（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第十篇 圆锥曲线与方程《第60讲抛物线》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第十篇高考总复习江苏专用 理科 第十篇 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第第 6060 讲讲 抛物线抛物线 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 含解析 综合创新备选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 抛物线y ax2的准线方程是y 2 则a 解析 抛物线的标准方程为x2 y 由条件得 2 a 1 a 1 4a 1 8 答案 1 8 2 2011 惠州调研 若抛物线y2 2px的焦点与椭圆 1 的右焦点重合 则 x2 6 y2 2 p 解析 因为椭圆 1 的右焦点为 2 0 所以抛物线y2 2px的焦点为 2 0 则 x2 6 y2 2 p 4 答案 4 3 已知抛物线y2 2px p 0 的准线与圆x2 y2 6x 7 0 相切 则p 解析 抛物线y2 2px p 0 的准线为x 圆x2 y2 6x 7 0 即 x 3 p 2 2 y2 16 则圆心为 3 0 半径为 4 又因抛物线y2 2px p 0 的准线与圆 x2 y2 6x 7 0 相切 所以 3 4 解得p 2 p 2 答案 2 4 2011 福州质检 设F为抛物线y2 4x的焦点 A B C为该抛物线上三点 若 FA 0 则 FB FC FA FB FC 解析 由于抛物线y 4x的焦点F的坐标为 1 0 设A xA yA B xB yB C xC yC 则 xA 1 yA xB 1 yB FA FB xC 1 yC 由 0 所以xA xB xC 3 FC FA FB FC 则 xA 1 xB 1 xC 1 3 3 6 FA FB FC 答案 6 5 2011 广州调研 从抛物线y2 4x上一点P引抛物线准线的垂线 垂足为M 且 2 PM 5 设抛物线的焦点为F 则 MPF的面积为 解析 由抛物线方程y2 4x易得抛物线的准线l的方程为x 1 又由PM 5 可得点P 的横坐标为 4 代入y2 4x 可求得其纵坐标为 4 故S MPF 5 4 10 1 2 答案 10 6 2011 如皋模拟 抛物线x y2的准线方程为 1 4 解析 由x y2变为标准方程为 y2 4x 故其准线方程为 x 1 1 4 答案 x 1 7 已知过抛物线y2 4x的焦点F的直线交该抛物线于A B两点 AF 2 则 BF 解析 y2 4x p 2 F 1 0 又 AF 2 xA 2 p 2 xA 1 2 xA 1 即AB x轴 F为AB的中点 BF AF 2 答案 2 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 抛物线的顶点是双曲线 16x2 9y2 144 的中心 而焦点是该双曲线的左顶点 求此抛 物线的方程 解 双曲线方程化为 1 双曲线中心为O 左顶点为 3 0 由题意抛物线方 x2 9 y2 16 程为y2 2px p 0 且 3 p 6 方程为y2 12x p 2 9 已知抛物线的顶点在原点 对称轴是x轴 抛物线上的点M 3 m 到焦点的距离为 5 求抛物线的方程和m的值 解 法一 根据已知条件 抛物线方程可设为y2 2px p 0 则焦点F p 2 0 点M 3 m 在抛物线上 且MF 5 故Error 解得Error 或Error 抛物线方程为y2 8x m 2 6 法二 设抛物线方程为y2 2px p 0 则准线方程为x 由抛物线定义 M点到焦点 p 2 的距离等于M点到准线的距离 所以有 3 5 p 4 p 2 所求抛物线方程为y2 8x 又 点M 3 m 在抛物线上 故m2 8 3 3 m 2 6 10 抛物线的顶点在原点 它的准线过双曲线 1 a 0 b 0 的一个焦点 并与双 x2 a2 y2 b2 曲线的实轴垂直 已知抛物线与双曲线的一个交点为 求抛物线与双曲线的方程 3 2 6 解 由题设知 抛物线以双曲线的右焦点为焦点 准线过双曲线的左焦点 所以p 2c 所以抛物线方程为y2 4cx 因为抛物线过点 所以 6 