第七章 解析几何

第 1 页 共 52 页 第七章 解析几何 本章知识感知 内容概述 本章主要学习有关直线和圆的知识 培养并提高学生的逻辑思维能力 提高学生思维品质 推理能力 通过本章知识的学习 要达到 1 理解直线的斜率和倾斜角的概念 过两点的直线的斜率的计算公式 2 掌握直线的方程的几种形式 会根据已知条件选择恰当的形式表示直线 两点间的距离 公式 点到直线的距离公式 会求两条平行线间的距离 根据斜率判定两直线的平行或垂直关 系 会求两直线的交点坐标 3 掌握圆的标准方程与一般方程的概念 会根据条件选择恰当的形式求圆的方程 能根据 给定直线与圆的方程 判断直线与圆 圆与圆的位置关系 知识网络 直线 直线方程 的一般式 两直线位置关系 1 l 11 yk xb 2 l 22 yk xb 平行于坐标轴 的直线方程 平行于轴x yb 平行于轴y xa 直线方程的 几种形式 点斜式 斜截式 两点式 截距式 垂直k1k2 1 平行k1 k2 相交 k1 k2 求交点 点到直线的 距离公式 圆的方程 标准方程 222 xaybr 一般方程 22 0 xyDxEyF 22 40 DEF 直线与圆的位置关系 圆与圆的位置关系 相交 相切 相离 相离 相交 外切 内切 内含 第 2 页 共 52 页 1 平面内两点间的距离 导引 1 平面内两点间的距离 已知平面内任意两点 则平面内两点间的距离公式 2211 yxByxA 2 21 2 21 yyxxAB 导学 例 1 在平面直角坐标系中 已知 求 5 3 2 1 BA AB 金钥匙 根据平面内两点间的距离公式有 53 52 31 22 AB 点金术 根据平面内两点间的距离公式 2 21 2 21 yyxxAB 试金石 在平面直角坐标系中 已知 求 1 2 4 3 QP PQ 例 2 在平面直角坐标系中 已知点 且 求的值 5 1 1 bQP 10 PQb 金钥匙 根据平面内两点间的距离公式有 解得10 1 5 1 22 bPQ97 bb或 点金术 根据平面内两点间的距离公式 2 21 2 21 yyxxAB 试金石 已知 且 求的值 3 1 2 yBA 6 ABy 例 3 已知三角形的三个顶点 试判断的形ABC 13 1 0 1 0 22 ABC ABC 状 金钥匙 22 1 1 02 AB 第 3 页 共 52 页 22 13 1 0 1 22 BC 22 13 1 0 3 22 AC 222 ACBCAB 为直角三角形 ABC 点金术 计算三边的长 可得直角三角形 试金石 已知构成平行四边形 求 4 2 2 3 1 1 2 xDCBA x 导练 一 选择题 1 已知点 则的长 3 0 3 0 BA 8 6 P A 6 B 9 C 3 D 23 2 已知点 则的长 10 8 4 4 BA AB A B C D 125665532 二 填空题 3 已知点 则 10 0 5 BaA 17 AB a 4 已知 点在轴上 若 则点的坐标 6 0 ABx6 ABO SB 三 解答题 5 已知 且为等腰三角形 求实数的值 5 2 1 1 2 yCBA ABC y 6 已知平行四边形中 求的值 ABCD 4 2 2 3 1 1 2 xDCBA x 第 4 页 共 52 页 7 已知中 求证 为直角三角形 ABC 7 6 3 2 5 7 CBAABC 2 直线的倾斜角和斜率 导引 1 直线的倾斜角 设 是直角坐标系中一条与轴相交的直线 轴绕着交点按逆时针方向旋转到与直线lxx 重 合时所转的最小正角记为 那么就叫做直线的倾斜角 2 直线的倾斜角范围 0 180 直线与轴平行时 倾斜角规定为 0 x 3 直线的斜率 把直线倾斜角的正切值叫做直线的斜率 直线的斜率通常用表示 即 90 o kk tan 90 任何一条直线都有倾斜角 但不是所有的直线都有斜率 4 倾斜角与斜率之间的关系 k 1 当 0 即直线与 y 轴垂直时 0 k 2 当 0 90 时 即直线的倾斜角为锐角时 0 k 3 当 90 180 时 即直线的倾斜角是钝角时 0 k 4 当 90 时 即直线与 x 轴垂直时 斜率 k 不存在 反之 不存在 则 90 k 5 斜率公式 平面上经过两点 的直线 的斜率为 则 11 yxA 22 yxB 21 xx lk 12 12 xx yy k 21 xx 当时 直线 垂直于 x 轴 平行于轴 直线 的斜率不存在 21 xx lyl 导学 第 5 页 共 52 页 例 1 已知直线的倾斜角 求直线的斜率 1 0 2 60 金钥匙 1 tan0 0 倾斜角为 0 的直线的斜率为 0 2 tan60 倾斜角为 60 的直线的斜率为 33 点金术 由直线的倾斜角和斜率的关系求 试金石 已知直线的倾斜角 求直线的斜率 1 90 2 4 3 例 2 求经过A 2 0 B 5 3 两点的直线的斜率和倾斜角 金钥匙 解 就是 1 2 5 03 k1tan 又 0180 135 所以 该直线的斜率是 倾斜角是 1 135 点金术 通过斜率公式求斜率 并根据斜率求直线的倾斜角 试金石 求过下列两点的直线的斜率及倾斜角 k 1 2 3 1 2 3 P 2 2 8 P 1 5 2 P 2 2 2 P 1 3 2 P 2 3 4 P 例 3 若三点在同一条直线上 求的值 2 3 3 2 2 1 CBmAm 金钥匙 因为在一条直线上 