三角形全等的判定_经典习题

1 三角形全等的判定三角形全等的判定 本节主要通过画两个全等的三角形 引导学生发现问题 要求证两个三角形全等需要 些什么条件 然后由学生动手操作发现求证两三角形全等的条件有 边边边 边角边 角边角 角角边 以及两直角三角形全等的 斜边直角边 接着进一步引导学生思考 证明三角形全等的思路 帮助一些看到证明题就头痛的学生解决问 一 三角形全等的判定 这是本节的重点知识 在 知识点击 典例引路 当堂检测 基础训练 中设 置了相应的例题以提高解题能力 二 易错点 因为证明三角形全等的条件较多 学生很容易把 边边角 也用来证明三角形全等 值得注意的是 这 边边角 并不是三角形全等的条件 点击一点击一 边边边公理 三边对应相等的两个三角形全等 简写为 边边边 或 SSS 点击二点击二 边角边公理 有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等 简写成 边角 边 或 SAS 点击三点击三 角边角公理 两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等 简写成 角边 角 或 ASA 点击四点击四 角角边推论 两角和其中一角的对边对应相等的两个三角形全等 简写成 角角边 或 AAS 点击五点击五 直角三角形全等的条件还有 斜边直角边公理 有斜边和一条直角边对应 相等的两个直角三角形全等 简写成 斜边直角边 或 HL 点击六点击六 全等三角形的应用 证明线段或角相等 通常先观察要证明的线段或角分布 在怎样的两个可能全等的三角形中 再分析这两个三角形全等已经有什么条件 还缺少什 么条件 最后证出所缺条件 点击七点击七 证明三角形全等的思路 2 由于证明三角形全等的方法较多 因此证明两个三角形全等的思路与其他证明题目的 思路有所不同 它不是先想用什么方法去证 而是先分析条件 观察待证全等的两个三角 形中 已经具备了哪些条件 然后以其为基础 观察其他需要的条件 最后证出需要的条 件 例如 易得两边对应相等 则应再找 在 1 2 中证出一个条件 第三边相等 夹角相等 2 1 则可以证出三角形的全等 类型之一类型之一 SSS SSS 已知 如图 点 B E C F 在同一直线上 AB DE AC DF BE CF 求证 ABC DEF 解析 已知中给的条件均为线段 由此可以考虑从边边边公理证明 这里又需用到 等量公理 答案 证明 证明 BE CF BE EC EC CF 等量加等量和相等 在 ABC 和 DEF 中 已证 已知 已知 EFBC DFAC DEAB ABC DEF SSS 类型之二类型之二 ASA ASA 已知 如图 1 2 ABC DCB 求证 AB DC 解析 证明线段或角相等时 常归结到线段或角所在的三角形的全等上 这是三角 形全等判断的一种应用 本例要证明 AB DC 以它们所在的三角形全等为证明的手段 就是这种应用的一个例子 要证 AB DC 只需证明 ABC DCB 3 答案 证明 1 2 ABC DCB ABC 1 DCB 2 DBC ACB 在 ABC 和 DCB 中 DBCACB BCBC DCBABC ABC DCB ASA AB DC 类型之三类型之三 AAS AAS 已知 在 ABC 中 AD 为 BC 边上的中线 CE AD BF AD 求证 CE BF 解析 将 CE 与 BF 放在 CED 与 BFD 中 证明这两个三角形全等 问题便可解 决 而 全等条件经过已知的转化是可以得到的 答案 证明 证明 CE AD BF AD CED BFD 90 垂直定义 D 为 BC 中点 BD DC 线段中点定义 在 DEC 与 DFB 中 已证 对顶角相等 已证 BDCD FDBEDC BFDDEC DEC DFB AAS A BC D 12 4 CE BF 全等三角形对应边相等 类型之四类型之四 综合综合 已知 如图 AB DE BC EF CD FA A D 求证 B E 解析 要证 B E 通常的思路是要证 ABC DEF 但如果连结 AC DE 就 会破坏 A D 的条件 因此应当另想他法 观察后不难发现 ABF DEC 于是可 证 ABF DEC 进一步即可证明 ABC DEF 答案 证明 连结 BF CF CE 在 ABF 和 DEC 中 CDFA DA DEAB ABF DEC SAS 1 2 BF EC 在 BFC 和 ECF 中 FCCF EFBC ECBF BFC ECF SSS 3 4 1 3 2 4 即 ABC DEF 说明 说明 如果直接证明线段或角相等比较困难时 可以将线段 角扩大 或缩小 或将 线段 角分解为几部分 再分别证明扩大 或缩小 的量相等 或证明被分成的几部分对 应相等 这是证明线段 角相等的一个常用手段 1 如图两根长度相同的绳子 一端系在旗杆上 另一端分别固定在地面的木桩上 两 