小学奥数-几何五大模型(等高模型)

page 1 of 32 模型一模型一 三角形等高模型三角形等高模型 已经知道三角形面积的计算公式 三角形面积底 高 2 从这个公式我们可以发现 三角形面积的大小 取决于三角形底和高的乘积 如果三角形的底不变 高越大 小 三角形面积也就越大 小 如果三角形的高不变 底越大 小 三角形面积也就越大 小 这说明当三角形的面积变化时 它的底和高之中至少有一个要发生变化 但是 当三角形的底和高同时 发生变化时 三角形的面积不一定变化 比如当高变为原来的 3 倍 底变为原来的 则三角形面积与原来 1 3 的一样 这就是说 一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积 而不仅仅取决于高或底的变 化 同时也告诉我们 一个三角形在面积不改变的情况下 可以有无数多个不同的形状 在实际问题的研究中 我们还会常常用到以下结论 等底等高的两个三角形面积相等 两个三角形高相等 面积比等于它们的底之比 两个三角形底相等 面积比等于它们的高之比 如图 12 SSa b ba S2S1 DC BA 夹在一组平行线之间的等积变形 如右上图 ACDBCD SS 反之 如果 则可知直线平行于 ACDBCD SS ABCD 等底等高的两个平行四边形面积相等 长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 两个平行四边形高相等 面积比等于它们的底之比 两个平行四边形底相等 面积比等于它们的高之比 三角形等高模型与鸟头模型三角形等高模型与鸟头模型 page 2 of 32 例例 1 你有多少种方法将任意一个三角形分成 你有多少种方法将任意一个三角形分成 3 个面积相等的三角形 个面积相等的三角形 4 个面积相等的三角形 个面积相等的三角形 6 个面积相等的三角形 个面积相等的三角形 解析 如下图 D E 是 BC 的三等分点 F G 分别是对应线段的中点 答案不唯一 C ED B A F CDB A G D C B A 如下图 答案不唯一 以下仅供参考 如下图 答案不唯一 以下仅供参考 例例 2 如图 如图 BD 长长 12 厘米 厘米 DC 长长 4 厘米 厘米 B C 和和 D 在同一条直线上 在同一条直线上 求三角形求三角形 ABC 的面积是三角形的面积是三角形 ABD 面积的多少倍 面积的多少倍 求三角形求三角形 ABD 的面积是三角形的面积是三角形 ADC 面积的多少倍 面积的多少倍 解析 因为三角形 ABD 三角形 ABC 和三角形 ADC 在分别以 BD BC 和 DC 为底时 它们的高都是从 A 点向 BC 边上所作的垂线 也就是说三个三角形的高相等 于是 三角形 ABD 的面积高高12 26 三角形 ABC 的面积高高124 28 三角形 ADC 的面积高高4 22 所以 三角形 ABC 的面积是三角形 ABD 面积的倍 4 3 三角形 ABD 的面积是三角形 ADC 面积的 3 倍 例例 3 如右图 如右图 和和都是矩形 都是矩形 的长是的长是厘米 厘米 的长是的长是 厘米 那么图中阴影部分的面厘米 那么图中阴影部分的面ABFECDEFAB4BC3 积是积是 平方厘米 平方厘米 AB C D E F 解析 图中阴影部分的面积等于长方形面积的一半 即 平方厘米 ABCD4326 巩固巩固 2009 年四中小升初入学测试题年四中小升初入学测试题 如图所示 平行四边形的面积是如图所示 平行四边形的面积是 50 平方厘米 则阴影部分的面积平方厘米 则阴影部分的面积 是是 平方厘米 平方厘米 C D B A page 3 of 32 解析 根据面积比例模型 可知图中空白三角形面积等于平行四边形面积的一半 所以阴影部分的面积也 等于平行四边形面积的一半 为平方厘米 50225 巩固巩固 如下图 长方形如下图 长方形和长方形和长方形拼成了长方形拼成了长方形 长方形 长方形的长是的长是 20 宽是 宽是 12 AFEBFDCEABCDABCD 