所以 2 3 3 2 2 1 CBmA BCAB kk 即 解得 2 3 32 2 1 2 3 m 2 1 m 点金术 应用三点共线斜率相等 试金石 已知三点 A a 2 B 3 7 C 2 9a 在一条直线上 求实数 a 的值 第 6 页 共 52 页 导练 一 选择题 1 下列命题中 正确的命题是 A 直线的倾斜角为 则此直线的斜率为 tan B 直线的斜率为 tan 则此直线的倾斜角为 C 任何一条直线都有倾斜角 但不是每一条直线都存在斜率 D 直线的斜率为 0 则此直线的倾斜角为 0 或 2 若直线 l 经过原点和点 3 3 则直线 l 的倾斜角为 A 4 B C 4 或 D 4 5 4 5 4 3 已知直线 l 的倾斜角为 若 cos 5 4 则直线 l 的斜率为 A 4 3 B 3 4 C 4 3 D 3 4 二 填空题 4 过点 M 2 a N a 4 的直线的斜率为 2 1 则 a 5 过点 A 2 b 和点 B 3 2 的直线的倾斜角为 4 3 则 b 6 已知点 P 3 2 点 Q 在 x 轴上 若直线 PQ 的倾斜角为 150 则点 Q 的坐标为 三 解答题 7 已知三点 A 2 3 B 4 3 C 5 在同一直线上 求 m 的值 2 m 8 经过点 A 1 t 1 t 和点 B 3 2t 的直线的倾斜角为钝角 求实数 t 的取值范围 9 已知四条直线 l1 l2 l3 l4 它们的倾斜角之比依次为 1 2 3 4 若 l2的斜率为 4 3 求 其余三条直线的斜率 第 7 页 共 52 页 3 平面直线的方程 1 导引 1 直线的点斜式方程 已知直线过点 且斜率为 k 则直线的点斜式方程为 00 yxP 00 xxkyy 导学 例 1 一条直线经过点P1 2 3 倾斜角 45 求这条直线方程 金钥匙 这条直线经过点P1 2 3 斜率是 145tan k 代入点斜式方程 得 05 23 yxxy即 点金术 已知直线上一点和直线的斜率 或倾斜角 用直线方程的点斜式 试金石 求满足下列条件的直线方程 1 过点 斜率为 2 过原点 斜率为 1 3 A 2 1 3 3 例 2 已知直线 l 经过两点 P1 1 2 P2 3 5 求直线 l 的方程 金钥匙 因为 P1 1 2 P2 3 5 在直线上 所以 k 由点斜式得 2 3 13 25 y 2 x 1 得 2 3 2 1 2 3 xy 点金术 直线两点坐标已知 所以可根据斜率公式求出过两点的直线斜率 然后再将求 出 的直线斜率与点P1坐标代入点斜式 即可获得所求直线方程 试金石 求经过下列两点的直线程 1 P1 2 1 P2 0 3 2 A 0 5 B 5 0 3 C 5 D 0 0 第 8 页 共 52 页 例 3 已知直线过点 其倾斜角满足 求直线方程 3 1 M 5 4 cos 金钥匙 由题知 直线的倾斜角满足 为锐角 5 4 cos 所以 直线的斜率 5 3 cos1sin 2 4 3 cos sin tan k 所以直线方程为 化简得 1 4 3 3 xy 4 5 4 3 xy 点金术 关键是求出直线的斜率 试金石 一条直线和 y 轴相交于点 P 0 2 它的倾斜角的正弦是 求直线方程 5 4 导练 一 选择题 1 直线的倾斜角为 0533 yx A B C D 3 2 6 5 3 6 2 若直线的倾斜角的范围是 则的范围是 04 2 yxm 2 m A B C D 2 m2 m2 m2 m 3 方程表示 2 yk x A 通过点 的所有直线 B 通过点的所有直线 2 0 2 0 C 通过点且不垂直于轴的直线 D 通过点且除去轴的直线 2 0 x 2 0 x 二 填空题 第 9 页 共 52 页 4 已知直线 经过点和 则直线 的倾斜角 直线l 1 3 A 2 3 Bl 的方程为 l 5 已知 则的 AC 边上中线所在的直线方程是 8 2 A 0 4 B 0 6 CABC 三 解答题 6 写出下列直线的点斜式方程 1 经过点 斜率为 2 1 A 2 2 经过点 倾斜角为 2 2 B 30 3 经过点 倾斜角是 0 3 C0 4 经过点 倾斜角是 4 2 D 120 7 一直线与轴交于点 其倾斜角的正弦满足方程 求直线的方程 y 4 0 P0376 2 xx 8 已知直线 经过点 且它的倾斜角是直线 的一半 求直线 的方程 l 2 1 1 l32yx l 4 平面直线的方程 2 导引 1 截距 直线 与轴交点 与轴交点 称为直线 在轴上的截距 称为直线lx 0 ay 0 balxb 第 10 页 共 52 页 在轴上的截距 截距可以大于 也可以等于或小于 ly00 2 直线的斜截式方程 由直线的斜率及在轴上的截距而导出的方程 叫直线的斜截式方程 即 kyb bkxy 3 直线的截距式方程 由直线在轴上的截距和在轴上的截距表示的方程 xayb1 b y a x 0 0 ba 叫做直线的斜截式方程 4 直线方程的一般式 形如 不同时为 0 的二元一次方程叫做直线方程的一般0 CByAxBA 式 导学 例 1 根据下列条件 求直线的方程 1 斜率是 在轴上的截距是 5 2 y3 2 斜率是 与轴交点坐标为 3 x 2 0 3 在轴上 轴上的截距分别是 2 xy3 金钥匙 1 由直线的斜截式方程 得所求的直线方程为 5 3 2 yx 2 由直线的斜率是 3 直线上的点为 