个木桩离旗杆底部的距离相等吗 说明你的理由 5 解析 审好题目相当于做对这道题的一半 所以 实际应用的题目一定要仔细审清 题目 找出各个量之间的关系 本题关键是要将实际生活的语言说明转化为数学上的各个量的关系 由长度相同的 绳子 可知AB AC 而要求的是木桩B C与O之间的距离关系 即求证BO CO 有了明 确的已知 求证 剩下的就是纯粹的全等证明了 答案 相等 证明 证明 由题意AO BC AOB AOC 90 Rt AOB Rt AOC HL BO CO 2 已知 如图 AD 为 ABC 的高 E 为 AC 上一点 BE 交 AD 于 F 且有 BF AC FD CD 求证 BE AC 解析 本题考察 HL 公理的应用 要证 BE AC 可 证 C 1 90 而 2 1 90 只需证 2 C 从而转化 为证明它们所在的 BDF 与 ADC 全等 而这由 HL 公理 不难得证 答案 证明 AD BC BDA ADC 90 1 2 90 在 Rt BDF 和 Rt ADC 中 CDFD ACBF Rt BDF Rt ADC HL 2 C 1 C 90 6 BEC 90 BE AC 1 已知 如图 AC BD CAB DBA 求证 CAD DBC 解析 由已知 再加上一组公共边等 可以得到 ABC 与 BAD 全等 由性质得对 应角相等 再由等量公理可得证 答案 证明 证明 在 ABC 和 BAD 中 已知 已知 公共边 BDAC DBACAB ABAB ABC BAD SAS CBA DAB 全等三角形对应角相等 又 CAB DBA 已知 CAB DAB DBA CBA 等量减等量差相等 CAD DBC 2 已知 如图 HI BC JI AB 求证 BIH IBJ 解析 从已知寻找三角形全等的条件 由平行 可以得角等 又有一组公共边 因 此选择用角边角公理可证明 答案 证明 HI BC 7 HIB JBI 两直线平行 内错角相等 JI BA HBI JIB 两直线平行 内错角相等 在 BIH 与 BIJ 中 已证 公共边 已证 JIBHBI BIBI JBIHIB BIH BIJ ASA 1 已知 如图 AB DC AE DF CE FB 求证 AF DE 解析 要证 AF DE 可证 AFB 与 DEC 全等 但还缺少相关角相等的条件 所 以先证 AEB 与 DFC 全等 答案 证明 CE FB CE EF FB EF 即 CF BE 在 AEB 和 DFC 中 CFBE DFAE CDAB AEB DFC SSS B C 在 AFB 和 DEC 中 CEBF CB CDAB AFB DEC SAS AF DE 说明 说明 本例是一个通过两次全等才能得到结论的题目 第一次全等的证明为第二次全 等的证明创造必要的条件 2 已知 如图 ABC 中 D 是 BC 的中点 1 2 求证 AB AC A B C D F E 8 解析 此题看起来简单 其实不然 题中虽然有三个条件 1 2 BD CD AD AD 但无法证明 ABD ACD 因此一定要找到别的角相等才能证 明这两个三角形全等 于是要利用角平分线来构造两个全等的三角 形 答案 证明 作 DE AB 于 E DF AC 于 F 1 2 DE AB 于 E DF AC 于 F DE DF 角平分线上的点到角的两边的距离相等 D 是 BC 的中点 BD CD DE AB 于 E DF AC 于 F BED 90 CFD 90 在 Rt BDE 和 Rt CDF 中 DFDE CDBD Rt BDE Rt CDF HL BE CF 同理可证 AE AF AE BE AF CF 即 AB AC 课时作业 课时作业 A A 等级等级 1 指出下图中的全等三角形各有几对 分别是哪些三角形 ABC 中 AB AC D 为 BC 中点 DE AB DF AC 2 指出下图中的全等三角形各有几对 分别是哪些三角形 9 OA OB OC OD 3 指出下图中的全等三角形各有几对 分别是哪些三角形 ABC 中 AB AC AE AF AD BC 于 D 4 判断 1 三个角对应相等的两个三角形全等 2 顶角及腰上的高相等的两个等腰三角形全等 3 全等三角形对应的中线相等 4 有一边相等的两个等腰直角三角形全等 5 ABC 和 A B C 中 已知 A B AB B C 增加条件 可使 ABC B C A ASA 6 ABC 中 C 90 BC AC E 在 BC 上 且 BE EA CAE B 4 7 则 CEA 7 ABC 中 C 90 BE 为角平分线 ED AB 于 D 若 AE ED 5cm 则 AC 8 四边形 ABCD 中 边 AB DC AD BC B 40 则 C 9 ABC 中 AB AC 两中线 BE CF 交于 O 则按条件所作图形中共有 对全 等三角形 10 如图 AC BE AC CE CB CF 把 EFC 绕点 C 逆时针旋转 90 