人教版初三数学二次函数知识点及难点总结

第 1 页 共 18 页 初三数学初三数学 二次函数二次函数 知识点总结知识点总结 二次项系数 a 决定二次函数图像的开口方向和大小 当 a 0 时 二次函数图像向上开口 当 a 0 时 抛物线向下开口 a 越大 则二次函数图像的开口越小 1 决定对称轴位置的因素 一次项系数 b 和二次项系数 a 共同决定对称轴的位置 当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左 因为对称轴在左边则对称轴小 于 0 也就是 b 2a0 所以 b 2a 要小于 0 所以 a b 要异号 可简单记忆为左同右异 即当 a 与 b 同号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴左 当 a 与 b 异号时 即 ab 0 对称轴在 y 轴右 事实上 b 有其自身的几何意义 二次函数图像与 y 轴的交点处的该二次函数图像 切线的函数解析式 一次函数 的斜率 k 的值 可通过对二次函数求导得到 2 决定二次函数图像与 y 轴交点的因素 常数项 c 决定二次函数图像与 y 轴交点 二次函数图像与 y 轴交于 0 c 一 二次函数概念 一 二次函数概念 1 二次函数的概念 一般地 形如 是常数 的函数 叫 2 yaxbxc abc 0a 做二次函数 这里需要强调 和一元二次方程类似 二次项系数 0a 而可以为零 二次函数的定义域是全体实数 bc 2 二次函数的结构特征 2 yaxbxc 等号左边是函数 右边是关于自变量 的二次式 的最高次数是 2 xx 是常数 是二次项系数 是一次项系数 是常数项 abc abc 第 2 页 共 18 页 二 二次函数的基本形式二 二次函数的基本形式 1 二次函数基本形式 的性质 2 yax a 的绝对值越大 抛物线的开口越小 2 的性质 上加下减 2 yaxc 的符a 号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 00 轴 y 时 随 的增大而增大 0 x yx 时 随 的增大而减小 0 x yx 时 有最小值 0 x y0 0a 向下 00 轴 y 时 随 的增大而减小 0 x yx 时 随 的增大而增大 0 x yx 时 有最大值 0 x y0 的符a 号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0c 轴 y 时 随 的增大而增大 0 x yx 时 随 的增大而减小 0 x yx 时 有最小值 0 x yc 0a 向下 0c 轴 y 时 随 的增大而减小 0 x yx 时 随 的增大而增大时 0 x yx 有最大值 yc 第 3 页 共 18 页 3 的性质 左加右减 2 ya xh 4 的性质 2 ya xhk 的符a 号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 0h X h 时 随 的增大而增大 xh yx 时 随 的增大而减小 xh yx 时 有最小值 xh y0 0a 向下 0h X h 时 随 的增大而减小 xh yx 时 随 的增大而增大 xh yx 时 有最大值 xh y0 的符a 号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 0a 向上 hk X h 时 随 的增大而增大 xh yx 时 随 的增大而减小 xh yx 时 有最小值 xh yk 0a 向下 hk X h 时 随 的增大而减小 xh yx 时 随 的增大而增大 xh yx 时 有最大值 xh yk 第 4 页 共 18 页 三 二次函数图象的平移三 二次函数图象的平移 1 平移步骤 方法一 将抛物线解析式转化成顶点式 确定其顶点坐标 2 ya xhk hk 保持抛物线的形状不变 将其顶点平移到处 具体平移方法如 2 yax hk 下 h 0 h0 k0 h0 h0 k0 k 0 k y a x h 2 k y a x h 2 y ax2 ky ax2 2 平移规律 在原有函数的基础上 值正右移 负左移 值正上移 负下移 hk 概括成八个字 左加右减 上加下减左加右减 上加下减 方法二 沿 轴平移 向上 下 平移个单位 变成cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 或 mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 沿轴平移 向左 右 平移个单位 变成cbxaxy 2 mcbxaxy 2 或 cmxbmxay 2 cmxbmxay 2 四 二次函数四 二次函数与与的比较的比较 2 ya xhk 2 yaxbxc 从解析式上看 与是两种不同的表达形式 后者通过 2 ya xhk 2 yaxbxc 配方可以得到前者 即 其中 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa 第 5 页 共 18 页 五 二次函数五 二次函数图象的画法图象的画法 