2 0 根据直线方程的点斜式 得 所求直线方程为 化简得所求直线方程为 2 30 xy36yx 3 由直线方程的截距式方程 得所求直线方程为 1 23 xy 点金术 根据题中的条件准确的判断出运用直线方程的哪一种形式 试金石 求满足下列条件的直线方程 1 倾斜角为 在轴上的截距为 3 3 2 y 2 与轴交于点 0 4 斜率为 1 y 3 直线过点 3 0 在轴上的截距为 2 y 第 11 页 共 52 页 例 2 已知直线过点 斜率为 求该直线的点斜式和一般式方程及截距式方 6 4 A 4 3 程 金钥匙 经过点且斜率的直线方程的点斜式 6 4 A 4 3 4 4 6 3 yx 化成一般式 得 43120 xy 化成截距式 得 1 34 xy 点金术 掌握直线方程的每一种形式的特点 并要灵活的转换 试金石 已知直线 的倾斜角为 在轴上的截距为 求直线 的点斜式 截距l60 y4 l 式 斜截式和一般式方程 例 3 设直线根据下列条件分别确定 2 23 lmmx 2 21 mmy 260m 1 m 的值 m 1 直线 在 轴上的截距为 2 直线 的斜率为 lx3 l1 金钥匙 1 令 得 由题知 0y 2 26 23 m x mm 2 26 3 23 m mm 解得 3 5 m 2 直线 的斜率为 解得 l 2 2 23 21 mm k mm 2 2 23 1 21 mm mm 4 3 m 点金术 题设中涉及到了直线在两坐标轴上的截距 但应注意到截距能否为零 这是应 用截距式求直线方程最易出错和疏忽的地方 试金石 设直线 的方程为 根据下列条l 0621232 22 mymmxmm 件求的值 m 2 直线 的斜率为 直线 经过定点 ll 1 1 P 第 12 页 共 52 页 导练 一 选择题 1 直线的截距式方程为 324xy A B C D 3 1 42 xy 1 11 32 xy 1 4 2 3 xy 3 1 42 xy 2 直线在轴 轴上的截距分别是 236xy xy A 3 2 B C D 3 2 3 2 3 2 3 经过点且在两坐标轴上截距相等的直线方程是 3 4 A B 10 xy 10 xy C D 或430 xy 430 xy 10 xy 4 直线通过第二 三 四象限 则系数需满足条件 0AxByC A B C A 同号 B A B C0 0ACBC C D 0 0CAB 0 0ABC 二 填空题 5 直线的倾斜角为 则的值为 22 252 4 50aaxaya 45 a 6 1 经过点 且倾斜角为的直线方程是 2 4 P60 2 倾斜角为 在轴上的截距为的直线方程是 150 y2 三 解答题 7 已知直线 经过点 且它的倾斜角是直线 的一半 求直线 的方l 2 1 1 l32yx l 程 第 13 页 共 52 页 8 求过点且在坐标轴上的截距相等的直线方程 3 4 9 已知直线 的斜率为 且与坐标轴所围成的三角形的面积为 求直线 的方程 l 3 4 6l 5 两条直线平行 导引 1 两条直线平行 两条直线平行两条直线的倾斜角相同 两条直线的斜率 如果有 21 l l 21 k k 意义 相等 即 都存在 21 l l 21 kk 21 k k 2 两条直线 和直线 其中 1 l0 111 CyBxA 2 l0 222 CyBxA 不为 0 222111 CBACBA 第 14 页 共 52 页 1 若 或 111 12 222 ABC ll ABC 1221 BABA 2 若与重合 1 l 2 l 111 222 ABC ABC 3 若与斜率都不存在 则与平行或重合 1 l 2 l 1 l 2 l 4 与直线 平行的直线可设为 l0 CByAx0 mByAxCm 导学 例 1 已知直线方程 证明 1 l 0742 yx 2 l052 yx 1 l 2 l 金钥匙 证明 把和的方程写成斜截式 1 l 2 l 1 l 4 7 2 1 xy 1 l 2 5 2 1 xy 21 kk 21 bb 1 l 2 l 点金术 在两条直线斜率都存在的情况下 若要证明两直线平行 即证斜率相等 试金石 判断下列各组直线的位置关系 1 1 l 054 yx 2 l54 yx 2 1 l 012 yx 2 l363 yx 例 2 若直线 与 互相平行 求的值 1 l013 yax 2 l01 1 2 yaxa 金钥匙 解 因为 平行 所以有 1 l 2 l 1 1 1 3 2 a a 解得或 2 a3 a 当时 两直线重合 所以 舍去 2 a 1 1 1 3 2 a a 2 a 综上知3 a 点金术 已知两直线的位置关系 求字母系数值的方法 但是要注意验证直线是否重合 第 15 页 共 52 页 试金石 若直线与直线平行 求的值 2 23 1yaax 7 4yax a 例 3 求过点 且与直线平行的直线方程 2 3 A 250 xy 金钥匙 方法 一 已知直线的斜率 2k 两直线平行 所求直线的斜率也为 2k 所以 所求直线的方程为 即 32 2 yx 210 xy 方法 二 设与直线平行的直线 的方程为 250 xy l20 xym 过点 解之得 l 2 3 A 2 2 3 10m 1m 所以 所求直线的方程为 210 xy 点金术 与直线平行的直线方程可设为 其中待0 CByAx0 mByAxm 定 试金石 求平行于直线 