则它内部阴影部分的面积是则它内部阴影部分的面积是 FE DC B A 解析 根据面积比例模型可知阴影部分面积等于长方形面积的一半 为 1 20 12120 2 例例 4 如图 长方形如图 长方形的面积是的面积是平方厘米 点平方厘米 点 分别是长方形分别是长方形边上的中点 边上的中点 为为ABCD56EFGABCDH 边上的任意一点 求阴影部分的面积 边上的任意一点 求阴影部分的面积 AD H G F E D CB A H G F E D CB A 解析 本题是等底等高的两个三角形面积相等的应用 连接 BHCH AEEB AEHBEH SS 同理 BFHCFH SS S S CGHDGHAA 平方厘米 11 5628 22 ABCD SS 阴影长方形 巩固巩固 图中的图中的 分别是正方形分别是正方形三条边的三等分点 如果正方形的边长是三条边的三等分点 如果正方形的边长是 那么阴影部 那么阴影部EFGABCD12 分的面积是分的面积是 E D G C F B A 6 5 4 3 2 1 HA B F C G D E 解析 把另外三个三等分点标出之后 正方形的 个边就都被分成了相等的三段 把和这些分点以及正3H 方形的顶点相连 把整个正方形分割成了个形状各不相同的三角形 这个三角形的底边分别是99 在正方形的 个边上 它们的长度都是正方形边长的三分之一 阴影部分被分割成了 个三角形 33 右边三角形的面积和第 第个三角形相等 中间三角形的面积和第 第个三角形相等 左边三角1234 page 4 of 32 形的面积和第个第个三角形相等 56 因此这 个阴影三角形的面积分别是 和的三分之一 因此全部阴影的总面积就3ABHBCHCDH 等于正方形面积的三分之一 正方形的面积是 阴影部分的面积就是 14448 例例 5 长方形长方形的面积为的面积为 36 为各边中点 为各边中点 为为边上任意一点 问阴影部分面边上任意一点 问阴影部分面ABCD 2 cmEFGHAD 积是多少 积是多少 H G F E D C B A 解析 解法一 寻找可利用的条件 连接 如下图 BHHC H G F E D C B A 可得 而 1 2 EHBAHB SS 1 2 FHBCHB SS 1 2 DHGDHC SS 36 ABCDAHBCHBCHD SSSS 即 11 3618 22 EHBBHFDHGAHBCHBCHD SSSSSS 而 EHBBHFDHGEBF SSSSS 阴影 11111 364 5 22228 EBF SBEBFABBC 所以阴影部分的面积是 18184 513 5 EBF SS 阴影 解法二 特殊点法 找的特殊点 把点与点重合 HHD 那么图形就可变成右图 G A B C D E F H 这样阴影部分的面积就是的面积 根据鸟头定理 则有 DEF 1111111 3636363613 5 2222222 ABCDAEDBEFCFD SSSSS 阴影 例例 6 长方形长方形的面积为的面积为 3636 为各边中点 为各边中点 为为边上任意一点 问阴影部分面积是边上任意一点 问阴影部分面积是ABCDEFGHAD 多少 多少 H G F E D C B A page 5 of 32 H G F E D CB A H G F E D C B A 解析 法 1 特殊点法 由于为边上任意一点 找的特殊点 把点与点重合 如左上图 HADHHA 那么阴影部分的面积就是与的面积之和 而这两个三角形的面积分别为长方形AEF ADG 面积的和 所以阴影部分面积为长方形面积的 为 ABCD 1 8 1 4 ABCD 113 848 3 3613 5 8 法 2 寻找可利用的条件 连接 如右上图 BHHC 可得 而 1 2 EHBAHB SS 1 2 FHBCHB SS 1 2 DHGDHC SS 36 ABCDAHBCHBCHD SSSS 即 11 3618 22 EHBBHFDHGAHBCHBCHD SSSSSS 而 EHBBHFDHGEBF SSSSS 阴影 11111 364 5 22228 EBF SBEBFABBC 所以阴影部分的面积是 