(文科)立体几何题型与方法学生

转化 转化 空间几何体题型与方法归纳空间几何体题型与方法归纳 文科文科 考点一考点一 证明空间线面平行与垂直证明空间线面平行与垂直 1 如图 在直三棱柱ABC A1B1C1中 AC 3 BC 4 AA1 4 点D是AB的中点 I 求证 AC BC1 II 求证 AC 1 平面CDB1 解析 1 证明线线垂直方法有两类 一是通过三垂线定理或逆定理证明 二是通过线面垂直来证明线线垂直 2 证明线面平行也有两类 一是通过线线 平行得到线面平行 二是通过面面平行得到线面平行 答案答案 解法一解法一 I 直三棱柱 ABC A1B1C1 底面三边长 AC 3 BC 4AB 5 AC BC 且 BC1在平面 ABC 内的射影为 BC AC BC1 II 设 CB1与 C1B 的交点为 E 连结 DE D 是 AB 的中点 E 是 BC1的中点 DE AC1 DE平面 CDB1 AC1平面 CDB1 AC1 平面 CDB1 2 设 CB1与 C1B 的交战为 E 则 E 0 2 2 0 2 3 0 4 DE 2 3 1 AC DE AC1 1 2 1 ACDE 点评 2 平行问题的转化 面面平行线面平行线线平行 主要依据是有关的定义及判定定理和性质定理 2 如图所示 四棱锥 P ABCD 中 ABAD CDAD PA底面 ABCD PA AD CD 2AB 2 M 为 PC 的中点 1 求证 BM 平面 PAD 2 在侧面 PAD 内找一点 N 使 MN平面 PBD 1 是的中点 取 PD 的中点 则 MPCE 又MECD 2 1 ABCD 2 1 四边形为平行四边形 ABME BMEAPADBM平面 PADEA平面 4 分 BMPAD平面 2 由 1 知为平行四边形ABME 又ABCDPA底面 ABPA ADAB 同理 PADAB平面 PADCD平面 PAD平面 AE 为矩形 又 AEAB ABMECDMEPDCD AEPD PD ME ABME平面 PDPBDPD平面 作故 ABMEPBD平面平面 EB MFPBD平面 MF 交于 在矩形内 MFAENABME1 MEAB2 AE 为的中点 3 2 MF 2 2 NENAE 当点为的中点时 NAEBDMNP平面 3 2016 高考山东文 19 本小题满分 12 分 如图 几何体是四棱锥 为正三角形 EABCD ABD CBCD ECBD 求证 BEDE 若 M 为线段 AE 的中点 120BCD 求证 平面 DMBEC 答案 I 设中点为 O 连接 OC OE 则由知 BDBCCD COBD 又已知 所以平面 OCE CEBD BD 所以 即 OE 是 BD 的垂直平分线 BDOE 所以 BEDE II 取 AB 中点 N 连接 MN DN M 是 AE 的中点 MNBE 是等边三角形 ABDDNAB 由 BCD 120 知 CBD 30 所以 ABC 60 30 90 即 BCAB 所以 ND BC 所以平面 MND 平面 BEC 故 DM 平面 BEC 4 2016 年高考 江苏 如图 在直三棱柱中 分别是棱上的点 点 不 111 ABCABC 1111 ABAC DE 1 BCCC D 同于点 且为的中点 CADDEF 11 BC 求证 1 平面平面 ADE 11 BCC B 2 直线平面 1 AFADE 答案 证明 1 是直三棱柱 平面 111 ABCABC 1 CC ABC 又 平面 AD ABC 1 CCAD 又 平面 平面 1 ADDECCDE 111 BCC BCCDEE AD 11 BCC B 又 平面 平面平面 AD ADEADE 11 BCC B 2 为的中点 1111 ABAC F 11 BC 111 AFBC 又 平面 且平面 1 CC 111 ABC 1 AF 111 ABC 11 CCAF 又 平面 平面 111 CCBC 11 BCC B 1111 CCBCC 1 AF 111 ABC 由 1 知 平面 AD 11 BCC B 1 AFAD 又 平面平面 直线平面 AD 1 ADEAF ADE 1 AFADE 考点 直线与平面 平面与平面的位置关系 解析 1 要证平面平面 只要证平面上的平面即可 它可由已知ADE 11 BCC BADEAD 11 BCC B 是直三棱柱和证得 111 ABCABC ADDE 2 要证直线平面 只要证 平面上的即可 1 AFADE 1 AFADEAD 考点二考点二 求空间图形中距离与体积求空间图形中距离与体积 5 安徽理 17 如图 ABCDEFG为多面体 平面ABED与平面AGFD垂直 