函数的单调性的题型分类及解析

函数的单调性函数的单调性 知识点知识点 1 增函数定义 减函数的定义 增函数定义 减函数的定义 1 设函数的定义域为 A 区间 MA 如果取区间 M 中的任意两个值 xfy 21 x x 当改变量时 都有 那么就称函数在0 12 xxx0 12 xfxfy xfy 区间 M 上是增函数 如图 1 当改变量时 都有0 12 xxx 那么就称0 12 xfxfy 函 数在区间 M 上是减函数 如图 2 xfy 注意 单调性定义中的 x1 x2有什么特征 函数单调性定义中的 x1 x2有三个特征 一是任意 性 二是有大小 三是同属于一个单调区间 1 根据函数的单调性的定义思考 由 f x 是增 减 函数且 f x1 f x2 能否推出 x1x2 2 我们来比较一下增函数与减函数定义中的符号规律 你有什么发现没有 yx 3 如果将增函数中的 当时 都有 改为当0 12 xxx0 12 xfxfy 时 都有结论是否一样呢 0 12 xxx0 12 xfxfy 4 定义的另一种表示方法 如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量 x1 x2 若即0 21 21 xx xfxf 则函数 y f x 是增函数 若即 则函数 y f x 为减0 x y 0 21 21 xx xfxf 0 x y 函数 判断题 判断题 已知因为 所以函数是增函数 1 f x x 1 2 ff f x 若函数满足则函数在区间上为增函数 f x 2 3 ff f x 2 3 若函数在区间和上均为增函数 则函数在区间上为增 f x 1 2 2 3 f x 1 3 函数 因为函数在区间上都是减函数 所以在 1 f x x 0 0 1 f x x 上是减函数 0 0 通过判断题 强调几点 单调性是对定义域内某个区间而言的 离开了定义域和相应区间就谈不上单调性 对于某个具体函数的单调区间 可以是整个定义域 如一次函数 可以是定义域内 某个区间 如二次函数 也可以根本不单调 如常函数 单调性是对定义域的某个区间上的整体性质 不能用特殊值说明问题 函数在定义域内的两个区间 A B 上都是增 或减 函数 一般不能认为函数在 上是增 或减 函数 AB 2 单调区间 如果函数 y f x 在某个区间上是增函数或减函数 那么就说函数 y f x 在这一 区 间具有 严格的 单调性 这一区间叫做 y f x 的单调区间 函函数数单调单调性的性性的性质质 1 增函数 如果对于属于定义域 I 内某个区间上的任意两个自变量的值 当时 都有 0 21 21 xx xfxf 2 减函数 如果对于属于定义域 I 内某个区间的任意两个自变量的值 当 时 都有 0 21 21 xx xfxf 3 函数的单调性还有以下性质 1 函数 y f x 与函数 y f x 的单调性相反 2 当 f x 恒为正或恒为负时 函数 y 1 xf 与 y f x 的单调性相反 3 在公共区间内 增函数 增函数 增函数 增函数 减函数 增函数等 4 如果 k 0 函数 k与函数具有相同的单调性 f x f x 如果 kO 函数与函数具有相同的单调性 f x f x f x 若 0 函数与函数具有相同的单调性 f x f x f x 7 函数在 R 上具有单调性 则在 R 上具有相反的单调性 x f x f 复合函数的单调性 如果函数 则 xgu Ax Bu ufy BC Dy xgfy 称为 x 的复合函数 解决复合函数的问题 关键是弄清复合的过程 即中间变量的定义域与值域的作用 u 复合函数的单调性的判断 同增异减 函数的单调性题型分类讲解函数的单调性题型分类讲解 题型一 题型一 单调性讨论单调性讨论 1 讨论函数 y k 2 x 3 a 0 在区间 R 内的单调性 2 讨论函数 f x a 0 在区间 1 1 内的单调性 2 1x ax 解 设 1 x1 x2 则 f x1 f x2 2 1 1 1x ax 2 2 2 1x ax 1 1 1 2 2 2 1 2121 xx xxxxa x1 x2 1 1 且 x1 x x1 x2 0 1 x1x2 0 1 x21 1 x22 0 于是 当 a 0 时 f x1 f x2 当 a 0 时 f x1 f x2 故当 a 0 时 函数在 1 1 上是增函数 当 a 0 时 函数在 1 