18184 513 5 EBF SS 阴影 巩固巩固 在边长为在边长为 6 6 厘米的正方形厘米的正方形内任取一点内任取一点 将正方形的一组对边二等分 另一组对边三等分 将正方形的一组对边二等分 另一组对边三等分 ABCDP 分别与分别与点连接点连接 求阴影部分面积 求阴影部分面积 P P D C B A A B C D P P D C B A 解析 法 1 特殊点法 由于是正方形内部任意一点 可采用特殊点法 假设点与点重合 则阴PPA 影部分变为如上中图所示 图中的两个阴影三角形的面积分别占正方形面积的和 所以阴影部 1 4 1 6 分的面积为平方厘米 2 11 6 15 46 法 2 连接 PAPC 由于与的面积之和等于正方形面积的一半 所以上 下两个阴影三角形的面积PAD PBC ABCD 之和等于正方形面积的 同理可知左 右两个阴影三角形的面积之和等于正方形面ABCD 1 4 ABCD 积的 所以阴影部分的面积为平方厘米 1 6 2 11 6 15 46 例例 7 如右图 如右图 E 在在 AD 上 上 AD 垂直垂直 BC 厘米 厘米 厘米 求三角形厘米 求三角形 ABC 的面积是三角形的面积是三角形12AD 3DE EBC 面积的几倍 面积的几倍 page 6 of 32 E D CB A 解析 因为 AD 垂直于 BC 所以当 BC 为三角形 ABC 和三角形 EBC 的底时 AD 是三角形 ABC 的高 ED 是三角形 EBC 的高 于是 三角形 ABC 的面积1226BCBC 三角形 EBC 的面积321 5BCBC 所以三角形 ABC 的面积是三角形 EBC 的面积的 4 倍 例例 8 如图 在平行四边形如图 在平行四边形 ABCD 中 中 EF 平行平行 AC 连结 连结 BE AE CF BF 那么与那么与BEC 等积的三角形等积的三角形A 一共有哪几个三角形 一共有哪几个三角形 F D E C B A 解析 AEC AFC ABF AAA 巩固巩固 如图 在如图 在ABC 中 中 D 是是 BC 中点 中点 E 是是 AD 中点 连结中点 连结 BE CE 那么与 那么与ABE 等积的三角形一共等积的三角形一共AA 有哪几个三角形 有哪几个三角形 E D CB A 解析 3 个 AEC BED DEC AAA 巩固巩固 如图 在梯形如图 在梯形 ABCD 中 共有八个三角形 其中面积相等的三角形共有哪几对 中 共有八个三角形 其中面积相等的三角形共有哪几对 O D CB A 解析 ABD 与ACD ABC 与DBC ABO 与DCO AAAAAA 例例 9 第四届第四届 迎春杯迎春杯 试题试题 如图 三角形如图 三角形的面积为的面积为 1 其中 其中 三角形 三角形ABC3AEAB 2BDBC 的面积是多少 的面积是多少 BDE A B E C D D C E B A 解析 连接 CE3AEAB 2BEAB 2 BCEACB SS AA 又 2BDBC 244 BDEBCEABC SSS AAA 例例 10 2008 年四中考题年四中考题 如右图 如右图 已知阴影部分面积为 已知阴影部分面积为 5 平方厘米 平方厘米 ADDB AEEFFC 的面积是的面积是 平方厘米 平方厘米 ABC page 7 of 32 FE D C B A FE D C B A 解析 连接 根据题意可知 的面积为面积的 的面积为面积的 所CDDEF DAC 1 3 DAC ABC 1 2 以的面积为面积的 而的面积为 5 平方厘米 所以的面积为DEF ABC 111 236 DEF ABC 平方厘米 1 530 6 巩固巩固 图中三角形图中三角形的面积是的面积是 180 平方厘米 平方厘米 是是的中点 的中点 的长是的长是长的长的 3 倍 倍 的长是的长是ABCDBCADAEEF 长的长的 3 倍 那么三角形倍 那么三角形的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 BFAEF F E D CB A 解析 等高 所以面积的比为底的比 