E 落在 点上 F 落在 点上 10 B 等级 11 判断 1 全等三角形的对应角相等 反之也成立 2 周长为 16 一边长为 5 的两个等腰三角形全等 3 有两个角及一条边相等的两个三角形全等 4 有锐角及斜边对应相等的两个直角三角形全等 12 BP 为 ABC 平分线 D 在 BP 上 PA BA 于 A PC BC 于 C 若 ADP 35 则 BDC 13 若 ABC A B C 且 AB 10cm BC 6cm 则 A C 的取值范围为 14 在 ABC 和 DEF 中 C D B E 要使两三角形全等 需增加条件 A AB ED B AB FD C AC FD D A F 15 下列条件能判断 ABC DEF 的是 A A D C F B E B A D AB AC DE DF B A D B E AC DF D A D AC DF BC EF 16 ABC 中 C 90 AD 为角平分线 BC 32 BD DC 9 7 则点 D 到 AB 的 距离为 A 18cm B 16cm C 14cm D 12cm 17 MON 的边 OM 上有两点 A C ON 上有两点 B D 且 OA OB OC OD AD BC 交于 E 则 OAD OBC ACE BDE 连 OE 则 11 OE 平分 AOB 以上结论 A 只有一个正确 B 只有一个不正确 C 都正确 D 都不正确 18 ABC 中 C 90 AC BC AD 为角平分线 DE AB 于 E 且 AB 6cm 则 DEB 的周长为 A 4cm B 6cm C 8cm D 10cm 19 B 为 AC 上一点 在 AC 同侧作等边 EAB 及等边 DBC 那么下列式子错误的是 A ABD EBC B BDA BCE C ABE BCD D 若 BE 交 AD 于 M CE 交 BD 于 N 那么 NBC MBD 20 线段 OD DC A 在 OC 上 B 在 OD 上 且 OA OB OC OD COD 60 C AC BC 交于 E 则 BED 的度数是 25 A 60 B 70 C 80 D 50 C C 等级等级 21 已知 ABC 中 D E F 分别是 AB AC BC 上的点 连结 DE EF ADE EFC AED ACB DE FC 求证 ADE EFC 22 已知 ABC 是等边三角形 GAB HBC DCA GBA HCB DAC 求证 ABG BCH CAD 12 23 已知 如图 1 2 3 4 求证 ABC ABD 24 已知 AB CD AB DC 求证 ABC CDA 25 已知 DA AB CA AE AB AE AC AD 求证 DE BC 26 已知 ABC 中 AB AC D E 分别为 AB AC 的中点 求证 ABE ACD 27 已知 如图 AC BD CAB DBA 求证 CAD DBC 13 28 如图 AB CD AE BC DF BC 垂足分别为 E F CE BF 求证 AB CD 29 如图 AE BC DF BC E F 是垂足 且 AE DF AB DC 求证 ABC DCB 30 我们知道 两边及其中一边的对角分别对应相等的两个三角形不一定全等 那么 在什么情况下 它们会全等 阅读与证明 对于这两个三角形均为直角三角形 显然它们全等 对于这两个三角形均为钝角三角形 可证明它们全等 证明略 对于这两个三角形均为锐角三角形 它们也全等 可证明如下 已知 ABC 均为锐角三角形 AB BC C 证明 111 CBA 11B A 11C B 1 C ABC 请你将下列证明过程补充完整 111 CBA 证明 分别过点 B 作 BD CA 于 D 于 1 B 11D B 11A C 1 D 则 BDC 90 111 CDB BC C 11C B 1 C BCD BD 111 DCB 11D B 归纳与叙述 由 可得到一个正确结论 请你写出这个结论 14 A 等级答案等级答案 1 3 对 ADE ADF DBE DCF BDA CDA 2 3 对 OEC OED ECA EDB OEA OEB 3 3 对 ABD ACD AED AFD ABE ACF 4 1 2 3 4 5 B C 6 70 7 5cm 8 140 9 3 10 A B B 等级答案等级答案 11 1 2 3 4 12 7 145 13 4 A C 16 14 C 15 C 16 C 17 C 18 B 19 C 20 B C 等级答案等级答案 15 21 在 ADE 与 EFC 中 ACBAED FCDE EFCADE ADE EFC ASA 22 ABC 是等边三角形 AB BC CA 在 ABG 与 BCH 中 HCBGBA BCAB HBCGAB ABG BCH ASA 同理可证 BCH CAD ABG BCH CAD 23 ABC 与 3 互补 ABD 与 4 互补 又 3 4 ABC AB