随机信号实验-高斯过程的产生.doc

随机信号实验-高斯过程的产生赵骏一、实验目的掌握产生具有一定相关性的高斯过程的方法。二、实验内容（1）产生协方差函数为,的高斯过程。（2）分析其概率密度函数Error! No bookmark name given.、均值、方差、相关函数和功率谱。3、 实验仪器和设备（1）计算机一台。（2）Matlab软件。四、实验原理一般情况下，认为所要进行仿真的随机过程都满足平稳性和各态历经性。严格的说，产生的随机序列并非是随机过程的样本函数，但是可以近似地认为是一个样本函数。仿真协方差函数为的高斯过程的方法如下：1产生个均值为0，方差为1并且相互独立的高斯分布随机数。2根据递推公式计算出一组随机数，其中初值为，采样间隔是。3如果要仿真的随机信号数学期望不为0，将数学期望加到随机数上，就可以得到对应均值和方差的随机过程或随机序列的一个样本，生成随机序列样本函数。4估计随机信号的期望和方差分别为，。5计算产生的随机过程的自相关函数为。6计算产生的随机过程的功率谱密度为。7利用自相关函数傅立叶变换计算随机信号的理论功率谱密度和估计值进行比较。理论方法计算功率谱密度为。五、实验步骤与结果记录（1）高斯过程的产生按照实验原理中所描述的产生高斯过程的步骤，编写实验程序如下：clc,clearN=250;alp=1;sig=1;delt=1;a=1;mm=zeros(1,N);x1=rand(1,N);x2=rand(1,N);x3=a.*sqrt(-2*log(x1).*cos(2*pi*x2)+mm; %产生随高斯分布的随机数y(1)=sig*x3(1);for n=2:N %产生高斯过程一个样本 y(n)=exp(-alp)*y(n-1)+sig*sqrt(1-exp(-2*alp*delt)*x3(n);endi=1:N;plot(i,y);hold on;plot(i,mm,-);title(高斯过程样本函数)运行程序后得到如图1所示的高斯过程的样本函数。图1 高斯过程的样本函数（2）高斯过程统计特性的分析以上已经产生了高斯过程的一个样本函数，设其具有各态历经性，则可以利用这个样本函数的统计特性来近似代替整个高斯过程的统计特性。首先，根据公式计算样本的均值。程序如下：（接着上面的程序）M=0;for i=1:N M=M+y(i);endM=M/N计算得出样本的均值为0.0102，进而可以近似地认为该高斯过程的均值也为0.0102。由高斯信号的概率密度函数形式，以及均值为0，方差为1可以得出该高斯过程的实际概率密度函数为。其均值为0，与实验得到的0.0102基本相同。然后，根据公式计算样本的方差。程序如下：（接着上面的程序）D=0;for i=1:N D=D+(y(i)-M)2;endD=D/N计算得出样本的均值为0.9886，进而可以近似地认为该高斯过程的均值也为0.9886。可以看出，它与实际的方差1还是十分接近的。接着，根据公式计算样本的自相关函数。程序如下：（接着上面的程序）for m=1:N %计算自相关函数正半轴 for n=1:N-m+1 rr(n)=y(n)*y(n+m-1); end r2(m)=sum(rr)/N;endfor m=1:N-1 %由对称性计算负半轴 r1(N-m)=r2(m+1);endj=-N+1:N-1;plot(j,r1,r2);title(自相关函数)运行程序后得到如图2所示的自相关函数。图2 自相关函数通过观察以上得出的自相关函数可以发现它的几个特征：a 偶函数；b 在零点取得最大值。最后，根据公式计算样本的功率谱密度函数。程序如下：（接着上面的程序）ss=fft(y,512);s=(ss.*conj(ss)/512; %计算功率谱密度估值f=1000*(0:255)/512;plot(f,s(1:256)title(功率谱密度)运行程序后得到如图3所示的功率谱密度函数。图3 功率谱密度函数（3）实际自相关函数和功率谱密度函数实际自相关函数为。编写程序如下：clc,cleart=-250:250;r=exp(-abs(t);plot(t,r)title(自相关函数)得出其图像如图4所示。图4 实际自相关函数可以看出它与实验得出的自相关函数在形状和数值上大致相同。通过编写程序如下：clc,clearsyms tf=exp(-abs(t);g=fourier(f)可以得到实际功率谱密度函数为。编写程序如下：clc,clearw=0:0.01:20;h=2./(w.2+1);plot(w,h)title(实际功率谱密度)运行程序后得到实际功率谱密度如图5所示。图5 实际功率谱密度函数图与样本函数得到的功率谱密度函数相比，可以看出，实验得到的函数在总体的变化趋势上与实际的函数大致相同。但是，实验得到的函数，在某些频率点上有一定数量的脉冲，这是由于取的样本函数的随机性以及取值数目不足造成的。六、实验总结本次实验，运用了构造一个高斯过程的样本函数，并认为它具有各态历经性，来近似地描述高斯过程的统计特性。对随机产生的样本函数作图之后可以看出，整个变化过程是杂乱无章的。因而，对它的均值、方差、自相关函数和功率谱进行了讨论。在研究均值和方差时，首先计算出样本函数的均值和方差分别为0.0102和0.9886。然后根据理论推导得出实际的概率密度函数，并计算得出实际的均值和方差分别为0和1。从而验证了样本和实际较为接近的事实。同样的，运用比较的方法来研究自相关函数和功率谱。通过将实验得出的和理论推导出的自相关函数和功率