有 ABDAABCA 1 2 ABD ABC SBD SBC A A 所以 平方厘米 同理有 平方厘米 ABD SA 11 18090 22 ABC S A 1 9030 3 ABEABD AE SS AD AA 平方厘米 即三角形的面积是 22 5 平方厘米 3 4 AFEABE FE SS BE AA 3022 5 AEF 巩固巩固 如图 在长方形如图 在长方形中 中 是是的中点 的中点 是是的中点 如果的中点 如果厘米 厘米 厘米 厘米 ABCDYBDZDY24AB 8BC 求三角形求三角形的面积 的面积 ZCY AB CD Z Y 解析 是的中点 是的中点 YBDZDY 11 22 ZYDB 1 4 ZCYDCB SS AA 又 是长方形 平方厘米 ABCD 111 24 442 ZCYDCBABCD SSS AAA 巩固巩固 如图 三角形如图 三角形 ABC 的面积是的面积是 24 D E 和和 F 分别是分别是 BC AC 和和 AD 的中点 求三角形的中点 求三角形 DEF 的面的面 积 积 FE D C B A 解析 三角形 ADC 的面积是三角形 ABC 面积的一半 24212 三角形 ADE 又是三角形 ADC 面积的一半 1226 page 8 of 32 三角形 FED 的面积是三角形 ADE 面积的一半 所以三角形 FED 的面积 623 巩固巩固 如图 在三角形如图 在三角形 ABC 中 中 厘米 高是厘米 高是 6 厘米 厘米 E F 分别为分别为 AB 和和 AC 的中点 那么三角形的中点 那么三角形8BC EBF 的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 F E C B A 解析 是的中点FAC 2 ABCABF SS AA 同理2 ABFBEF SS AA 平方厘米 486246 BEFABC SS AA 例例 11 如图如图 ABCD 是一个长方形 点是一个长方形 点 E F 和和 G 分别是它们所在边的中点 如果长方形的面积是分别是它们所在边的中点 如果长方形的面积是 36 个平方单位 求三角形个平方单位 求三角形 EFG 的面积是多少个平方单位 的面积是多少个平方单位 FE G D C B A FE G D C B A 解析 如右图分割后可得 平方单位 243649 EFGDEFCABCD SSS A矩形矩形 巩固巩固 97 迎春杯决赛迎春杯决赛 如图 长方形如图 长方形的面积是的面积是 是是边的中点 边的中点 在在边上 且边上 且ABCD1MADNAB 那么 阴影部分的面积是多少 那么 阴影部分的面积是多少 2ANBN A N B M D CC D M B N A 解析 连接 因为是中点所以的面积为又因为 所以的面积为BMMABM 1 4 2ANBN BDC 又因为面积为 所以阴影部分的面积为 111 4312 BDC 1 2 115 1 12212 例例 12 如图 大长方形由面积是如图 大长方形由面积是 12 平方厘米 平方厘米 24 平方厘米 平方厘米 36 平方厘米 平方厘米 48 平方厘米的四个小长平方厘米的四个小长 方形组合而成 求阴影部分的面积 方形组合而成 求阴影部分的面积 48cm2 24cm2 36cm2 12cm2 M N DC BA 12cm2 36cm2 24cm2 48cm2 解析 如图 将大长方形的长的长度设为 1 则 121 12364 AB 241 24483 CD 所以 阴影部分面积为 111 3412 MN 2 11 12243648 5 cm 212 page 9 of 32 例例 13 如图 三角形如图 三角形中 中 三角形 三角形 ADE 的面积是的面积是 20 平方厘米 三角形平方厘米 三角形ABC2DCBD 3CEAE 的面积是多少 的面积是多少 ABC E D C B A 解析 3CEAE 4ACAE 4 ADCADE SS AA 又 平方厘米 2DCBD 1 5BCDC 1 56120 ABCADCADE SSS AAA 例例 