且在轴上截距为的直线方程 38250 xy y2 导练 一 选择题 1 若过两点和的直线与直线平行 则的值为 6 Pm 3 Q m250 xy m A 5 B 4 C 9 D 0 2 直线和平行的条件 0mxyn 10 xmy A B C D 或1m 1m 1 1 m n 1 1 m n 1 1 m n 第 16 页 共 52 页 3 直线和直线互相平行 则的值为 1 30lxay 2 l 2 ax 30ya a A 1 或 3 B 3 或 1 C 1 D 3 二 填空题 4 根据条件 判断直线与是否平行 1 l 2 l 的方程 经过点 1 l21yx 2 l 1 2 A 4 8 B 的斜率为 在轴 轴的截距分别是 和 1 l 1 2 2 lxy 3 和 1 l20 xykkR 2 l51070 xy 三 解答题 5 求与直线平行且在两坐标轴上截距之和为的直线 的方程 3410 xy 7 3 l 6 已知直线 的方程为 求与直线 平行并且与两条坐标轴围成的三角形的l8610 xy l 面 积为 8 的直线方程 7 已知直线和 经过且 求实数 1 40lmxny 2 1 0lmxyn 1 l 1 1 12 ll 的值 m n 第 17 页 共 52 页 6 两条直线垂直 导引 1 两条直线垂直 设两条直线 的斜率都存在 且分别为 则 1 l 2 l 1 k 2 k 12 ll 2 1 1 k k 1 21 kk 2 两条直线 不全为 0 1 l 111 0AxB yC 2 l 222 0A xB yC 11 A B 也不全为 0 若 22 A B 12 ll 1212 0A AB B 导学 例 1 根据条件 判断直线与是否垂直 1 l 2 l 的倾斜角为 的方程是 1 l45 2 l1xy 经过点 过点 1 l 1 0 4 5 MN 2 l 6 0 1 3 RS 金钥匙 1 垂直 2 垂直 点金术 判断两条直线垂直利用或 1 21 kk 1212 0A AB B 试金石 下列各组直线中的是 12 ll 1 2 0 01 21 yxlyxl02 032 21 yxlyxl 3 4 3 2 3 5 3 2 21 x ylxyl01 05 21 ylxl 例 2 求过点且垂直于的直线 方程 3 2 A0223 yxl 金钥匙 已知直线的斜率为 所求直线 与之垂直0223 yx 2 3 1 kl 所以 的斜率为 l 3 21 1 k k 由点斜式的 的方程为 l0532 2 3 2 3 yxxy即 点金术 利用两条直线垂直的条件求出所求直线的斜率 试金石 求经过点 且与直线垂直的直线 的方程 2 1 2100 xy l 第 18 页 共 52 页 例 3 已知三角形的三个顶点为 2 4 A 1 2 B 2 3 C 求边上的高所在的直线方程 BCAD 金钥匙 直线的斜率为BC 3 2 5 2 13 BC k ADBC 3 5 AD k 根据点斜式 得到所求直线的方程为 即 3 4 2 5 yx 35140 xy 点金术 由和垂直 求出的斜率 利用直线的点斜式便可求出高所在BCADADAD 的直线方程 试金石 若三角形的一个顶点是 两条高所在的直线的方程为和 2 3 A230 xy 试求此三角形三边所在直线的方程 40 xy 导练 一 选择题 1 直线 x y 3 和直线x y 2 的位置关系是 23 32 相交不垂直 垂直 平行 重合ABCD 2 若直线和直线垂直 则满足 10axy 210 xby a b A20ab B20ab C20ab D20ab 二 填空题 2 A B C D 2 4 2 第 19 页 共 52 页 3 过原点作直线 的垂线 若垂足为 则直线 的方程是 l 2 3 l 4 直线 在轴上的截距为 2 且与直线垂直 则 的方程是 ly 320lxy l 5 直线的斜率为 直线经过点 且 则 1 l 4 3 2 l 2 3 2 0 1 A aBa 12 ll a 三 解答题 6 已知 求经过点且垂直于的方程 4 1 0 4 6 4 CBACAB 7 已知直线 当为何值时 1 2 3 50laxay 2 6 21 50lxay a 12 ll 8 原点在直线 上的射影是 求直线 的方程 l 2 1 P l 7 求相交直线的交点 导引 两条直线的方程分别是 1111 0lAxB yC 0 2222 CyBxAl 构成方程组 111 222 0 0 AxB yC A xB yC 的解 一组 无数组 无解 两直线相交 两直线重合 两直线平行 第 20 页 共 52 页 导学 例 1 判断下列直线是否相交 若相交 求出它们的交点坐标 1 1 l72 yx 2 l0723 yx 2 1 l0462 yx 2 l08124 yx 3 1 l0424 yx 2 l32 xy 金钥匙 1 因为方程组的解为 0723 072 yx yx 1 3 y x 因此直线相交 交点坐标为 12 ll和 13 2 方程组有无数组解 08124 0462 yx yx 这表明直线重合 21 ll 和 3 方程组无解 032 0424 yx yx 这表明直线没有公共点 故 21 ll 和 1 l 2 l 点金术 研究两条直线的位置关系 相交 重合 平行 可以转化为两条直线方程所 21 l l 得的方程组的解的个数问题 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 