13年高考真题——理科数学(新课标I卷)

2013年高考真题理科数学（解析版） 新课标II卷2013年普通高等学校招生全国统一考试新课标I卷数学（理科）一选择题：共12小题，每小题5分，共60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1已知，则( )（A） （B） （C） （D）2若复数满足，则的虚部为( )（A） （B） （C）4 （D） 3为了解某地区的中小学生视力情况，拟从该地区的中小学生中抽取部分学生进行调查，事先已了解到该地区小学、初中、高中三个学段学生的视力情况有较大差异，而男女生视力情况差异不大，在下面的抽样方法中，最合理的抽样方法是（ ） （A）简单随机抽样（B）按性别分层抽样 （C）按学段分层抽样 （D）系统抽样4已知双曲线:的离心率为，则的渐近线方程为( ) （A） （B） （C） （D）5运行如右的程序框图，如果输入的，则输出属于( ) （A） （B） （C） （D）6如图，有一个水平放置的透明无盖的正方体容器,容器高8，将一个球放在容器口，再向容器内注水，当球面恰好接触水面时测得水深为6，如果不计容器的厚度，则球的体积为( ) （A） （B） （C） （D） 7设等差数列的前项和为，则( ) （A）3 （B）4 （C）5 （D）6 8某几何体的三视图如图，则该几何体的体积为( ) （A） （B） （C） （D）9设为正整数，展开式的二项式系数的最大值为，展开式的二项式系数的最大值为，若，则( ) （A）5 （B）6 （C）7 （D）8 10已知椭圆的右焦点为，过点的直线交椭圆于两点。若的中点坐标为，则的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）11已知函数，若，则的取值范围是( ) （A） （B） （C） （D）12设的三边长分别为，的面积为，。若，,，则( )（A）为递减数列 （B）为递增数列 （C）为递增数列，为递减数列 （D）为递减数列，为递增数列二填空题：本大题共四小题，每小题5分。13已知两个单位向量的夹角为，若，则_。14数列的前项和为，则数列的通项公式是=_。15当时，函数取得最大值，则_。16若函数的图像关于直线对称，则的最大值是_。三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。17（本小题满分12分）如图，在中，为内一点，。若，求；若，求。 18（本小题满分12分）如图，三棱柱中，。证明：；若平面平面，求直线与平面所成角的正弦。19（本小题满分12分）一批产品需要进行质量检验，检验方案是:先从这批产品中任取4件作检验，这4件产品中优质品的件数记为。如果，再从这批产品中任取4件作检验，若都为优质品，则这批产品通过检验；如果，再从这批产品中任取1件作检验，若为优质品，则这批产品通过检验；其他情况下，这批产品都不能通过检验。假设这批产品的优质品率为50%，即取出的产品是优质品的概率都为，且各件产品是否为优质品相互独立。求这批产品通过检验的概率；已知每件产品检验费用为100元，凡抽取的每件产品都需要检验，对这批产品作质量检验所需的费用记为（单位：元），求的分布列及数学期望。20（本小题满分12分）已知圆：，圆：，动圆与外切并且与圆内切，圆心的轨迹为曲线。求的方程；是与圆、圆都相切的一条直线，与曲线交于两点，当圆的半径最长时，求。 21（本小题满分共12分）已知函数，若曲线和曲线都过点，且在点处有相同的切线。求的值；若时，求的取值范围。请考生在第（22）、（23）、（24）三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2B铅笔在答题卡上将所选题号后的 方框涂黑。22（本小题满分10分）如图，直线为圆的切线，切点为，点在圆上，的角平分线交圆于点，垂直交圆于。证明：；设圆的半径为1，延长交于点，求外接圆的半径。23（本小题10分）已知曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为。把的参数方程化为极坐标方程；求与交点的极坐标（，)。24（本小题满分10分）已知函数，。当时，求不等式的解集；设，且当时，求的取值范围。2013年普通高校招生全国统考数学试卷新课标I卷解答一BDCCA ACABD DB二132；14；15；1616 17解：由题，故，因此； 设，则。在中，有，化简可得，故，即。 18解：取中点，连。因，故是正三角形，从而。因，故。因，故平面，所以； 由知，又平面平面，平面平面，故平面，从而，故两两垂直。以为坐标原点，的方向为轴正方向，|为单位长度，建立如图所示空间直角坐标系，有题知，,则,。设是平面的法向量，则，即，取，则，故直线与平面所成角的正弦值为。19解：设第一次取出的4件产品中恰有3件优质品为事件，第一次取出的4件产品中全为优质品为事件，第二次取出的4件产品都是优质品为事件，第二次取出的1件产品是优质品为事件，这批产品通过检验为事件，根据题意有，且与互斥，故； 的可能取值为，并且，400500800，故的分布列如右表所示，且。 20解：由题知，设动圆的圆心为，半径为，则。故曲线是以为左右焦点，长轴长为4，短轴长为的椭圆(左顶点除外)，其方程为； 对于曲线上任意一点，由于，故,当且仅当时取等。所以当圆的半径最长时，其方程为。当的倾斜角为时，则与轴重合，可得；当的倾斜角不为时，由题知不平行于轴，设与轴的交点为，则，可求得，故可设：，由于圆相切得，解得。当时，将代入的方程并整理得，解得=，因此；当时，由图形的对称性可知。综上，或。 21解：由已知得，而，=，故，；由知，设，则。由题得，即。令得，。若，则。故当时，当时，即在单减，在单增，故在=取最小值，而，故当时，即恒成立；若，则，故当时，因此在单增。而，所以当时，即恒成立；若，则，故当时，不可能恒成立。综上所述，的取值范围为。 22解：连，交于点，则，又，故，知。又，故是直径，由勾股定理可得； 由知，故是的中垂线，因此。设中点为，连，则，故， 所以的外接圆半径等于。 23解：将消去参数，化为普通方程得，