二项式定理典型例题

精品文档 1欢迎下载 二项式定理典型例题二项式定理典型例题 典型例题一典型例题一 例例 1 1 在二项式的展开式中 前三项的系数成等差数列 求展开式中所有有 n x x 4 2 1 理项 分析 分析 本题是典型的特定项问题 涉及到前三项的系数及有理项 可以通过抓通项公 式解决 解 解 二项式的展开式的通项公式为 4 32 4 1 2 1 C 2 1 C rn r r n r rnr nr x x xT 前三项的 2 1 0 r 得系数为 1 8 1 4 1 C 2 1 2 1 C 1 2 3 1 21 nntntt nn 由已知 1 8 1 12 312 nnnttt 8 n 通项公式为 为有理项 故是 4 的倍数 1 4 316 81 82 1 0 2 1 C r r r r r TrxT r316 8 4 0 r 依次得到有理项为 22 8 8 89 4 4 85 4 1 256 1 2 1 C 8 35 2 1 C xxTxxTxT 说明 说明 本题通过抓特定项满足的条件 利用通项公式求出了r的取值 得到了有理 项 类似地 的展开式中有多少项是有理项 可以通过抓通项中r的取值 1003 32 得到共有 17 页 系数和为 n 3 典型例题四典型例题四 例例 4 4 1 求展开式中的系数 2 求展开式中的 103 1 1 xx 5 x 6 2 1 x x 常数项 分析 分析 本题的两小题都不是二项式展开 但可以转化为二项式展开的问题 1 可以 视为两个二项展开式相乘 2 可以经过代数式变形转化为二项式 解 解 1 展开式中的可以看成下列几种方式得到 然后合并同类 103 1 1 xx 5 x 精品文档 2欢迎下载 项 用展开式中的常数项乘以展开式中的项 可以得到 用 3 1 x 10 1 x 5 x 55 10 C x 展开式中的一次项乘以展开式中的项可得到 3 1 x 10 1 x 4 x 54 10 44 10 C3 C 3 xxx 用中的乘以展开式中的可得到 用 中 3 1 x 2 x 10 1 x 3 x 53 10 33 10 2 C3C3xxx 3 1 x 的项乘以展开式中的项可得到 合并同类项得项 3 x 10 1 x 2 x 52 10 22 10 3 CC3xxx 5 x 为 552 10 3 10 4 10 5 10 63 CC3CC xx 2 2 1 2 1 x x x x 12 5 1 2 1 x x x x 由展开式的通项公式 可得展开式 12 1 x x rr r rr r x x T 6 12 12 121 C 1 2 C 的常数项为 924C6 12 说明 说明 问题 2 中将非二项式通过因式分解转化为二项式解决 这时我们还可以通 过合并项转化为二项式展开的问题来解决 典型例题五典型例题五 例例 5 5 求展开式中的系数 62 1 xx 5 x 分析 分析 不是二项式 我们可以通过或 62 1 xx 22 1 1xxxx 把它看成二项式展开 1 2 xx 解 解 方法一 6 262 1 1 xxxx 44256 1 15 1 6 1 xxxxx 其中含的项为 5 x 551 4 53 5 55 6 6C15C6Cxxxx 含项的系数为 6 5 x 方法二 6 262 1 1 xxxx 精品文档 3欢迎下载 62524232222 6 15 20 15 61xxxxxxxxxxxx 其中含的项为 5 x 5555 66 4 15 3 20 xxxx 项的系数为 6 5 x 方法 3 本题还可通过把看成 6 个相乘 每个因式各取一项相 62 1 xx 2 1xx 乘可得到乘积的一项 项可由下列几种可能得到 5 个因式中取x 一个取 1 得 5 x 到 55 6 C x 3 个因式中取x 一个取 两个取 1 得到 2 x CC 231 3 3 6 xx 1 个因式中取x 两个取 三个取 1 得到 2 x 222 5 1 6 CCxx 合并同类项为 项的系数为 6 552 5 1 6 1 3 3 6 5 6 6 CCCC Cxx 5 x 典型例题六典型例题六 例例 6 6 求证 1 121 2CC2C nn nnn nn 2 12 1 1 C 1 1 C 3 1 C 2 1 C 1210 nn nnnn nn 分析 分析 二项式系数的性质实际上是组合数的性质 我们可以用二项式系数的性质来证 明一些组合数的等式或者求一些组合数式子的值 解决这两个小题的关键是通过组合数公 式将等式左边各项变化的等数固定下来 