点O在线段AD上 1 2 OAOD OAB OAC ODE ODF都是正三角形 证明直线BC EF II 求棱锥 F OBED 的体积 I 综合法 证明 设 G 是线段 DA 与 EB 延长线的交点 由于 OAB 与 ODE 都是正三角形 所以 OB DE 2 1 OG OD 2 同理 设 G 是线段 DA 与线段 FC 延长线的交点 有 2 ODGO 又由于 G 和 G 都在线段 DA 的延长线上 所以 G 与 G 重合 在 GED 和 GFD 中 由OB DE 2 1 和 OC DF 2 1 可知 B 和 C 分别是 GE 和 GF 的中点 所以 BC 是 GEF 的中位线 故 BC EF 向量法 过点 F 作 ADFQ 交 AD 于点 Q 连 QE 由平面 ABED 平面 ADFC 知 FQ 平面 ABED 以 Q 为坐 标原点 QE为x轴正向 QD为 y 轴正向 QF为 z 轴正向 建立如图所示空间直角坐标系 由条件知 2 3 2 3 0 0 2 3 2 3 3 0 0 0 0 3 CBFE 则有 3 0 3 2 3 0 2 3 EFBC 所以 2BCEF 即得 BC EF II 解 由 OB 1 OE 2 2 3 60 EOB SEOB知 而 OED 是边长为 2 的正三角形 故 3 OED S 所以 2 33 OEDEOBOBED SSS 过点 F 作 FQ AD 交 AD 于点 Q 由平面 ABED 平面 ACFD 知 FQ 就是四棱锥 F OBED 的高 且 FQ 3 所以 2 3 3 1 OBEDOBEDF SFQV 6 四川 19 如图 在直三棱柱 ABC A1B1C1 中 BAC 90 AB AC AA1 1 D 是棱 CC1 上的一 P 是 AD 的延长线与 A1C1 的延长线的交点 且 PB1 平面 BDA I 求证 CD C1D 求点 C 到平面 B1DP 的距离 解析 1 连接 1 B A 交 1 BA 于O 1 B P 1 面BD A 111 B PAB PAB PDOD 1 面面面BA 1 B POD 又O为 1 B A 的中点 D 为AP中点 1 C 1 为AP 1 ACDPC D 1 C DCD D 为 1 CC 的中点 2 因为 11 C B PDB PCD VV 所以 1 11 11 33 B PDPCD h SAB S 11 1AB 11 111 244 PCDPC CPC D SSS 在 1 B DP 中 1111 95 5 352 55 44 5 cos sin 3 2255 25 2 B DB PPDDB PDB P 1 1 3531 5 2 2543 B PD Sh 7 2016 高考湖南文 19 本小题满分 12 分 如图 6 在四棱锥 P ABCD 中 PA 平面 ABCD 底面 ABCD 是等腰梯形 AD BC AC BD 证明 BD PC 若 AD 4 BC 2 直线 PD 与平面 PAC 所成的角为 30 求四棱锥 P ABCD 的体积 答案 解析 因为 PAABCD BDABCDPABD 平面平面所以 又是平面 PAC 内的两条相较直线 所以 BD平面 PAC ACBD PA AC 而平面 PAC 所以 PC BDPC 设 AC 和 BD 相交于点 O 连接 PO 由 知 BD平面 PAC 所以是直线 PD 和平面 PAC 所成的角 从而 DPO DPO 30 由 BD平面 PAC 平面 PAC 知 PO BDPO 在中 由 得 PD 2OD RtPODADPO 30 因为四边形 ABCD 为等腰梯形 所以均为等腰直角三角形 ACBD AODBOCAA 从而梯形 ABCD 的高为于是梯形 ABCD 面积 111 42 3 222 ADBC 1 42 39 2 S 在等腰三角形 中 2 2 2 2 ODAD 所以 22 24 2 4 PDODPAPDAD 故四棱锥的体积为 PABCD 11 9 412 33 VSPA 8 2014 高考广东文 18 本小题满分 13 分 如图 5 所示 在四棱锥中 平面 是的中点 是PABCD AB PAD ABCDPDAD EPBF 上的点且 为 中边上的高 CD 1 2 DFAB PHPADAD 1 证明 平面 PH ABCD 2 若 求三棱1PH 2AD 1FC 锥的体积 EBCF 3 证明 平面 EF PAB 解析 1 证明 因为平面 AB PAD 所以 PHAB 因为为 中边上的高 PHPADAD 所以 PHAD 因为 ABADA 所以平面 PH ABCD 2 连结 取中点 连结 BHBHGEG 因为是的中点 EPB 所以 