2 yaxbxc 五点绘图法 利用配方法将二次函数化为顶点式 确定其 2 yaxbxc 2 ya xhk 开口方向 对称轴及顶点坐标 然后在对称轴两侧 左右对称地描点画图 一般我 们选取的五点为 顶点 与 轴的交点 以及关于对称轴对称的点y 0c 0c 与 轴的交点 若与 轴没有交点 则取两组关于对称轴对 2hc x 1 0 x 2 0 x x 称的点 画草图时应抓住以下几点 开口方向 对称轴 顶点 与 轴的交点 与 轴xy 的交点 六 二次函数六 二次函数的性质的性质 2 yaxbxc 1 当时 抛物线开口向上 对称轴为 顶点坐标为 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 当时 随 的增大而减小 当时 随 的增大而增大 2 b x a yx 2 b x a yx 当时 有最小值 2 b x a y 2 4 4 acb a 2 当时 抛物线开口向下 对称轴为 顶点坐标为 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa 当时 随 的增大而增大 当时 随 的增大而减小 2 b x a yx 2 b x a yx 当时 有最大值 2 b x a y 2 4 4 acb a 七 二次函数解析式的表示方法七 二次函数解析式的表示方法 1 一般式 为常数 2 yaxbxc abc0a 2 顶点式 为常数 2 ya xhk ahk0a 3 两根式 是抛物线与 轴两交点的横坐标 12 ya xxxx 0a 1 x 2 xx 注意 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式 但并非所有的二次函数 都可以写成交点式 只有抛物线与 轴有交点 即时 抛物线的解析x 2 40bac 式才可以用交点式表示 二次函数解析式的这三种形式可以互化 八 二次函数的图象与各项系数之间的关系八 二次函数的图象与各项系数之间的关系 1 二次项系数 二次函数中 作为二次项系数 显a 2 yaxbxc a 然 0a 当时 抛物线开口向上 的值越大 开口越小 反之 的值越小 开口越大 0a aa 第 6 页 共 18 页 当时 抛物线开口向下 的值越小 开口越小 反之 的值越大 开口越大 0a aa 总结起来 决定了抛物线开口的大小和方向 的正负决定开口方向 的大小决定开aaa 口的大小 2 一次项系数b 在二次项系数 确定的前提下 决定了抛物线的对称轴 ab 在的前提下 0a 当时 即抛物线的对称轴在 轴左侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是 轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在 轴的右侧 0b 0 2 b a y 在的前提下 结论刚好与上述相反 即0a 当时 即抛物线的对称轴在 轴右侧 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线的对称轴就是 轴 0b 0 2 b a y 当时 即抛物线对称轴在 轴的左侧 0b 0 2 b a y 总结起来 在 确定的前提下 决定了抛物线对称轴的位置 ab 的符号的判定 对称轴在 轴左边则 在 轴的右侧则 ab a b x 2 y0 aby0 ab 概括的说就是 左同右异 总结 3 常数项c 当时 抛物线与轴的交点在 轴上方 即抛物线与轴交点的纵坐标为正 0c yxy 当时 抛物线与轴的交点为坐标原点 即抛物线与轴交点的纵坐标为 0c yy0 当时 抛物线与轴的交点在 轴下方 即抛物线与轴交点的纵坐标为负 0c yxy 总结起来 决定了抛物线与 轴交点的位置 cy 总之 只要都确定 那么这条抛物线就是唯一确定的 abc 第 7 页 共 18 页 二次函数解析式的确定 二次函数解析式的确定 根据已知条件确定二次函数解析式 通常利用待定系数法 用待定系数法求二 次函数的解析式必须根据题目的特点 选择适当的形式 才能使解题简便 一般 来说 有如下几种情况 1 已知抛物线上三点的坐标 一般选用一般式 2 已知抛物线顶点或对称轴或最大 小 值 一般选用顶点式 3 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标 一般选用两根式 x 4 已知抛物线上纵坐标相同的两点 常选用顶点式 九 二次函数图象的对称九 二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况 可以用一般式或顶点式表达 1 关于 轴对称x 关于 轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc x 2 yaxbxc 关于 轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk x 2 ya xhk 2 关于 轴对称y 关于 轴对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc y 2 yaxbxc 