从而使用二项式系数性质 nn nnnn 2CCCC 210 解 解 1 1 1 C 1 1 1 C k n k n n knk n n knk n knk n kk 左边 1 1 1 1 0 1 CCC n nnn nnn 右边 11 1 1 1 0 1 2 CCC nn nnn nn 2 1 1 1 C 1 1 knk n knk n kk k n 1 1 C 1 1 1 1 1 1 k n nknk n n 精品文档 4欢迎下载 左边 1 1 2 1 1 1 C 1 1 C 1 1 C 1 1 n nnn nnn 右边 12 1 1 CC C 1 1 11 1 2 1 1 1 nn nnn nn 说明 说明 本题的两个小题都是通过变换转化成二项式系数之和 再用二项式系数的性质 求解 此外 有些组合数的式子可以直接作为某个二项式的展开式 但这需要逆用二项式 定理才能完成 所以需仔细观察 我们可以看下面的例子 求 的结果 仔细观察可以发现该组合数的式与10C2C2C2C2 2 10 8 10 79 10 810 10 9 的展开式接近 但要注意 10 21 1010 10 99 10 22 10 1 10 0 10 10 2C2C2C2CC 21 10 10 109 10 92 10 2 C2C2C21021 C2C2C210 21 10 10 99 10 82 10 从而可以得到 13 2 1 C2C2C210 1010 10 99 10 82 10 典型例题七典型例题七 例例 7 7 利用二项式定理证明 是 64 的倍数 983 22 n n 分析 分析 64 是 8 的平方 问题相当于证明是的倍数 为了使问题向二983 22 n n2 8 项式定理贴近 变形 将其展开后各项含有 与的倍数联系 1122 18 93 nnnk 8 2 8 起来 解 解 983 22 n n 98 18 989 11 nn nn 9818C8C8C8 1 21 1 1 1 1 n n n n n n n n 981 1 88C8C8 21 1 1 1 1 nn n n n n n 21 1 1 1 1 8C8C8 n n n n n 是 64 的倍数 64 C8C8 1 1 21 1 1 n n n n n 说明 说明 利用本题的方法和技巧不仅可以用来证明整除问题 而且可以用此方程求一些 复杂的指数式除以一个数的余数 典型例题八典型例题八 精品文档 5欢迎下载 例例 8 8 展开 5 2 2 3 2 x x 分析分析 1 1 用二项式定理展开式 解法解法 1 1 5 2 2 3 2 x x 2 2 32 5 2 41 5 0 2 50 5 2 3 2 2 3 2 2 3 2 x xC x xC x xC 5 2 5 5 4 2 4 5 3 2 23 5 2 3 2 3 2 2 3 2 x C x xC x xC 1074 25 32 243 8 405135180 12032 xxxx xx 分析分析 2 2 对较繁杂的式子 先化简再用二项式定理展开 解法解法 2 2 10 53 5 2 32 34 2 3 2 x x x x 2332 5 431 5 530 5 10 3 4 3 4 4 32 1 xCxCxC x 3 3 4 3 4 55 5 4134 5 3233 5 CxCxC 243716204320576038401024 32 1 3691215 10 xxxxx x 1074 25 32 243 8 405135180 12032 xxxx xx 说明 说明 记准 记熟二项式的展开式 是解答好与二项式定理有关问题的前提 n ba 条件 对较复杂的二项式 有时先化简再展开会更简便 典型例题九典型例题九 例例 9 9 若将展开为多项式 经过合并同类项后它的项数为 10 zyx A 11 B 33 C 55 D 66 分析 分析 看作二项式展开 10 zyx 10 zyx 解 解 我们把看成 按二项式展开 共有 项 即zyx zyx 11 10 0 10 10 1010 k kkk zyxCzyxzyx 这时 由于 和 中各项的指数各不相同 因此再将各个二项式展开 z k yx 10 精品文档 6欢迎下载 不同的乘积 展开后 都不会出现同类项 kkk zyxC 10 10 10 1 0 k 下面 再分别考虑每一个乘积 kkk zyxC 10 10 10 1 0 k 其中每一个乘积展开后的项数由决定 k yx 10 而且各项中和的指数都不相同 也不会出现同类项 