EGPH 因为平面 PH ABCD 所以平面 EG ABCD 则 11 22 EGPH 11 1 33 2 E BCFBCF VSEGFC AD EG 2 12 3 证明 取中点 连结 PAMMDME 因为是的中点 EPB 所以 1 2 MEAB 因为 1 2 DFAB 所以 MEDF 所以四边形是平行四边形 MEDF 所以 EFMD 因为 PDAD 所以 MDPA 因为平面 AB PAD 所以 MDAB 因为 PAABA 所以平面 MD PAB 所以平面 EF PAB 9 2015 高考陕西文 18 本小题满分 12 分 直三棱柱 ABC A1B1C1中 AB A A1 CAB 2 证明 11 BACB 已知 AB 2 BC 求三棱锥的体积5 11 CAAB 解析 如图 连结 1 AB 111 ABCABC 是直三棱柱 CAB 2 来源 AC 平面 11 ABB A 故 1 ACBA 又 1 ABAA 四边形 11 ABB A是正方形 11 BAAB 又 1 CAABA 1 BA 平面 1 CAB 故 11 CBBA 1 2ABAA 5BC 11 1ACAC 由 知 11 AC 平面 1 ABA 11 1 3 CABA V S 1 ABA 11 AC 12 2 1 33 10 2016 高考辽宁文 18 本小题满分 12 分 如图 直三棱柱 AA 1 点M N分别为和的中点 ABCA B C 90BAC 2 ABAC A B B C 证明 平面 MN A ACC 求三棱锥的体积 AMNC 椎体体积公式 V Sh 其中 S 为地面面积 h 为高 1 3 命题意图命题意图 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定 棱锥体积的计算 考查空间想象能力 推 理论证能力 运算求解能力 难度适中 解析 1 法一 连结 AB AC 由已知 90 BACAB AC 三棱柱 ABC ABC为直三棱柱 所以M为 AB中点 又因为N为 BC中点 所以 MN AC 又MN 平面 AACC AC 平面 AACC 因此 MNAACC平面 6 分 法二 法二 取A B 的中点为 P 连结 MP NP M N分别为 A B和 B C的中点 MP AA NP A C MP 面A ACC NP 面A ACC MPNPP 面 MPN 面A ACC MN 面A ACC MN 面A ACC 解法一 连结 BN 由题意A N B C 面A B C 面B BCC B C A N 面 NBC A N 1 2 B C 1 111 226 AMNCNA MCNA BCANBC VVVV 解法 2 111 226 AMNCANBCMNBCANBC VVVV 解析解析 本题以三棱柱为载体主要考查空间中的线面平行的判定 棱锥体积的计算 考查空间想象能力 推理论 证能力 运算求解能力 难度适中 第一小题可以通过线线平行来证明线面平行 也可通过面面平行来证明 第 二小题求体积根据条件选择合适的底面是关键 也可以采用割补发来球体积 11 2016 高考新课标文 19 本小题满分 12 分 如图 三棱柱 ABC A1B1C1中 侧棱垂直底面 ACB 90 AC BC AA1 D 是棱 AA1的中点 1 2 证明 平面 BDC1 平面 BDC 平面 BDC1分此棱柱为两部分 求这两部分体积的比 命题意图 本题主要考查空间线线 线面 面面垂直的判定与性 质及几何体的体积计算 考查空间想象能力 逻辑推理能力 是简单题 解析 由题设知 BC 1 CC BC AC 1 CCACC BC 面 11 ACC A 又 1 DC 面 11 ACC A 1 DCBC 由题设知 0 11 45ADCADC 1 CDC 0 90 即 1 DCDC 又 DCBCC 1 DC 面BDC 1 DC 面 1 BDC 面BDC 面 1 BDC 设棱锥 1 BDACC 的体积为 1 V AC 1 由题意得 1 V 112 1 1 32 1 2 由三棱柱 111 ABCABC 的体积V 1 11 VVV 1 1 平面 1 BDC分此棱柱为两部分体积之比为 1 1 考点三考点三 探索性问题探索性问题 12 如图 1 45ACB 3BC 过动点A作ADBC 垂足D在线段BC上且异于点B 连接AB 沿AD将 ABD折起 使90BDC 如图 2 所示 当BD的长为多少时 三棱锥ABCD 的体积最大 当三棱锥ABCD 的体积最大时 设点E M分别为棱BC AC的中点 试在 棱CD上确定一点N 使得EN BM 考点分析 本题考察立体几何线面的基本关系 考察如何取到最值 