关于 轴对称后 得到的解析式是 2 ya xhk y 2 ya xhk 3 关于原点对称 关于原点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 yaxbxc 关于原点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 4 关于顶点对称 即 抛物线绕顶点旋转 180 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 关于顶点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk 2 ya xhk 5 关于点对称 mn 第 8 页 共 18 页 关于点对称后 得到的解析式是 2 ya xhk mn 2 22ya xhmnk 根据对称的性质 显然无论作何种对称变换 抛物线的形状一定不会发生变 化 因此永远不变 求抛物线的对称抛物线的表达式时 可以依据题意或方便a 运算的原则 选择合适的形式 习惯上是先确定原抛物线 或表达式已知的抛物 线 的顶点坐标及开口方向 再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向 然后 再写出其对称抛物线的表达式 十 二次函数与一元二次方程 十 二次函数与一元二次方程 1 二次函数与一元二次方程的关系 二次函数与 轴交点情况 x 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊情况 2 0axbxc 2 yaxbxc 0y 图象与 轴的交点个数 x 当时 图象与 轴交于两点 其中的是 2 40bac x 12 00A xB x 12 xx 12 xx 一元二次方程的两根 这两点间的距离 2 00axbxca 2 21 4bac ABxx a 当时 图象与 轴只有一个交点 0 x 当时 图象与 轴没有交点 0 x 当时 图象落在 轴的上方 无论 为任何实数 都有 1 0a xx0y 当 时 图象落在 轴的下方 无论 为任何实数 都有 2 0a xx0y 2 抛物线的图象与 轴一定相交 交点坐标为 2 yaxbxc y 0 c 3 二次函数常用解题方法总结 求二次函数的图象与 轴的交点坐标 需转化为一元二次方程 x 求二次函数的最大 小 值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式 根据图象的位置判断二次函数中 的符号 或由二次函数中 2 yaxbxc abcab 的符号判断图象的位置 要数形结合 c 二次函数的图象关于对称轴对称 可利用这一性质 求和已知一点对称的点 坐标 或已知与 轴的一个交点坐标 可由对称性求出另一个交点坐标 x 第 9 页 共 18 页 与二次函数有关的还有二次三项式 二次三项式本身就是所含 2 0 axbxc a 字母 的二次函数 下面以时为例 揭示二次函数 二次三项式和一元二次x0a 方程 之间 的内 在联 系 二次函数图像参考 二次函数图像参考 十一 函数的应用十一 函数的应用 二次 0 抛物线与 轴x 有两个交点 二次三项式的值 可正 可零 可 负 一元二次方程有两个不相等实根 0 抛物线与 轴x 只有一个交 点 二次三项式的值 为非负 一元二次方程有两个相等的实数根 0 抛物线与 轴x 无交点 二次三项式的值 恒为正 一元二次方程无实数根 y 2 x 4 2 3 y 2 x 4 2y 2x2 y x2 2 y 2x2 y x2 y 2x2 y x2 y x2 2 y 2x2 4 y 2x2 2 y 2x2 y 3 x 4 2 y 3 x 2 2 y 3x2 y 2 x 3 2 y 2 x 3 2 y 2x2 第 10 页 共 18 页 函数应用 何何何何 何何何何何何何何 何何何何何何何 二次函数考查重点与常见题型 1 考查二次函数的定义 性质 有关试题常出现在选择题中 如 已知以 为自变量的二次函数的图像经过原点 则的值x2 2 22 mmxmym 是 2 综合考查正比例 反比例 一次函数 二次函数的图像 习题的特点是在同一 直角坐标系内考查两个函数的图像 试题类型为选择题 如 如图 如果函数的图像在第一 二 三象限内 那么函数的bkxy 1 2 bxkxy 图像大致是 y y y y 0 x o 1 x 0 x 0 1 x A B C D 1 考查用待定系数法求二次函数的解析式 有关习题出现的频率很高 习题 类型有中档解答题和选拔性的综合题 如 已知一条抛物线经过 0 3 4 6 两点 对称轴为 求这条抛物线的解析式 3 5 x 2 考查用配方法求抛物线的顶点坐标 对称轴 二次函数的极值 有关试题 为解答题 如 已知抛物线 a 0 与 x 轴的两个交点的横坐标 2 yaxbxc 是 1 3 与 y 轴交点的纵坐标是 3 2 1 确定抛物线的解析式 2 用配方法确定抛物线的开口方向 对称轴和顶点坐标 5 考查代数与几何的综合能力 常见的作为专项压轴题 例题经典 第 11 页 共 18 页 由抛物线的位置确定系数的符号 例 1 1 二次函数的图像如图 1 则点在 2 