xy 故原式展开后的总项数为 66191011 应选 D 典型例题十典型例题十 例例 1010 若的展开式的常数项为 求 n x x 2 1 20 n 分析 分析 题中 当时 把三项式转化为0 x0 x n x x 2 1 当时 同 nn x x x x 2 1 2 1 0 x 理 然后写出通项 令含的幂指数为零 进而解 n n n x x x x 2 1 1 2 1 x 出 n 解 解 当时 其通项为0 x nn x x x x 2 1 2 1 rnr n rrrnr nr xC x xCT 22 2 2 21 1 1 令 得 022 rnrn 展开式的常数项为 n n nC 2 1 当时 0 x n n n x x x x 2 1 1 2 1 同理可得 展开式的常数项为 n n nC 2 1 无论哪一种情况 常数项均为 n n nC 2 1 令 以 逐个代入 得 20 1 2 n n nC 3 2 1 n3 n 典型例题十一典型例题十一 精品文档 7欢迎下载 例例 1111 的展开式的第 3 项小于第 4 项 则的取值范围是 10 3 1 x xx 分析 分析 首先运用通项公式写出展开式的第 3 项和第 4 项 再根据题设列出不等式即 可 解 解 使有意义 必须 10 3 1 x x0 x 依题意 有 即 43 TT 3 3 73 10 2 3 82 10 1 1 x xC x xC 3 1 123 8910 12 910 x x 0 x 解得 5 648 9 8 0 x 的取值范围是 x 5 648 9 8 0 xx 应填 5 648 9 8 0 x 典型例题十二典型例题十二 例例 1212 已知的展开式中有连续三项的系数之比为 这三项是第几 nx x 1 2 log 321 项 若展开式的倒数第二项为 求的值 112x 解 解 设连续三项是第 项 且 则有k1 k2 k Nk1 k 321 11 k n k n k n CCC 即 321 1 1 1 1 knk n knk n knk n 321 1 1 1 1 1 kkknkknkn 3 2 1 2 1 1 3 2 1 2 1 1 kn k kn k knk kk knkn knk 精品文档 8欢迎下载 所求连续三项为第 三项 14 n5 k567 又由已知 即 112 2 log13 14 x xC8 2 log x x 两边取以为底的对数 23 log 2 2 x3log2 x 或 3 2 x 3 2 x 说明 说明 当题目中已知二项展开式的某些项或某几项之间的关系时 常利用二项式通项 根据已知条件列出某些等式或不等式进行求解 典型例题十三典型例题十三 例例 1313 的展开式中第项与第项的系数相等 求展开式中二项式系数最大 n x 21 67 的项和系数最大的项 分析 分析 根据已知条件可求出 再根据的奇偶性 确定二项式系数最大的项 nn 解 解 依题意有 55 6 2 xCT n 66 7 2 xCT n 822 6655 nCC nn 的展开式中 二项式系数最大的项为 8 21 x 444 85 1120 2 xxCT 设第项系数最大 则有1 r 65 22 22 11 88 11 88 r CC CC rrrr rrrr 或 5 r6 r 8 2 1 0 r 系娄最大的项为 5 6 1792xT 6 7 1792xT 说明 说明 1 求二项式系数最大的项 根据二项式系数的性质 为奇数时中间两项的二n 项式系数最大 为偶数时 中间一项的二项式系数最大 n 2 求展开式中系数最大项与求二项式系数最大项是不同的 需根据各项系数的正 负 变化情况 一般采用列不等式 解不等式的方法求得 典型例题十四典型例题十四 例例 1414 设 若其展开式中关于的一次项的系 nm xxxf 1 1 Nnm x 数和为 问为何值时 含项的系数取最小值 并求这个最小值 11nm 2 x 分析 分析 根据已知条件得到的系数关于的二次表达式 然后利用二次函数性质探讨 2 xn 最小值问题 精品文档 9欢迎下载 解 解 11 11 mnCC nm 2 11 2 1 22 2222 nm nnmmCC nm 4 99 2 11 5511 2 2110 22 nnn mn Nn 或 或时 项系数最小 最小值为 5 n66 m5 2 x25 说明 说明 二次函数的对称轴方程为 即 由于 4 99 2 11 2 xy 2 11 x5 5 x5 距等距离 且对 距最近 所以的最小值在65 5 Nn565 5 4 