用均值不等式和导数均可求最值 同时考察直线 与平面所成角 本题可用综合法和空间向量法都可以 运用空间向量法对计算的要求要高些 解析 D A BC A C D B 图 2 图 1 M E B1 C B A D C1 A1 解法 1 在如图 1 所示的 ABC中 设 03 BDxx 则3CDx 由ADBC 45ACB 知 ADC为等腰直角三角形 所以3ADCDx 由折起前ADBC 知 折起后 如图 2 ADDC ADBD 且BDDCD 所以AD 平面BCD 又90BDC 所以 11 3 22 BCD SBD CDxx 于是 1111 3 3 2 3 3 33212 A BCDBCD VAD Sxxxxxx 3 12 3 3 2 1233 xxx 当且仅当23xx 即1x 时 等号成立 故当1x 即1BD 时 三棱锥ABCD 的体积最大 解法 2 同解法 1 得 32 1111 3 3 69 3326 A BCDBCD VAD Sxxxxxx 令 32 1 69 6 f xxxx 由 1 1 3 0 2 fxxx 且03x 解得1x 当 0 1 x 时 0fx 当 1 3 x 时 0fx 所以当1x 时 f x取得最大值 故当1BD 时 三棱锥ABCD 的体积最大 解法 2 由 知 当三棱锥ABCD 的体积最大时 1BD 2ADCD 如图b 取CD的中点F 连结MF BF EF 则MF AD 由 知AD 平面BCD 所以MF 平面BCD 如图c 延长FE至P点使得FPDB 连BP DP 则四边形DBPF为正方形 所以DPBF 取DF的中点N 连结EN 又E为FP的中点 则EN DP 所以ENBF 因为MF 平面BCD 又EN 面BCD 所以MFEN 又MFBFF 所以EN 面BMF 又BM 面BMF 所以ENBM 因为ENBM 当且仅当ENBF 而点F是唯一的 所以点N是唯一的 C A D B 图 a E M x y z 图 b C A D B E F M N 图 c B D P C F N E B G M N E H 图 d N 即当 1 2 DN 即N是CD的靠近点D的一个四等分点 ENBM 连接MN ME 由计算得 5 2 NBNMEBEM 所以 NMB与 EMB是两个共底边的全等的等腰三角形 如图d所示 取BM的中点G 连接EG NG 则BM 平面EGN 在平面EGN中 过点E作EHGN 于H 则EH 平面BMN 故ENH 是EN与平面BMN所成的角 在 EGN中 易得 2 2 EGGNNE 所以 EGN是正三角形 13 2106 高考福建文 19 本小题满分 12 分 如图 在长方体 ABCD A1B1C1D1中 AB AD 1 AA1 2 M 为棱 DD1上的一点 1 求三棱锥 A MCC1的体积 2 当 A1M MC 取得最小值时 求证 B1M 平面 MAC 解答 解答 I 点A到面 1 MCC的距离为1AD 得 三棱锥 1 MCCA 的体积 1 1 1111 3323 MCC VSADCCCDAD II 将矩形 11 DDC C饶 1 DD按逆时针旋转90 展开 与矩形 11 DD A A共面 11 AMMCAC 当且仅当点M是棱 1 DD的中点时 MCMA 1 取得最小值 在 1 MB A 中 222 1111111 2 5 3MAABMBBCC DD M 得 222 111 ABMAMBMAMB 同理 11 MCMB MCMAMB M 面MAC 14 2102 高考北京文 16 本小题共 14 分 如图 1 在 Rt ABC 中 C 90 D E 分别为 AC AB 的中点 点 F 为线段 CD 上的一点 将 ADE 沿 DE 折起到 A1DE 的位置 使 A1F CD 如图 2 I 求证 DE 平面 A1CB II 求证 A1F BE III 线段 A1B 上是否存在点 Q 使 A1C 平面 DEQ 说明理由 考点定位 本题第二问是对基本功的考查 对于知识掌握不牢靠的学生可能不能顺利解决 第三问的创新式问 法 难度比较大 解 1 因为 D E 分别为 AC AB 的中点 所以 DE BC 又因为 DE 平面 A1CB 所以 DE 平面 A1CB 2 由已知得 AC BC 且 DE BC 所以 DE AC 所以 DE A1D DE CD 所以 DE 平面 A1DC 而 A1F 平面 A1DC 所以 DE A1F 又因为 A1F CD 所以 A1F 平面 BCDE 所以 A1F BE 3 线段 A1B 上存在点 Q 使 A1C 平面 DEQ 理由如下 如图 分别取 A1C A1B 的中点 P Q 则 PQ BC 又因为 DE