yaxbxc a c bM A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 2 已知二次函数 y ax2 bx c a 0 的图象如图 2 所示 则下列结论 a b 同号 当 x 1 和 x 3 时 函数值相等 4a b 0 当 y 2 时 x 的 值只能取 0 其中正确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 1 2 点评 弄清抛物线的位置与系数 a b c 之间的关系 是解决问题的关键 例 2 已知二次函数 y ax2 bx c 的图象与 x 轴交于点 2 O x1 0 且 1 x1 2 与 y 轴的正半轴的交点在点 O 2 的下方 下列结论 a bO 4a cO 其中正确结论的个数为 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 会用待定系数法求二次函数解析式 例 3 已知 关于 x 的一元二次方程 ax2 bx c 3 的一个根为 x 2 且二次函数 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2 则抛物线的顶点坐标为 A 2 3 B 2 1 C 2 3 D 3 2 答案 C 例 4 如图 单位 m 等腰三角形 ABC 以 2 米 秒的速度沿直线 L 向正方形移动 直到 AB 与 CD 重合 设 x 秒时 三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2 1 写出 y 与 x 的关系式 2 当 x 2 3 5 时 y 分别是多少 3 当重叠部分的面积是正方形面积的一半时 三角形移动了多长时间 求抛物 线顶点坐标 对称轴 例 5 已知抛物线 y x2 x 1 2 5 2 第 12 页 共 18 页 1 用配方法求它的顶点坐标和对称轴 2 若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A B 求线段 AB 的长 点评 本题 1 是对二次函数的 基本方法 的考查 第 2 问主要考查二 次函数与一元二次方程的关系 例 6 已知函数的图象经过点 A c 2 cbxxy 2 2 1 求证 这个二次函数图象的对称轴是 x 3 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨 认的文字 1 根据已知和结论中现有的信息 你能否求出题中的二次函数解析式 若能 请写出求解过程 并画出二次函数图象 若不能 请说明理由 2 请你根据已有的信息 在原题中的矩形框中 填加一个适当的条件 把原题 补充完整 点评 对于第 1 小题 要根据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解 析式 就要把原来的结论 函数图象的对称轴是 x 3 当作已知来用 再结合条 件 图象经过点 A c 2 就可以列出两个方程了 而解析式中只有两个未 知数 所以能够求出题中的二次函数解析式 对于第 2 小题 只要给出的条件 能够使求出的二次函数解析式是第 1 小题中的解析式就可以了 而从不同的角 度考虑可以添加出不同的条件 可以考虑再给图象上的一个任意点的坐标 可以 给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等 解答 1 根据的图象经过点 A c 2 图象的对称轴是cbxxy 2 2 1 x 3 得 解得 3 2 1 2 2 2 1 2 b cbcc 2 3 c b 所以所求二次函数解析式为图象如图所 23 2 1 2 xxy 示 2 在解析式中令 y 0 得 解得023 2 1 2 xx 53 53 21 xx 所以可以填 抛物线与 x 轴的一个交点的坐标是 3 或 抛物线与 x 0 5 第 13 页 共 18 页 轴的一个交点的坐标是令 x 3 代入解析式 得 0 53 2 5 y 所以抛物线的顶点坐标为23 2 1 2 xxy 2 5 3 所以也可以填抛物线的顶点坐标为等等 2 5 3 函数主要关注 通过不同的途径 图象 解析式等 了解函数的具体特征 借助多种现实背 景理解函数 将函数视为 变化过程中变量之间关系 的数学模型 渗透函数的思想 关注函 数与相关知识的联系 用二次函数解决最值问题用二次函数解决最值问题 例 1 已知边长为 4 的正方形截去一个角后成为五边形 ABCDE 如图 其中 AF 2 BF 1 试在 AB 上求一点 P 使矩形 PNDM 有最大面积 评析 本题是一道代数几何综合题 把相似三角形与二次函数的知识有机的结 合在一起 能很好考查学生的综合应用能力 同时 也给学生探索解题思路留下 了思维空间 例 2 某产品每件成本 10 元 试销阶段每件产品的销售价 x 元 与产品的日销 售量 y 件 之间的关系如下表 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数 1 求出日销售量 y 件 与销售价 x 元 的函数 关系式 2 要使每日的销售利润最大 