试金石 判断下列各组直线是否相交 若相交 求出交点坐标 1 1 l1034 yx 2 l102 yx 2 1 l72 yx 2 l124 yx 3 1 l0462 yx 2 l023 yx 例 2 直线 经过原点 且经过另外两条直线 的交点 求直l0832 yx01 yx 线 的方程 l 金钥匙 方法一 由两直线方程组成方程组 求出交点 再过 01 0832 yx yx 2 1 原点 由两点求直线方程为 0 0 xy2 方法二 设经过两条直线 交点的直线方程为 0832 yx01 yx 又过原点 由代入可求 得直线方程为 01832 yxyx 0 08 xy2 点金术 已知直线 相交 那么过两直线的交 1 l0 111 CyBxA 2 l0 222 CyBxA 点的直线方程可设为 0 222111 CyBxACyBxA R 试金石 求经过和的交点 且与直线垂直的直280 xy 30 xy 23100 xy 第 21 页 共 52 页 线方程 例 3 求证 不论为何实数 直线 恒过一定点 并求出此ml 1 21 5mxmym 定点的坐标 金钥匙 方法一 将直线 方程整理为l 1 21 5mxmym 该方程表示过直线和交点的直线 21 50 xymxy 210 xy 50 xy 由得交点 直线 过定点 210 50 xy xy 9 4 l 9 4 方法二 令得 得 两直线和交点为 1m 4y 1 2 m 9x 4y 9x 9 4 将代入直线方程得恒成立 所以 直线 过定点 9 4 99845mmm l 9 4 点金术 因为直线上点的坐标就是对应方程的解 所以两直线是否有交点 取决于它们对应方 程组成的方程组是否有唯一解 体验 形 的问题怎样通过 数 的运算来解决 从而感悟到解 析几何的本质 即用代数的方法来研究或解决几何问题 试金石 求证 不论为何实数 直线 恒过一定点 并ml 21 3 11 0mxmym 求出此定点的坐标 导练 一 选择题 1 直线与重合 则必有 111 0AxB yC 222 A xB yC 0 A B 121212 AA BB CC 111 222 ABC ABC 第 22 页 共 52 页 C 两直线斜率和截距都相等 D 121212 0 AmA BmB CmC mR m 2 下列直线中 与直线相交的直线是 230 xy A B C D 260 0 axaya 2yx 25yx 23yx 3 当取不同的实数时 直线恒过一个定点 定点的坐标是 a 1 210axya A B C D 2 3 2 3 1 1 2 2 0 二 填空题 4 已知点关于直线 的对称点为 则直线 的斜率为 1 3 Al 5 1 B l 5 如果两条直线和的交点在轴上 则的值为 230 xym 120 xmy ym 三 解答题 6 若三条直线 相交于一点 求实数的值 2380 xy 10 xy 0 xky k 7 求经过直线和的交点 且在两坐标轴上截距相等的直线方210 xy 2390 xy 程 8 已知过原点的直线 与两直线 交点的横坐标分别l 1 4 60lxy 2 3 560lxy 为 且 求直线 的方程 A x B x0 AB xx l 第 23 页 共 52 页 8 点到直线的距离 导引 1 点到直线的距离公式 点到直线 的距离 00 P xyl0 CByAx 00 22 AxByC d AB 注意 1 公式中的直线方程必须化为一般式 2 分子带绝对值 分母是根式 22 AB 3 当或时公式成立 0A 0B 导学 例 1 求点到下列直线的距离 2 1 P 1 2 0102 yx23 x 金钥匙 1 由点到直线的距离公式 得 22 12 102 1 2 d 5 10 52 2 因为直线平行于轴 所以 23 xy 1 3 2 d 3 5 点金术 本题 1 直接利用点到直线的距离公式即可得到相应的距离 2 可以运用公式 亦可利用该直线平行于轴的性质求解 0B y 试金石 求点到下列直线的距离 3 2 P 1 2 3 12 xy01 yx 3 2 y 例 2 求过点 且与原点的距离等于的直线方程 2 1 P 2 2 第 24 页 共 52 页 金钥匙 当直线斜率不存在时 方程为 不合题意 1 x 当直线斜率存在时 设方程为 2 1 yk x 即 由题意 20kxyk 2 2 1 2 2 k k 解得 或 所以 所求的直线方程为 1 k7 k 或 点金术 本题设直线方程时一定要先考虑直线的斜率是否存01 yx057 yx 在 再利用点到直线的距离 公式即可 体现数学思维的严密性与分类的思想 试金石 直线 过点 且与原点的距离等于 求直线 的方程 l 5 10 P5l 例 3 过点引一直线 使它与两点的距离相等 求直线 的方程 2 1 Pl 5 4 3 2 BAl 金钥匙 方法 一 设直线的方程为 即 1 2 xky02 kykx 因为直线与两点的距离相等 所以 5 4 3 2 BA 22 1 254 1 232 k kk k kk 解得或4 k 2 3 k 所以直线 的方程为l 2 7 2 3 64 xyxy或 方法 二 因为直线 与两点的距离相等 所以直线 与直线平行l 5 4 3 2 BAlAB 或直线 过的中点 所求直线的斜率l 5 4 3 2 BA 1 3 2 3 4 kk或 所以直线 