BC 所以 DE PQ 所以平面 DEQ 即为平面 DEP 由 2 知 DE 平面 A1DC 所以 DE A1C 又因为 P 是等腰三角形 DA1C 底边 A1C 的中点 所以 A1C DP 所以 A1C 平面 DEP 从而 A1C 平面 DEQ 故线段 A1B 上存在点 Q 使得 A1C 平面 DEQ 考点四考点四 折叠 展开问题折叠 展开问题 1515 已知正方形 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 分别是 的中点 将沿折起 如图所示 记二面角ABCDEFABCDADEADE 的大小为 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ADEC 0 I 证明平面 BFAD E II 若为正三角形 试判断点在平面ACDAA 内的射影是否在直线上 证明你的结论 BCDEGEF 分析 充分发挥空间想像能力 重点抓住不变的位置和数量关系 借助模型图形得出结论 并给出证明 解解 I 证明 EF 分别为正方形 ABCD 得边 AB CD 的中点 EB FD 且 EB FD 四边形 EBFD 为平行四边形 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 BF ED 平面 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 EFAEDBFAED 平面而平面 BFAD E II 如右图 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 过点 A 作 AG 垂直于 平面 BCDE 垂足为 G 连结 GC GD 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 ACD 为正三角形 AC AD A E B C F D G CG GD G 在 CD 的垂直平分线上 点 A 在平面 BCDE 内的射影 G 在直线 EF 上 过 G 作 GH 垂直于 ED 于 H 连结 AH 则 所以为二面角 A DE C 的平面角 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 即 AHDE AHD GAH 设原正方体的边长为 2a 连结 AF 在折后图的AEF 中 AF EF 2AE 2a 即AEF 为直角三角形 3a AG EFAE AF 在 RtADE 中 3 2 AGa AH DEAE AD 2 5 AHa 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 wxckt wxckt 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 头 2 5 a GH 1 cos 4 GH AH 点评 在平面图形翻折成空间图形的这类折叠问题中 一般来说 位于同一平面内的几何元素相对位置和数 量关系不变 位于两个不同平面内的元素 位置和数量关系要发生变化 翻折问题常用的添辅助线的方法是作棱 的垂线 关键要抓不变的量 16 2012 高考江西文 19 本小题满分 12 分 如图 在梯形 ABCD 中 AB CD E F 是线段 AB 上的两点 且 DE AB CF AB AB 12 AD 5 BC 4 2 DE 4 现将 ADE CFB 分别沿 DE CF 折起 使 A B 两点重合与点 G 得到多面体 CDEFG 2 求证 平面 DEG 平面 CFG 3 求多面体 CDEFG 的体积 解析 1 由已知可得 AE 3 BF 4 则折叠完后 EG 3 GF 4 又因为 EF 5 所以可得EGGF 又因为CFEGF 底面 可得CFEG 即EGCFG 面所以平面 DEG 平面 CFG 2 过 G 作 GO 垂直于 EF GO 即为四棱锥 G EFCD 的高 所以所求体积为 1112 5 520 335 DECF SGO 正方形 考点五考点五 球体与多面体的组合问题球体与多面体的组合问题 1717 设棱锥 M ABCD 的底面是正方形 且 MA MD MA AB 如果 AMD 的面积为 1 试求能够放入这个棱锥的 最大球的半径 分析 关键是找出球心所在的三角形 求出内切圆半径分析 关键是找出球心所在的三角形 求出内切圆半径 解 解 AB AD AB MA AB 平面 MAD 由此 面 MAD 面 AC 记 E 是 AD 的中点 从而 ME AD ME 平面 AC