2015专题五：函数与导数(含近年高考试题)

20152015 年高考专题系列 函数与导数年高考专题系列 函数与导数 函数导数的内容在历年高考中主要集中在切线方程 导数的计算 利用导数判断函数的单调性 极值 最 值等问题 以及与不等式 三角函数 数列 立体几何 解析几何等知识相联系的综合题目 类型有交点个数 恒成立等问题 其中渗透并充分利用构造函数 分类讨论 转化与划归 数形结合等重要的思想方法 主要考 察导数的工具性作用 在解题中常用的有关结论在解题中常用的有关结论 需要熟记需要熟记 1 曲线在处的切线的斜率等于 切线方程为 yf x 0 xx 000 yfxxxf x 2 若可导函数在 处取得极值 则 反之 不成立 yf x 0 xx 0 0fx 3 对于可导函数 不等式的解集决定函数的递增 减 区间 f x fx 0 0 f x 4 函数在区间 I 上递增 减 的充要条件是 恒成立 f xxI 5 函数在区间 I 上不单调等价于在区间 I 上有极值 则可等价转化为方程 f x f x 在区间 I 上有实根且为非二重根 若为二次函数且 I R 则有 0fx fx 0 6 在区间 I 上无极值等价于在区间在上是单调函数 进而得到或 f x f x fx 0 在 I 上恒成立 fx 0 7 若 恒成立 则 若 恒成立 则 xI f x0 0 xI f x0 0 8 若 使得 则 若 使得 则 0 xI 0 f x0 0 0 xI 0 f x0 0 9 设与的定义域的交集为 D 若D 恒成立则有 f x g xx f xg x min 0f xg x 10 若对 恒成立 则 11 xI 22 xI 12 f xg x minmax f xg x 若对 使得 则 11 xI 22 xI 12 f xg x minmin f xg x 若对 使得 则 11 xI 22 xI 12 f xg x maxmax f xg x 11 已知在区间 上的值域为 A 在区间上值域为 B f x 1 I g x 2 I 若对 使得 成立 则 11 xI 22 xI 1 f x 2 g xAB 12 若三次函数 f x 有三个零点 则方程有两个不等实根 且极大值大 0fx 12 xx 于 0 极小值小于 0 考点一 导数几何意义 考点一 导数几何意义 例 1 2014 新课标全国 卷 设函数 曲线在点 1 处的切线为 1 ln x x be f xaex x yf x 1 f 1 求的值 1 2ye x a b 考点二 判断函数单调性 求函数的单调区间 考点二 判断函数单调性 求函数的单调区间 例 2 2014 新课标山东卷 设函数 为常数 是自然对数的底数 2 2 ln x e f xkx xx k2 71828e 当时 求函数的单调区间 0k f x 考点三 用导数解决函数的极值问题考点三 用导数解决函数的极值问题 1 2014 新课标江西卷 已知函数 1 当时 求的极值 A B 组同学做 组同学做 2013 福建高考节选 已知函数 f x x 1 a R e 为自然对数的底数 a ex 1 若曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线平行于 x 轴 求 a 的值 2 求函数 f x 的极值 分类讨论 分类讨论 13 福建 解 1 由 f x x 1 得 f x 1 又曲线 y f x 在点 1 f 1 处的切线平行于 x 轴 a ex a ex 得 f 1 0 即 1 0 解得 a e 2 f x 1 a e a ex 当 a 0 时 f x 0 f x 为 上的增函数 所以函数 f x 无极值 当 a 0 时 令 f x 0 得 ex a 即 x ln a x ln a f x 0 所以 f x 在 ln a 上单调递减 在 ln a 上单调递增 故 f x 在 x ln a 处取得极小值 且极小值为 f ln a ln a 无极大值 综上 当 a 0 时 函数 f x 无极值 当 a 0 时 f x 在 x ln a 处取得极小值 ln a 无极大值 考点四 已知函数的单调性求参数的范围考点四 已知函数的单调性求参数的范围 典例 已知函数 f