99 2 11 2 n 或处取得 5 n6 n 典型例题十五典型例题十五 例例 1515 若 01 6 6 7 7 7 13 axaxaxax 求 1 2 3 721 aaa 7531 aaaa 6420 aaaa 解 解 1 令 则 0 x1 0 a 令 则 1 x12827 0167 aaaa 129 721 aaa 2 令 则 1 x 7 01234567 4 aaaaaaaa 由得 2 8256 4128 2 1 7 7531 aaaa 3 由得 2 6420 aaaa 2 1 01234567 01234567 aaaaaaaa aaaaaaaa 精品文档 10欢迎下载 8128 4 128 2 1 7 说明 1 本解法根据问题恒等式特点来用 特殊值 法 这是一种重要的方法 它 适用于恒等式 2 一般地 对于多项式 的各项 n n n xaxaxaaqpxxg 2 210 xg 的系数和为 1 g 的奇数项的系数和为 xg 1 1 2 1 gg 的偶数项的系数和为 xg 1 1 2 1 gg 典型例题十六典型例题十六 例例 1616 填空 1 除以的余数 2 除以的余数3230 7155555 8 是 分析分析 1 1 将分解成含的因数 然后用二项式定理展开 不含的项就是余数 30 277 解 解 3230 3 2 103 3 8 10 3 17 10 3777 10 10 9 10 91 10 100 10 CCCC 2 77 7 9 10 81 10 90 10 CCC 又 余数不能为负数 需转化为正数 除以的余数为3230 75 应填 5 分析分析 2 2 将写成 然后利用二项式定理展开 55 55 55 156 解 解 155555 15 156 55 15565656 55 55 54 55 541 55 550 55 CCCC 容易看出该式只有不能被整除 因此除以的余数 即1415 55 55 C8155555 8 除以的余数 故余数为 应填 14866 典型例题十七典型例题十七 精品文档 11欢迎下载 例例 1717 求证 对于 Nn 1 1 1 1 1 1 nn nn 证明 证明 展开式的通项 n n 1 1 r r n r r nr nr p n CT 1 1 r r rnnnn r 1 2 1 1 1 1 2 1 1 1 1 n r nnr 展开式的通项 1 1 1 1 n n r r n r r nr nr A n CT 1 1 1 1 1 1 1 1 1 2 1 1 1 1 1 n r nnr 由二项式展开式的通项明显看出 11 rr TT 所以 1 1 1 1 1 1 nn nn 说明 说明 本题的两个二项式中的两项为正项 且有一项相同 证明时 根据题设特点 采用比较通项大小的方法完成本题证明 典型例题十八典型例题十八 例例 1818 在的展开式中的系数为 52 23 xxx A 160 B 240 C 360 D 800 分析 分析 本题考查二项式定理的通项公式的运用 应想办法将三项式转化为二项式求 解 解法解法 1 1 由 5252 2 3 23 xxxx 得 kkk k xxCT2 3 52 51 精品文档 12欢迎下载 kkk xxC 52 5 3 2 再一次使用通项公式得 rkrr k kk r xCCT 210 551 32 这里 50 kkr 50 令 即 1210 rk92 rk 所以 由此得到的系数为 1 r4 kx240324 4 5 C 解法解法 2 2 由 知的展开式中的系数为 5552 2 1 23 xxxx 5 1 xx 4 5 C 常数项为 的展开式中的系数为 常数项为 1 5 2 xx 44 5 2 C 5 2 因此原式中的系数为 x24022 44 5 54 5 CC 解法解法 3 3 将看作个三项式相乘 52 23 xx5 展开式中的系数就是从其中一个三项式中取的系数 xx33 从另外个三项式中取常数项相乘所得的积 即 424023 44 4 1 5 CC 应选 B 典型例题十九典型例题十九 例例 1919 已知的展开式中的系数为 常数的值为 9 2 x x a 3 x 4 9 a 分析 分析 利用二项式的通项公式 解 解 在的展开式中 9 2 x x a 通项公式为 r r r r x x a CT 2 9 91 9 2 3 2 9 9 2 1 1 r r rrr xaC 根据题设 所以 代入通项公式 得 39 2 3 r8 r 3 9 16 9 axT 根据题意 所以 4 9 