的方程为 l 2 7 2 3 64 xyxy或 点金术 利用点到直线的距离公式或者是分类讨论的方法 试金石 求过点且与点距离相等的直线方程 1 2 P 3 7 1 3 BA和 导练 一 选择题 1 点到直线的距离 0 1 3460 xy 第 25 页 共 52 页 A B C D 2 5 3 5 9 5 2 2 的顶点坐标为 则的面积为 ABC 2 4 A 2 2 B 3 4 CABC A B C D 18191224 二 填空题 3 以 为顶点的三角形中边上的高等于 2 1 A 4 2 B 8 5 CBC 4 点到直线的距离等于 6 A a342xy 4a 5 直线上到点距离最近的点的坐标为 34270 xy 2 1 P 三 解答题 6 点到直线的距离不大于 3 求的取值范围 4 a134 yxa 7 直线 在两坐标轴上的截距相等 且到直线 的距离为 求直线 的方程 l 4 3 Pl3 2l 9 两条平行线间的距离 导引 1 两条平行直线间的距离 两条平行直线 则之间的距离是 0 11 CByAxl0 22 CByAxl 21 ll 与 运用公式时需注意两平行直线的系数相等 22 21 BA CC d yx 第 26 页 共 52 页 2 点关于直线 的对称l 关于直线 对称 则且到 的距离相等 baPbaP 与llPP PP与l 导学 例 1 求两条平行线和 之间的距离 043 yx0962 yx 金钥匙 方法 一 两条直线平行 所以 22 21 BA CC d 即 20 10 40 1 62 98 22 d 方法 二 在直线上任取一点 例如取 则点到直线043 yx 0 4 P 0 4 P 的距离就是两平行线之间的距离 0962 yxd 20 10 40 1 62 90642 22 d 点金术 方法 一 运用平行线间的距离公式 但需注意两条直线所对应的系数 方法 二 使我们通过点到直线的距离公式算出了平行直线间的距离 本题将所学的点到直线的距 离进行了灵活运用 试金石 直线 之间的距离为 1 l2340 xy 2 l4650 xy 例 2 若直线与直线平行且距离为 求直线的方程 1 l 2 l34200 xy 3 1 l 金钥匙 设所求直线方程为 由题意可得 340 xym 22 20 3 34 m 解得 或者 所以 所求的直线方程为 5m 35m 或 3450 xy 34350 xy 点金术 本题的关键是怎样设直线 充分利用了两条直线平行的性质 从而减少未知量 1 l 简化解题步骤 试金石 已知平行线与 求与它们等距离的平行线的方0332 yx0932 yx 程 例 3 求点关于直线的对称点的坐标 0 4 P02145 yx P 第 27 页 共 52 页 金钥匙 方法 一 设则 baP 解得 2222 45 2145 45 2145 1 4 5 4 0 ba a b 8 6 b a 所求的对称点为 8 6 P 方法 二 设 因为与关于直线对称 baP 0 4 P baP02145 yx 所以 1 1 4 5 PP k 且点与的中点在直线上 0 4 P baP 2 0 2 4 ba 02145 yx 所以 2 021 2 0 4 2 4 5 ba 解得 所求的对称点为 8 6 b a 8 6 P 点金术 点关于线对称问题 抓住直线为两点构成的线段的中垂线这一特征求解 试金石 求点关于直线的对称点的坐标 1 1 A03 yx A 导练 一 选择题 1 直线的距离为 0703 xx与 A 4 B 10 C 7 D 3 2 直线的距离为 023 013 21 yxlyxl与 A B C D 3 10 103 10 10 10 3 二 填空题 第 28 页 共 52 页 3 直线的距离为 023 022 21 yxlyaxl与 4 点与点 3 2 关于对称 则 1 ttPxy t 三 解答题 5 求与直线平行且距离为 1 的直线方程 0543 yxl 6 直线关于直线 的对称直线方程为 求直线 的方程 0123 yxl02 yxl 7 求点关于直线的对称点的坐标 1 7 A0 yxl A 10 圆的标准方程 导引 1 圆的标准方程 标准方程为 其中圆心坐标为 a b 半径为 r 222 xaybr 2 点与圆的位置关系 点到圆心的距离小于半径 点在圆内 点到圆心的距离等于半径 点在圆上 点的坐标满足圆的方程 点到圆心的距离大于半径 点在圆外 导学 例 1 分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径 22 2 3 7xy 第 29 页 共 52 页 22 5 4 18xy 22 1 3xy 22 144xy 22 4 4xy 金钥匙 解 1 圆心为 2 3 半径为 7 2 圆心为 5 4 半径为 3 圆心为 0 1 半径为 3 23 4 圆心为 0 0 半径为 12 4 圆心为 4 0 半径为 2 点金术 深刻地理解圆的标准方程的的概念 从圆的标准方程中确定圆心和半径 试金石 写出下列各圆的方程 圆心在原点 半径为 6 经过点 圆心为 6 3 P 2 2 C 例 2 写出圆心为 半径长为的圆的方程 并判断点 2 3 A 5 5 7 M 是否在这个圆上 5 1 N 求圆心是 且经过原点的圆的方程 2 3 C 金钥匙 解 圆心为 半径长为 2 3 A 5 该圆的标准方程为 