14 2009 年第七届年第七届 希望杯希望杯 二试六年级二试六年级 如图 在三角形如图 在三角形中 已知三角形中 已知三角形 三角形 三角形ABCADE 三角形 三角形的面积分别是的面积分别是 89 28 26 那么三角形 那么三角形的面积是的面积是 DCEBCDDBE E D C B A 解析 根据题意可知 8928117 ADCADEDCE SSS 所以 26 1172 9 BDCADC BD ADSS 那么 2 9 DBEADE SSBD AD 故 2227 89 901 2019 9999 DBE S 例例 15 第四届第四届 小数报小数报 数学竞赛数学竞赛 如图 梯形如图 梯形 ABCD 被它的一条对角线被它的一条对角线 BD 分成了两部分 三角形分成了两部分 三角形 BDC 的面积比三角形的面积比三角形 ABD 的面积大的面积大 10 平方分米 已知梯形的上底与下底的长度之和是平方分米 已知梯形的上底与下底的长度之和是 15 分米 分米 它们的差是它们的差是 5 分米 求梯形分米 求梯形 ABCD 的面积 的面积 D C B A E h A B C D 解析 如右图 作 AB 的平行线 DE 三角形 BDE 的面积与三角形 ABD 的面积相等 三角形 DEC 的面积 就是三角形 BDC 与三角形 ABD 的面积差 10 平方分米 从而 可求出梯形高 三角形 DEC 的高 是 分米 梯形面积是 平方分米 2 1054 154230 例例 16 图中图中AOB 的面积为的面积为 线段 线段 OB 的长度为的长度为 OD 的的 3 倍 求梯形倍 求梯形 ABCD 的面积 的面积 A 2 15cm O CB DA 解析 在中 因为 且 所以有 ABDA 2 15cm AOB S A 3OBOD 2 35cm AODAOB SS AA 因为和等底等高 所以有 ABDAACDA ABDACD SS AA page 10 of 32 从而 在中 所以梯形面积 2 15cm OCD S A BCDA 2 345cm BOCOCD SS AA 2 155154580 cm 例例 17 如图 把四边形如图 把四边形 ABCD 改成一个等积的三角形 改成一个等积的三角形 D C B A A A B C D 解析 本题有两点要求 一是把四边形改成一个三角形 二是改成的三角形与原四边形面积相等 我们可 以利用三角形等积变形的方法 如右上图把顶点 A 移到 CB 的延长线上的 A 处 A BD 与 A 面积相等 从而A DC 面积与原四边形 ABCD 面积也相等 这样就把四边形 ABCD 等积地ABDAA 改成了三角形A DC 问题是 A 位置的选择是依据三角形等积变形原则 过 A 作一条和 DB 平行的A 直线与 CB 的延长线交于 A 点 具体做法 连接 BD 过 A 作 BD 的平行线 与 CB 的延长线交于 A 连接 A D 则A CD 与四边形 ABCD 等积 A 例例 18 第三届 第三届 华杯赛华杯赛 初赛试题 一个长方形分成初赛试题 一个长方形分成 4 个不同的三角形 绿色三角形面积占长方形个不同的三角形 绿色三角形面积占长方形 面积的面积的 黄色三角形面积是 黄色三角形面积是 问 长方形的面积是多少平方厘米 问 长方形的面积是多少平方厘米 15 2 21cm 红 绿 黄 红 解析 黄色三角形与绿色三角形的底相等都等于长方形的长 高相加为长方形的宽 所以黄色三角形与绿 色三角形的面积和为长方形面积的 而绿色三角形面积占长方形面积的 所以黄色三角50 15 形面积占长方形面积的 50 15 35 已知黄色三角形面积是 所以长方形面积等于 2 21cm2135 60 2 cm 例例 19 是长方形是长方形内一点 已知内一点 已知的面积是的面积是 的面积是的面积是 求 求的面的面OABCDOBC 2 5cmOAB 2 2cmOBD 积是多少 积是多少 P O D C B A 解析 由于是长方形 所以 而 所以 ABCD 1 2 AODBOCABCD SSS 1 2 ABDABCD SS