每件产品的销售价应 定为多少元 此时每日销售利润是多少元 解析 1 设此一次函数表达式为 y kx b 则 解得 k 1525 220 kb kb 1 b 40 即一次函数表达式为 y x 40 2 设每件产品的销售价应定为 x 元 所获销售利润为 w 元 w x 10 40 x x2 50 x 400 x 25 2 225 产品的销售价应定为 25 元 此时每日获得最大销售利润为 225 元 点评 解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似 也有区别 主要有 两点 1 设未知数在 当某某为何值时 什么最大 或最小 最省 的设问 中 某某 要设为自变量 什么 要设为函数 2 问的求解依靠配方法 或最值公式 而不是解方程 二次函数对应练习试题二次函数对应练习试题 一 选择题一 选择题 1 二次函数的顶点坐标是 2 47yxx A 2 11 B 2 7 C 2 11 D 2 3 2 把抛物线向上平移 1 个单位 得到的抛物线是 2 2yx x 元 1 5 2 0 3 0 y 件 2 5 2 0 1 0 第 14 页 共 18 页 A B C D 2 2 1 yx 2 2 1 yx 2 21yx 2 21yx 3 函数和在同一直角坐标系中图象可能是图中的 2 ykxk 0 k yk x 4 已知二 次函数的图象如图所示 则下列结论 a b 同号 当 2 0 yaxbxc a 和时 函数值相等 当时 的值只能取 0 其中1x 3x 40ab 2y x 正确的个数是 A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5 已知二次函数的顶点坐标 1 3 2 及 2 0 yaxbxc a 部分图象 如图 由图象可知关于 的一元二次方程x 的两个根分别是 2 0axbxc 12 1 3xx 和 B 2 3 C 0 3 D 3 3 6 已知二次函数的图象如图所示 则点在 2 yaxbxc ac bc A 第一象限 B 第二象限 C 第三象限 D 第四象限 7 方程的正根的个数为 2 2 2xx x A 0 个 B 1 个 C 2 个 3 个 8 已知抛物线过点 A 2 0 B 1 0 与 轴交于点 C 且 OC 2 则这条抛物线的解析y 式为 A B 2 2yxx 2 2yxx C 或 D 或 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 2 2yxx 二 填空题二 填空题 第 15 页 共 18 页 9 二次函数的对称轴是 则 2 3yxbx 2x b 10 已知抛物线 y 2 x 3 5 如果 y 随 x 的增大而减小 那么 x 的取值范围是 11 一个函数具有下列性质 图象过点 1 2 当 0 时 函数值 随xy 自变量 的增大而增大 满足上述两条性质的函数的解析式是 x 只写一个即可 12 抛物线的顶点为 C 已知直线过点 C 则这条直线与两 2 2 2 6yx 3ykx 坐标轴所围成的三角形面积为 13 二次函数的图象是由的图象向左平移 1 个单位 再向 2 241yxx 2 2yxbxc 下平移 2 个单位得到的 则 b c 14 如图 一桥拱呈抛物线状 桥的最大高度是 16 米 跨度是 40 米 在线段 AB 上离中心 M 处 5 米的地方 桥的高度是 取 3 14 三 解答题 三 解答题 15 已知二次函数图象的对称轴是 图象经过 1 6 且与 轴的交点为 0 30 x y 5 2 1 求这个二次函数的解析式 2 当 x 为何值时 这个函数的函数值为 0 3 当 x 在什么范围内变化时 这个函数的函数值 随 x 的增大而增大 y 16 某种爆竹点燃后 其上升高度 h 米 和时间 t 秒 符合关系式 2 0 1 2 hv tgt 0 t 2 其中重力加速度 g 以 10 米 秒 2计算 这种爆竹点燃后以 v0 20 米 秒 的初速度上升 1 这种爆竹在地面上点燃后 经过多少时间离地 15 米 2 在爆竹点燃后的 1 5 秒至 1 8 秒这段时间内 判断爆竹是上升 或是下 降 并说明理由 17 如图 抛物线经过直线与坐标 2 yxbxc 3yx 轴的两个交点 A B 此抛物线与 轴的另一个交点为x 第 15 题图 第 16 页 共 18 页 C 抛物线顶点为 D 1 求此抛物线的解析式 2 点 P 为抛物线上的一个动点 求使 5 4 的点 P 的坐标 APC S ACD S 18 红星建材店为某工厂代销一种建筑材料 这里的代销是指厂家先免费提供货 源 待货物售出后再进行结算 未售出的由厂家负责处理 当每吨售价为260 元时 月销售量为45 吨 该建材店为提高经营利润 准备采取降价的方式进行促销 经 市场调查发现 当每吨售价每下降 10 元时 月销售量就会增加 7 5 吨 综合考 虑各种因素 每售出一吨建筑材料共需支付厂家及其它费用 100 元 设每吨材料 售价为 x 元 该经销店的月利润为 y 元 1 当每吨售价是 240 元时 计算此时的月销售量 2 求出 y 与 x 的函数关系式 不要求写出 x 的取值范围 3 该建材店要获得最大月利润 售价应定为