22 2 3 25xy 把点代入方程的左边 5 7 M 右边 2222 52 73 3425 即点的坐标适合方程 5 7 M 点是这个圆上的点 5 7 M 把点的坐标代入方程的左边 5 1 N 22 52 1 3 134 525 即点坐标不适合圆的方程 5 1 N 点不在这个圆上 N 法一 圆的经过坐标原点 C 圆的半径为 C 22 20 30 r 22 2313 因此所求的圆的方程为 第 30 页 共 52 页 22 2 3 13xy 即 22 2 3 13xy 法二 圆心为 2 3 C 设圆的方程为 222 2 1 xyr 原点在圆上即原点的坐标满足圆方程 即 所以 222 02 0 1 r 2 13r 所求圆的标准方程为 22 2 3 13xy 点金术 本题巩固了对圆的标准方程的认识 第二小题的解题关键在于求出半径 这里 提供了两种方法 试金石 写出圆心为 半径长为的圆的方程 并判断点 5 6 A10 6 9 M 是否在这个圆上 3 3 N 5 3 Q 求圆心是 且经过点 2 4 的圆的方程 5 8 C 例 3 求以点为圆心 并且和轴相切的圆的方程 1 2 Ax 已知两点 求以线段为直径的圆的方程 4 9 P 6 3 QPQ 金钥匙 解 圆与轴相切x 该圆的半径即为圆心到轴的距离 1 2 Ax2 所以圆的标准方程为 22 1 2 4xy 为直径 PQ 的中点为该圆的圆心即 PQM 5 6 M 又因为 22 64 39 436PQ 所以 2 10 10 2 PQ r 圆的标准方程为 22 5 6 10 xy 点金术 本题的解题关键在于由已知条件求出相应的圆心与半径 对圆的标准方程的有一 个加深认识的作用 试金石 求以点为圆心 并且和轴相切的圆的方程 1 5 C y 第 31 页 共 52 页 导练 一 选择题 1 圆心为 3 4 且过 0 0 的圆的方程 A B 22 25xy 22 5xy C D 22 3 4 25xy 22 3 4 5xy 2 点 2a 1 a 在圆的内部 则实数 a 的取值范围是 22 4xy A B C D 或1a 3a 3 1 5 a 1a 3 5 a 3 圆的一条直径两端点是 2 0 2 2 则此圆的方程为 A B 22 2 1 1xy 22 2 1 9xy C D 22 2 1 9xy 22 2 1 1xy 二 填空题 4 过点 P 1 0 且与 y 轴相切与点 0 3 的圆的方程 5 圆过原点的充要条件是 222 xaybr 三 解答题 6 分别说出下列圆方程所表示圆的圆心与半径 22 2 3 27xy 22 4 5 81xy 22 10 11xy 22 3 144xy 22 4xy 7 经过坐标原点和点 P 1 1 并且圆心在直线 2x 3y 1 0 上 求该圆的方程 8 求圆关于直线 x y 0 对称的圆的方程 22 3 4 1xy 第 32 页 共 52 页 11 圆的一般方程 导引 1 圆的一般方程 22 0 xyDxEyF 22 40 DEF 圆心为 半径为 22 DE 22 4 2 DEF 注意 对于圆的一般方程 和的系数相等 且都不为 通常都化为 2 x 2 y01 没有这样的二次项 xy 表示圆的前提条件 通常情况下先配方配成 22 40DEF 22 xay bm 通过观察与的关系 观察方程是否为圆的标准方程 而不要死记条件m0 22 40DEF 导学 例 求过三点的圆的方程 12 0 0 1 1 4 2 OMM 金钥匙 设圆的方程为 22 0 xyDxEyF 三点都在圆上 12 O M M 三点坐标都满足所设方程 把代入所设方程 12 O M M 12 0 0 1 1 4 2 OMM 得 解得 0 20 42200 F DEF DEF 8 6 0 D E F 所以 所求圆的方程为 22 860 xyxy 点金术 通常在求圆心与半径方便时用标准方程 在已知圆三个点时通常用一般方程求 解 试金石 求过三点的圆的方程 4 1 6 3 3 0 ABC 例 2 判断下列二元二次方程是否表示圆的方程 如果是 请求出圆的圆心及半径 22 22 141290 2 44412110 xyxy xyxy 金钥匙 解 1 把圆的一般方程化为标准方程 22 2 6 31xy 圆心坐标为半径为 2 6 31 第 33 页 共 52 页 2 把圆的一般方程化为标准方程 22 131 224 xy 半径小于 0 它不是圆的方程 点金术 把一般形式转化为标准形式 但一定要注意半径要大于 0 试金石 判断下列方程是否表示圆 如果是 请求出圆的圆心及半径 22 22 222 1 0 2 2460 3 22 350 xy xyxy xyaxaya 例 3 求过点 A 2 3 B 2 5 且圆心在直线上圆的方程 230 xy 金钥匙 解 设所求圆的方程为 则圆心为 22 0 xyDxEyF 22 DE 由已知条件得解之得 49230 425250 2 30 22 DEF DEF DE 2 2 5 D E F 所求圆的方程为 22 2250 xyxy 点金术 先设圆的一般形式 因为点在圆上 所以点代入方程等式成立 由一般式可知圆 的圆心坐标 代入直线方程可得一关系式 试金石 求过点 A 3 1 B 1 3 且圆心在直线上圆的方程 320 xy 导练 一 选择题 1 圆的圆心坐标和半径分别为 22 2420 xyxy A