AODBOCABD SSS 则 所以 BOCOABOBD SSS 2 523cm OBDBOCOAB SSS page 11 of 32 例例 20 如右图 过平行四边形如右图 过平行四边形内的一点内的一点作边的平行线作边的平行线 若 若的面积为的面积为 8 8 平方平方ABCDPEFGHPBD 分米 求平行四边形分米 求平行四边形的面积比平行四边形的面积比平行四边形的面积大多少平方分米 的面积大多少平方分米 PHCFPGAE A BC D E F G H P A BC D E F G H P 解析 根据差不变原理 要求平行四边形的面积与平行四边形的面积差 相当于求平行四边PHCFPGAE 形的面积与平行四边形的面积差 BCFEABHG 如右上图 连接 CPAP 由于 所以 1 2 BCPADPABPBDPADPABCD SSSSSS BCPABPBDP SSS 而 所以 平方分米 1 2 BCPBCFE SS 1 2 ABPABHG SS 2216 BCFEABHGBCPABPBDP SSSSS 例例 21 如右图 正方形如右图 正方形的面积是的面积是 正三角形 正三角形的面积是的面积是 求阴影 求阴影的面积 的面积 ABCD20BPC 15BPD P D CB A O A BC D P 解析 连接交于点 并连接 如下图所示 ACBDOPO 可得 所以与面积相等 同底等高 所以有 PODCDPO CPO BPOCPOBPOPDOBPD SSSSS 因为 所以 11 205 44 BOCABCD SS 15510 BPD S 巩固巩固 如右图 正方形如右图 正方形的面积是的面积是 正三角形 正三角形的面积是的面积是 求阴影 求阴影的面积 的面积 ABCD12BPC 5BPD P D CB A O A BC D P 解析 连接交于点 并连接 如右上图所示 ACBDOPO 可得 所以与面积相等 同底等高 所以有 PODCDPO CPO BPOCPOBPOPDOBPD SSSSS 因为 所以 1 3 4 BOCABCD SS 532 BPD S 例例 22 在长方形在长方形内部有一点内部有一点 形成等腰 形成等腰的面积为的面积为 16 等腰 等腰的面积占长方形面的面积占长方形面ABCDOAOB DOC 积的积的 那么阴影 那么阴影的面积是多少 的面积是多少 18 AOC page 12 of 32 O D C BA 解析 先算出长方形面积 再用其一半减去的面积 长方形面积的 再减去的面积 DOC 18 AOD 即可求出的面积 AOC 根据模型可知 所以 1 2 CODAOBABCD SSS 1 1618 50 2 ABCD S 又与的面积相等 它们的面积和等于长方形面积的一半 所以的面积等于长方AOD BOC AOD 形面积的 1 4 所以 1 25 18 2 AOCACDAODCODABCDABCDABCD SSSSSSS 2512 593 5 例例 23 20082008 年年 陈省身杯陈省身杯 国际青少年数学邀请赛六年级 如右图所示 在梯形国际青少年数学邀请赛六年级 如右图所示 在梯形中 中 ABCDE 分别是其两腰分别是其两腰 的中点 的中点 是是上的任意一点 已知上的任意一点 已知 的面积为的面积为 而 而FABCDGEFADG 2 15cm 的面积恰好是梯形的面积恰好是梯形面积的面积的 则梯形 则梯形的面积是的面积是 BCG ABCD 7 20 ABCD 2 cm A BC D EF G A BC D EF G 解析 如果可以求出与的面积之和与梯形面积的比 那么就可以知道的面积占ABG CDG ABCDADG 梯形面积的多少 从而可以求出梯形的面积 ABCDABCD 如图 连接 则 于是 CEDE AEGDEG SS BEGCEG SS ABGCDGCDE SSS 要求与梯形的面积之比 可以把梯形绕点旋转 变成一个平行四边CDE ABCDABCDF180 形 如下图所示 从中容易看出的面积为梯形的面积的一半 也可以根据 CDE ABCD 1 2 BECABC SS 得来 1 2 AEDAFDADC