1 上为减 函数 题型二 题型二 单调性判断与证明单调性判断与证明 1 下列函数中 在区间 0 1 上为增函数的是 A y x2 1 B C y 2x2 x 1 D y x 1 x y 2 函数 单调状况 内层函数 ug x 增增减减 外层函数 yf u 增减增减 复合函数 yfg x 增减减增 题型三 题型三 求函数的单调区间及该区间上的单调性求函数的单调区间及该区间上的单调性 1 求下列函数的增区间与减区间 1 y x2 2x 3 11 2 2 x xx y32y 2 xx 2 判断函数 f x x3 1 在 0 上是增函数还是减函数 并证明你的结论 如果 x 0 函数 f x 是增函数还是减函数 题型四 题型四 已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性已知简单函数的单调性求与其相关函数的单调性 若函数 y ax y x b 在 0 上都是减函数 则函数 y ax2 bx 在 0 上是 填单调性 设 y f x 的单增区间是 2 6 求函数 y f 2 x 的单调区间 设函数 y f x 是定义在 1 1 上的增函数 则函数 y f x2 1 的单调递减区间 是 已知函数 f x 8 2x x2 如果 g x f 2 x2 那么函数 g x A 在区间 1 0 上是减函数 B 在区间 0 1 上是减函数 C 在区间 2 0 上是增函数 D 在区间 0 2 上是增函数 设是上的减函数 则的单调递减区间为 yf x R 3yfx 上是单调递减的 在 由复合函数单调性可知 是单减的 上在又 而 上是增函数 在 则由已知得解 令 04 2 0 4 2 04 622 62 2 xxtfxf xxxt x xxt ttf xxt 的单减区间是 04 2 xf 解 令 t x 2 x 则由已知得 f t 在区间是 2 6 题型五 已知函数的单调性 求参数的取值范围 已知函数 f x x2 2 a 1 x 2 在区间 4 上是减函数 则实数 a 的取值 范围是 已知函数 y x2 2x 1 在区间 3 a 上是增函数 则 a 的取值范围是 函数 f x ax2 4 a 1 x 3 在 2 上递减 则 a 的取值范围是 函数在区间 2 上是增函数 那么 a 的取值范围是 2 1 x ax xf A B C a1 D a 2 2 1 0 a 2 1 a 解 f x a ax 1 x 2 a x 2 1 2a x 2 1 2a x 2 任取 x1 x2 2 且 x1 x2 则 f x1 f x2 1 2a x1 2 1 2a x2 2 1 2a x2 x1 x1 2 x2 2 函数 f x 在区间 2 上为增函数 f x1 f x2 0 x1 2 0 x2 2 0 1 2a 即实数 a 的取值范围是 1 2 1 2 题型六 函数单调性的应用 11 已知f x 在区间 上是增函数 a b R且a b 0 则下列 不等式中 正确的是 A f a f b f a f b B f a f b f a f b C f a f b f a f b D f a f b f a f b 12 定义在R上的函数y f x 在 2 上是增函数 且 y f x 2 图象的对称轴是 x 0 则 A f 1 f 3 B f 0 f 3 C f 1 f 3 D f 2 f 3 已知函数 f x 在区间 a b 上单调 且 f a f b 0 则方程 f x 0 在区间 a b 内 A 至少有一实根 B 至多有一实根 C 没有实根 D 必有唯一的实根 题型七 已知函数的单调性 解含函数符号的不等式 7 已知函数 f x 是 R 上的增函数 A 0 1 B 3 1 是其图象上的两点 那么不等式 f x 1 1 的解集的补集是 A 1 2 B 1 4 C 1 4 D 1 2 已知 f x 是定义在 1 1 上的增函数 且 f x 1 f a 则实数 a 的取值范围是 A 1 2 B 1 2 C 2 1 D 2 1 解析 f x Error Error 由 f x 的图象可知 f x 在 上是单调递增函数 由 f 2 a2 f a 得 2 a2 a 即 a2 a 2 0 解得 2 a 1 故选 C 8 已知 f x 在其定义域 R 上为增函数 f 2 1 f xy f x f y 解不等式 f x f x 2 3 题型八 