B 1 2 3r 1 2 3r C D 1 2 3r 1 2 3r 第 34 页 共 52 页 2 已知圆 则原点与圆的位置关系是 22 2410 xyxy A 原点在圆内 B 原点在圆上 C 原点在圆外 D 以上都不对 3 表示一个圆 则 R 的取值范围是 22 0 xyxyR A B C D 2 2 1 2 1 2 4 直线 经过的圆心 则 m 530 xy 2 22 210 4 m xymxy A 16 B 16 C 0 或 16 D 0 或 16 二 填空题 5 圆关于 x y 1 0 对称的圆的方程是 22 20 xyxy 6 过点 P 1 0 且与 y 轴切于点 0 3 的圆的方程为 三 解答题 7 若已知圆过点 A 1 5 B 6 2 C 2 a 问 当 a 为何值时 点 M 5 5 在圆上 是否存在 a 的值 使得圆过点 N 1 3 8 过点 A 4 1 与圆切于点 B 1 2 的圆的方程 22 2650 xyxy 第 35 页 共 52 页 9 已知圆的方程为 222 2 1 45280 xymxmymm 1 求此圆的圆心和半径 2 求证 不论 m 为何值 它表示圆心在同一直线上的等圆 12 直线与圆的位置关系 1 导引 1 直线和圆的位置关系 直线 Ax By C 0 与圆 222 0 xaybrr 1 几何方法 圆心 a b 到直线 Ax By C 0 的距离 0 0 22 AxByC d AB 当时 直线与圆相离 dr 当时 直线与圆相切 dr 当时 直线与圆相交 dr 2 代数法 直线 与圆的方程联立方程组 若方程组无解 则直线与圆相离 若方程组仅有一组解 则lC 直线与圆相切 若方程组有两组不同的解 则直线与圆相交 2 圆的切线方程 1 过圆上一点 x0 y0 的切线方程为 222 xyr 2 00 xxyyr 2 已知直线的斜率为 k 求切线方程 可设直线方程为斜截式 y kx b 利用 d r 或 0 可 求得定系数 b 3 已知圆外一点 P x1 y1 求过 P 的切线方程 可设切线方程为 再利用 11 yyk xx d 0 或 0 求出 k 但要注意切线有两条 如果只求出一个 k 另一条则与 x 轴垂直 不能漏 掉这种特殊情形的解 导学 例 1 求直线和圆的公共点坐标 并判断它们的位置关系 4340 xy 22 100 xy 金钥匙 直线和圆的公共点坐标就是方程组的4340 xy 22 100 xy 22 4340 100 xy xy 第 36 页 共 52 页 解 解这个方程组 得 1 1 10 0 x y 2 2 14 5 48 5 x y 所以公共点坐标为 14 48 10 0 55 直线和圆有两个公共点 所以直线和圆相交 4340 xy 22 100 xy 点金术 直线方程和圆的方程联立方程组即可 试金石 已知直线与圆有两个交点 求 k 的取值范围 60l kxy 22 25xy 例 2 自点作圆的切线 求切线 的方程 1 4 A 22 2 3 1xy ll 金钥匙 当直线 垂直于轴时 直线与圆相离 不满足条件lx 1l x 当直线 不垂直于轴时 可设直线 的方程为lxl 即4 1 yk x 4 0kxyk 因为直线与圆相切 所以圆心到直线 的距离等于圆的半径 2 3 l 故解得或 2 23 4 1 1 kk k 0k 3 4 k 因此 所求直线 的方程是或l4y 34130 xy 点金术 根据点的坐标设出直线方程 再根据直线和圆相切是圆心到直线的距离等于半 径求出未知数 试金石 1 求过圆上一点的圆的切线方程 22 4xy 1 3 2 自点作圆的切线 求切线 的方程 2 2 A 22 2 3 1xy ll 例 3 过向圆引切线 求切线方程 2 4 M 22 1 3 1xy 金钥匙 当直线 垂直于轴时 直线与圆相切 满足条件lx 2l x 当直线 不垂直于轴时 可设直线 的方程为lxl 即4 2 yk x 240kxyk 因为直线与圆相切 第 37 页 共 52 页 所以圆心到直线 的距离等于圆的半径 1 3 l 故解得 2 324 1 1 kk k 24 7 k 因此 所求直线 的方程是或l2x 247200 xy 点金术 求法与上个例题一样 但要注意与 x 轴垂直的直线也与圆相切 试金石 已知直线 x 3 与圆相切 求 a 22 3 4xay 导练 一 选择题 1 直线 x y 3 0 与圆的位置关系为 22 1 1xy A 相交 B 相切 C 相离 D 无法确定 2 直线 x y b 0 与圆相切 则 b 等于 22 8xy A 或 4 B C 4 D 4 4 2 2 二 填空题 3 过圆上一点 P 4 3 的切线方程为 22 25xy 4 过点 P 2 2 作圆的切线 则切线方程为 22 1 1xy 5 若过点 P 2 1 作圆的切线有且仅有一条 则圆的半径为 222 3 1 xyr 三 解答题 6 判断直线和圆有没有公共点坐标 并说明理由 4xy 22 1xy 7 求经过圆外一点 P 4 7 与圆相切的直线方程 22 13xy 第 38 页 共 52 页 8 求过点 A 2 4 且与直线相切于点 B 8 6 的圆的方程 3260l xy 13 直线与圆的位置关系 2 导引 1 弦长问题 直线 Ax By C 0 与圆相交所得弦为 AB 222 xaybr 1 圆心 a b 到直线 A