16 9 a4 a 应填 4 典型例题二十典型例题二十 例例 2020 1 求证 nnn nnn CCC 2 3 1 3331 33221 2 若 求的 4 4 3 3 2 210 4 32 xaxaxaxaax 2 31 2 420 aaaaa 精品文档 13欢迎下载 值 分析 分析 1 注意观察的系数 指数特征 即可通 nn nnn n xCxCxCx 221 1 1 过赋值法得到证明 2 注意到 43210 2 31 2 420 aaaaaaaaaa 再用赋值法求之 43210 aaaaa 解 解 1 在公式中令 即有 nn nnn n xCxCxCx 221 1 1 3 x nn nnn n CCC 3 3 3 1 31 2211 nn nn CC3 1 331 221 等式得证 2 在展开式中 4 4 3 3 2 210 4 32 xaxaxaxaax 令 得 1 x 4 43210 32 xaaaaa 令 得 1 x 4 43210 32 aaaaa 原式 4321043210 aaaaaaaaaa 1 32 32 44 说明 说明 注意 赋值法 在证明或求值中的应用 赋值法的模式是 在某二项展开式 如 或 n n n xaxaxaabxa 2 210 baCaCba n n n n n110 222 baC n n 中 对任意的 该式恒成立 那么对中的特殊值 该工也 nn nb C Ax Aba A 一定成立 特殊值如何选取 没有一成不变的规律 需视具体情况而定 其灵活性较x 强 一般取较多 一般地 多项式的各项系数和为 奇数项系数1 1 0 x xf 1 f 和为 偶次项系数和为 二项式系数的性质 1 1 2 1 ff 1 1 2 1 ff 及的证明就是 nn nnnn CCCC2 210 1531420 2 n nnnnnn CCCCCC 赋值法应用的范例 典型例题二十一典型例题二十一 例例 2121 若 求证明 能被整除 Nn37243 32 n n 64 分析 分析 考虑先将拆成与的倍数有关的和式 再用二项式定理展开 32 3 n 8 精品文档 14欢迎下载 解 解 37243 32 n n 372433 22 n n 372493 1 n n 3724 18 3 1 n n 3724 8888 3 1 11 12 1 1 1 10 1 nCCCCC n n n n n n n n n n 3724 18 1 888 3 12 1 1 1 1 nnCC n n n n n 3724 98 8888 3 21 1 12 1 1 1 1 nnCCC n n n n n n n 3724 98 3 888 83 1 1 32 1 21 1 12 nnCCC n n n n n n n 64 888 643 32 1 21 1 1 n n n n n CC 均为自然数 1 8 n21 1 8 n n C 32 1 8 n n C 上式各项均为的整数倍 64 原式能被整除 64 说明 说明 用二项式定理证明整除问题 大体上就是这一模式 先将某项凑成与除数有关 的和式 再展开证之 该类题也可用数学归纳法证明 但不如用二项式定理证明简捷 典型例题二十二典型例题二十二 例例 2222 已知的展开式各项系数和比它的二项式系数和大 n xx 3 2 3 2 992 1 求展开式中二项式系数最大的项 2 求展开式中系数最大的项 分析 分析 先由条件列方程求出 1 需考虑二项式系数的性质 2 需列不等式确n 定 r 解 解 令得展开式的各项系数之和为 而展开式的二项式系数的和为1 x nn2 2 31 nn nnnn CCCC2 210 有 992222 nn 5 n 1 故展开式共有 其中二项式系数最大的项为第三 第四两项 5 n6 6223 3 2 2 53 90 3 xxxCT 精品文档 15欢迎下载 3 22 322 3 2 3 54 270 3 xxxCT 2 设展开式中第项的系数最大 1 r 3 410 5 25 3 2 51 3 3 r rrrrr r xCxxCT 故有 11 55 11 55 33 33 rrrr rrrr CC CC 即 1 3 5 1 6 13 rr rr 解得 2 9 2 7 rNr 即展开式中第项的系数最大 4 r5 3 26 421 3 2 4 55 405 3 xxxCT 说明 说明 展开式中二项式系数最大的项与系数最大的项是两个不同的概念 因此其求法 亦不同 前者用二项式系数的性质直接得出 后者要列不等式