x ln x a2x2 ax a R 若函数 f x 在区间 1 上是减函数 求实数 a 的取值范围 分类讨论 分类讨论 考点五 运用导数解决函数的最值问题 例 5 设函数 f x aln x bx2 x 0 若函数 f x 在 x 1 处与直线 y 相切 1 2 1 求实数 a b 的值 2 求函数 f x 在上的最大值 1 e e 最值突破题 1 已知函数 f x ln x ax a R 求函数 f x 的单调区间 2 当 a 0 时 求函数 f x 在 1 2 上的最小值 2 2013 全国卷 设函数 f x x2 ax b g x ex cx d 若曲线 y f x 和曲线 y g x 都过点 P 0 2 且在 点 P 处有相同的切线 y 4x 2 1 求 a b c d 的值 2 若 x 2 时 f x kg x 求 k 的取值范围 针对训练针对训练 1 2014 新课标重庆卷 已知函数 22 xx f xaebecx a b cR 的导函数 fx 为偶函数 且曲线 yf x 在点 0 0 f 处的切线的斜率为4 c 1 确定 a b的值 2 若 3c 判断 f x 的单调性 2 2014 新课标福建卷 已知函数 为常数 的图像与轴交于点 曲线在点 axexf x ayA xfy 处的切线斜率为 1 I 求的值及函数的极值 Aa xf 3 2014 新课标安徽卷 设函数 其中 a 0 23 1 f xxxx 1 a I 讨论 在其定义域上的单调性 f x 4 2014 新课标湖南卷 已知常数 2 0 ln 1 2 x af xax x 函数 1 讨论 f x在区间 0 上的单调性 总结 最值拔高题 已知函数 f x ln x ax a R 1 求函数 f x 的单调区间 2 当 a 0 时 求函数 f x 在 1 2 上的最小值 解 1 f x a x 0 当 a 0 时 f x a 0 即函数 f x 的单调增区间为 0 1 x 1 x 当 a 0 时 令 f x a 0 可得 x 当 0 x0 1 x 1 a 1 a 1 ax x 当 x 时 f x 0 故函数 f x 的单调递增区间为 单调递减区间为 1 a 1 ax x 0 1 a 1 a 2 当 1 即 a 1 时 函数 f x 在区间 1 2 上是减函数 f x 的最小值是 f 2 ln 2 2a 1 a 当 2 即 0 a 时 函数 f x 在区间 1 2 上是增函数 f x 的最小值是 f 1 a 1 a 1 2 当 1 2 即 a 1 时 函数 f x 在上是增函数 在上是减函数 又 f 2 f 1 ln 2 a 1 a 1 2 1 1 a 1 a 2 当 a ln 2 时 最小值是 f 1 a 当 ln 2 a 1 时 最小值为 f 2 ln 2 2a 1 2 综上可知 当 0 a ln 2 时 函数 f x 的最小值是 a 当 a ln 2 时 函数 f x 的最小值是 ln 2 2a 2013 全国卷 设函数 f x x2 ax b g x ex cx d 若曲线 y f x 和曲线 y g x 都过点 P 0 2 且在 点 P 处有相同的切线 y 4x 2 1 求 a b c d 的值 2 若 x 2 时 f x kg x 求 k 的取值范围 解 1 由已知得 f 0 2 g 0 2 f 0 4 g 0 4 而 f x 2x a g x ex cx d c 故 b 2 d 2 a 4 d c 4 从而 a 4 b 2 c 2 d 2 2 由 1 知 f x x2 4x 2 g x 2ex x 1 设函数 F x kg x f x 2kex x 1 x2 4x 2 则 F x 2kex x 2 2x 4 2 x 2 kex 1 由题设可得 F 0 0 即 k 1 令 F x 0 得 x1 ln k x2 2 若 1 k e2 则 2 x1 0 从而当 x 2 x1 时 F x 0 当 x x1 时 F x 0 即 F x 在 2 x1 上单调递减 在 x1 上单调递增 故 F x 在 2 上的最小值为 F x1 而 F x1 2x1 2 x 4x1 2 x1 x1 2 0 2 1 故当 x 2 时 F x 0 即 f