4c 所以c 1 3 2 6 3 2 故抛物线方程为y2 4x 又双曲线 1 过点 所以 1 x2 a2 y2 b2 3 2 6 9 4a2 6 b2 又a2 b2 c2 1 所以代入得 1 所以a2 或a2 9 舍 所以b2 故双 9 4a2 6 1 a2 1 4 3 4 曲线方程为 4x2 1 4y2 3 B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 2011 新课标全国卷改编 已知直线l过抛物线C的焦点 且与C的对称轴垂直 l与 C交于A B两点 AB 12 P为C的准线上一点 则 ABP的面积为 解析 设抛物线方程为y2 2px p 0 当x 时 p 2 y p p 6 又P到 AB 2 12 2 AB的距离始终为p S ABP 12 6 36 1 2 答案 36 2 已知抛物线y2 2px p 0 的焦点为F F关于原点的对称点为P 过F作x轴的垂线交 抛物线于M N两点 有下列四个命题 PMN必为直角三角形 PMN不一定为直角三角形 直线PM必与抛物线相切 直线PM不一定与抛物线相切 其中正确的命题是 填序号 解析 因为PF MF NF 故 FPM FMP FPN FNP 从而可知 MPN 90 故 4 正确 错误 令直线PM的方程为y x 代入抛物线方程可得 p 2 y2 2py p2 0 0 所以直线PM与抛物线相切 故 正确 错误 答案 3 已知动圆过点 1 0 且与直线x 1 相切 则动圆的圆心的轨迹方程为 解析 设动圆的圆心坐标为 x y 则圆心到点 1 0 的距离与其到直线x 1 的距离相 等 根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y2 4x 答案 y2 4x 4 2011 济南模拟 抛物线y x2上的点到直线 4x 3y 8 0 距离的最小值是 解析 如图 设与直线 4x 3y 8 0 平行且与抛物线y x2相切的直线为 4x 3y b 0 联立方程 得Error 即 3x2 4x b 0 则 16 12b 0 求得b 所以切线方程为 4x 3y 0 则 4 3 4 3 切点到直线 4x 3y 8 0 的距离也就是所求的最小值 此最小值也即为两直线间的距离 为 8 4 3 5 4 3 答案 4 3 5 点P在抛物线x2 4y的图象上 F为其焦点 点A 1 3 若使PF PA最小 则相应 P的坐标为 解析 由抛物线定义可知PF的长等于点P到抛物线准线的距离 所以过点A作抛物线准线 的垂线 与抛物线的交点即为所求点P的坐标 此时PF PA最小 1 1 4 答案 1 1 4 6 2011 南京模拟 已知抛物线y2 8x的焦点为F 抛物线的准线与x轴的交点为K 点 A在抛物线上且AK AF 则 AFK的面积为 2 解析 如图 过点A作AB l于点B l为准线 则由抛物线的定义 得AB AF 因为AK AF 所以AK AB 所以 AKF AKB 45 设A 2t2 4t 由K 2 0 得 22 1 得t 1 所以S AKF 4 4 8 4t 2t2 2 1 2 5 答案 8 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 设抛物线y2 2px p 0 的焦点F Q是抛物线上除顶点外的任意一点 直线QO交准线 于P点 过Q且平行于抛物线 对称轴的直线交准线于R点 求证 0 PF RF 证明 y2 2px p 0 的焦点F 准线为x p 2 0 p 2 设Q x0 y0 x0 0 则R p 2 y0 直线OQ的方程为y x 此直线交准线x 于P点 y0 x0 p 2 易求得P y 2px0 p 2 py0 2x0 2 0 p y0 p2 p2 p2 0 PF RF p py0 2x0 py2 0 2x0 8 如图所示 抛物线关于x轴对称 它的顶点在坐标原点 点P 1 2 A x1 y1 B x2 y2 均在抛物线上 1 写出该抛物线的方程及其准线方程 2 当PA与PB的斜率存在且倾斜角互补时 求y1 y2的值及直线AB的斜率 解 1 由已知条件 可设抛物线的方程为y2 2px p 0 点P 1 2 在抛物线上 22 2p 1 解得p 2 故所求抛物线的方程是y2 4x 准线方程是x 1 2 设直线PA的斜率为kPA 直线PB的斜率为kPB 则kPA x1 1 kPB x2 1 y1 2 x1 1 y