已知函数的单调性求最值 已知 x 0 1 则函数 的最大值为 最小值为 函数 y x 2 2 的值域为 x 1 题型九 综合题型 已知定义在区间 0 上的函数 f x 满足 f 2 1 x x f x1 f x2 且当 x 1 时 f x 0 1 求 f 1 的值 2 判断 f x 的单调性 3 若 f 3 1 解不等式 f x 2 1 f 1 f 1 1 f 1 f 1 0 2 当 0 x 1 所以 f y f x f y x 9 x 9 或 x 9 函数 f x 对任意的 a b R 都有 f a b f a f b 1 并且当 x 0 时 f x 1 1 求证 f x 是 R 上的增函数 2 若 f 4 5 解不等式 f 3m2 m 2 3 1 设 x1 x2 R R 且 x1 x2 则 x2 x1 0 f x2 x1 1 f x2 f x1 f x2 x1 x1 f x1 f x2 x1 f x1 1 f x1 f x2 x1 1 0 xxy 122 3 2 4 8 2 2 2 4 fff fff yfxfxyf 解 2 2 2 xxfxfxf 又 8 2 2 fxxf 由题意有 82 02 0 R 2 xx x x xf上的增函数为 42 解得 x f x2 f x1 即 f x 是 R R 上的增函数 2 f 4 f 2 2 f 2 f 2 1 5 f 2 3 原不等式可化为 f 3m2 m 2 f 2 f x 是 R R 上的增函数 3m2 m 2 2 解得 1 m 故解集为 设 f x 的定义域为 0 且在 0 是递增的 yfxf y x f 1 求证 f 1 0 f xy f x f y 2 设 f 2 1 解不等式 2 3 1 x fxf 1 证明 令 x y 1 则有 f 1 f 1 f 1 0 yfxf y x f 1 1 1 yfxfyffxf y fxf y x fxyf 2 解 3 1 3 1 xffxf x fxf 3 3 2 xxfxfxf 2 2 1 2f 2 f 2 f 2 f 4 等价于 2 3 1 x fxf 4 3 2 fxxf 且 x 0 x 3 0 由 f x 定义域为 0 可得 4 0 又 f x 在 0 上为增函数 03 3 2 xxxx 又 x 3 原不等式解集为 x 30 则 f x 的定义域是 2 若 f x 在区间 0 1 上是减函数 则实数 a 的取值范围是 解析 1 当 a 0 且 a 1 时 由 3 ax 0 得 x 即此时函数 f x 的定义域是 3 a 3 a 2 当 a 1 0 即 a 1 时 要使 f x 在 0 1 上是减函数 则需 3 a 1 0 此时 1 a 3 当 a 1 0 即 a0 此时 a0 时 f x x2 则 x1 x2 0 f x1 f x2 f x1 f x2 f x1 x2 又 x 0 时 f x 0 f x1 x2 0 即 f x1 x2 则 f x1 f x2 f x1 x2 x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 又 x 0 时 f x 0 f x1 x2 0 即 f x1 f x2 f x 在 R 上为减函 数 2 f x 在 R 上是减函数 f x 在 3 3 上也是减函数 f x 在 3 3 上的最大值和 最小值分别为 f 3 与 f 3 而 f 3 3f 1 2 f 3 f 3 2 f x 在 3 3 上的最大 值为 2 最小值为 2 17 F x 是定义在 0 上的增函数 且 f f x f y y x 1 求 f 1 的值 2 若 f 6 1 解不等式 f x 3 f 2 x 1 解析 在等式中 则 f 1 0 0 yx令 在等式中令 x 36 y 6 则 2 6 2 36 6 36 6 36 fffff 故原不等式为 即 f x x 3 f 36 36 1 3 f x fxf 又 f x 在 0 上为增函数 故不等式等价于 2 3153 0 36 3 0 0 1 03 x xx x x 22 已知函数 f x x 1 x axx 2 2 1 当 a 时 求函数 f x 的最小值 2 1 2 若对任意 x 1 f x 0 恒成立 试求实数 a 的取值范围 解析 1 当 a 时 f x x 2 x 1 2 1 x2 1 设 x2 x1 1 则 f x2 f