc n a 等比数列来求 方法如下 方法如下 设 得 与题设比较系数得 1 nn aca 1 1 ccaa nn 1 dcaa nn 0 1 c c d 所以 即构成以为首项 以 c 为公比的等比数列 1 1 1 c d ac c d a nn 1c d an 1 1 c d a 例例 10 已知数的递推关系为 且求通项 答案 n a12 1 nn aa1 1 a n a 12 n n a 构造构造 2 相邻项的差为特殊数列 相邻项的差为特殊数列 例例 11 在数列中 求 提示 变为 n a1 1 a2 2 a nnn aaa 3 1 3 2 12 n a 3 1 112nnnn aaaa 构造构造 3 倒数为特殊数列 倒数为特殊数列 形如形如 sra pa a n n n 1 1 例例 12 已知数列 中且 求数列的通项公式 答案 n a1 1 a 1 1 n n n a a aNn 总结方法 领悟思想 感受成功 青岛二中分校 2017 10 23 思想启发 尝试推导特殊数列有关的公式 性质 结论是掌握并灵活应用它们的最好方法 3 nb a n n 11 六 待定系数法 六 待定系数法 例例 13 设数列的各项是一个等差数列与一个等比数列对应项的和 若 c1 2 c2 4 c3 7 c4 12 求通项公式 n c cn 解析解析 设 建立方程组 解得 1 1 n n bqdnac 点评点评 用待定系数法解题时 常先假定通项公式或前 n 项和公式为某一多项式 一般地 若数列为等差数列 n a 则 b 为常数 若数列为等比数列 则 cbnan cnbnsn 2 n a 1 n n Aqa 1 0 qAqAAqs n n 七 迭代法七 迭代法 一般是递推关系含有的项数较多一般是递推关系含有的项数较多 例例 14 1 数列 满足 且 求数列 an 的通项公式 n a0 1 a 1 2 121 naaaa nn 解析 由题得解析 由题得 时 时 1 2 121 naaaa nn 2 n 2 2 121 naaa n 由由 得得 2 2 数列 满足 且 求数列 an 的通项公式 2 2 1 0 n n an n a1 1 a 2 121 naaaa nn 3 3 已知数列中 求通项 n a 2 1 2 1 2 11 nn aaa n a 八 八 讨论法讨论法 了解了解 1 1 若 d 为常数 则数列 为 等和数列 它是一个周期数列 周期为daa nn 1n a 其通项分为奇数项和偶数项来讨论 2 2 形如形如型型 若 p 为常数 则数列 为 1 nfaa nn paa nn 1n a 等 积数列 它是一个周期数列 周期为 2 其通项分奇数项和偶数项来讨论 若 f n 为 n 的函数 非常数 时 可 通过逐差法得 两式相除后 分奇偶项来分求通项 1 1 nfaa nn 例例 1515 数列 满足 求数列 an 的通项公式 n a0 1 a2 1 nn aa 专题二 数列求和方法详解 六种方法 专题二 数列求和方法详解 六种方法 一 公式法一 公式法 1 等差数列求和公式 d nn na aanaanaan S nnn n 2 1 2 2 2 1 23121 2 等比数列求和公式 1 11 1 1 11 1 q q qaa q qa qna S n n n 例例 1 已知 求的前 n 项和 答案 3log 1 log 2 3 x n xxxx 32 x xx s n n 1 1 总结方法 领悟思想 感受成功 青岛二中分校 2017 10 23 思想启发 尝试推导特殊数列有关的公式 性质 结论是掌握并灵活应用它们的最好方法 4 例例 2 设 Sn 1 2 3 n n N 求的最大值 答案 n 8 时 1 32 n n Sn S nf 50 1 max nf 二 错位相减法二 错位相减法 方法简介方法简介 此法是在推导等比数列的前 n 项和公式时所用的方法 这种方法主要用于求数列 an bn 的前 n 项 和 其中 an bn 分别是等差数列和等比数列 例例 3 求和 132 12 7531 n n xnxxxS1 x 解析解析 由题可知 的通项是等差数列 2n 1 的通项与等比数列 的通项之积 1 12 n xn 1 n x 设 n n xnxxxxxS 12 7531 432 得 错位相减 再利用等比数列 nn n xnxxxxxSx 12 222221 1 1432 的求和公式得 n n n xn x x xSx 12 1 1 21 1 1 2 1 1 1 12 12 x xxnxn S nn n 试一试试一试 1 求数列前 n 项的和 答案 2 2 2 6 2 4 2 2 32n n 1 2 2 4 n n n S 三 倒序相加法三 倒序相加法 方法简介方法简介 这是推导等差数列的前 n 项和公式时所用的方法 就是将一个数列倒过来排列 反序 再把它与 原数列相加 就可以得到 n 个 然后再除以 2 得解 1n aa 例例 4 求的值 答案 S 44 5 89sin88sin3sin2sin1sin 22222 四 分组法求和四 分组法求和 方法简介方法简介 有一类数列 既不是等差数列 也不是等比数列 若将这类数列适当拆开 可分为几个等差 等比 或常见的数列 然后分别求和 再将其合并即可 一般分两步 找通向项公式 由通项公式确定如何分组 例例 5 求数列的前 n 项和 答案 23 1 7 1 4 1 11 12 n aaa n 2 13 1 1 nn a aa s n n 试一试试一试 1 求之和 简析简析 由于与 分别求和 1 1111111111 个n n k kk a 110 9 1 9999 9 1 1111 11 个个 五 裂项法求和五 裂项法求和 方法简介方法简介 这是分解与组合思想在数列求和中的具体应用 裂项法的实质是将数列中的每项 通项 分解 然 后重新组合 使之能消去一些项 最终达到求和的目的 通项分解 裂项及分母有理化 如 1 2 3 1 nfnfan 1 1 nn annn 1 nn nn tan 1tan 1cos cos 1sin 4 1 11 1 1 nnnn an 总结方法 领悟思想 感受成功 青岛二中分校 2017 10 23 思想启发 尝试推导特殊数列有关的公式 性质 结论是掌握并灵活应用它们的最好方法 5 5 12 1 12 1 2 1 1 12 12 2 2 nnnn n an 例例 6 求数列的前 n 项和 2 1 42 1 31 1 nn 例例 7 在数列 an 中 又 求数列 bn 的前 n 项的和 11 2 1 1 n n nn an 1 2 nn n aa b 试一试试一试 1 已知数列 an 求前 n 项和 试一试试一试 2 3 1 8 nn an 100321 1