SSS 111 222 BECAEDABCADCABCD SSSSS 那么 根据题意可知的面积占梯形面积的 所以梯形的面积是ADG ABCD 173 1 22020 ABCD 2 3 15100cm 20 小结 梯形一条腰的两个端点与另一条腰的中点连接而成的三角形 其面积等于梯形面积的一半 这是一个很有用的结论 本题中 如果知道这一结论 直接采用特殊点法 假设与重合 则GE page 13 of 32 的面积占梯形面积的一半 那么与合起来占一半 CDE ADG BCG 例例 24 如图所示 四边形如图所示 四边形与与都是平行四边形 请你证明它们的面积相等 都是平行四边形 请你证明它们的面积相等 ABCDAEGF G F ED C BA G F ED C BA 解析 本题主要是让学生了解并会运用等底等高的两个平行四边形面积相等和三角形面积等于与它等底等 高的平行四边形面积的一半 证明 连接 我们通过把这两个看似无关的平行四边形联系在一起 BEABE 在平行四边形中 边上的高 ABCD 1 2 ABE SABAB 1 2 ABEABCD SS A 同理 平行四边形与面积相等 1 2 ABEAEGF SS A ABCDAEGF 巩固巩固 如如图图所所示示 正正方方形形的的边边长长为为 厘厘米米 长长方方形形的的长长为为厘厘米米 那那么么长长方方形形的的宽宽为为几几厘厘ABCD8EBGFBG10 米米 AB G C E F D AB G C E F D 解析 本题主要是让学生会运用等底等高的两个平行四边形面积相等 长方形和正方形可以看作特殊的平 行四边形 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 证明 连接 我们通过把这两个长方形和正方形联系在一起 AGABG 在正方形中 边上的高 ABCD G 1 2 AB SABAB 三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半 1 2 ABGABCD SS A 同理 1 2 ABGEFGB SS 正方形与长方形面积相等 长方形的宽 厘米 ABCDEFGB8 8 106 4 例例 25 如图 正方形如图 正方形 ABCD 的边长为的边长为 6 1 5 2 长方形 长方形 EFGH 的面积为的面积为 AE CF page 14 of 32 H G F E D C B A A B C D E F G H 解析 连接 DE DF 则长方形 EFGH 的面积是三角形 DEF 面积的二倍 三角形 DEF 的面积等于正方形的面积减去三个三角形的面积 所以长方形 EFGH 面积为 33 661 5622624 54216 5 DEF S 例例 26 如图 如图 ABCD 为平行四边形 为平行四边形 EF 平行平行 AC 如果 如果ADE 的面积为的面积为 4 平方厘米 求三角形平方厘米 求三角形 CDFA 的面积 的面积 A E B F CD DC F B E A 解析 连结 AF CE ADEACE SS AACDFACF SS AA 又 AC 与 EF 平行 ACEACF SS AA 平方厘米 4 ADECDF SS AA 巩固巩固 如右图 在平行四边形如右图 在平行四边形中 直线中 直线交交于于 交 交延长线于延长线于 若 若 求 求ABCDCFABEDAF1 ADE S 的面积 的面积 BEF A BC D E F A BC D E F 解析 本题主要是让学生并会运用等底等高的两个三角形面积相等 或夹在一组平行线之间的三角形面积 相等 和等量代换的思想 连接 AC ABCD ADEACE SS 同理 ADBC ACFABF SS 又 即 ACFACEAEF SSS ABFBEFAEF SSS ACEBEF SS 1 BEFADE SS 例例 27 图中两个正方形的边长分别是图中两个正方形的边长分别是 6 厘米和厘米和 4 厘米 则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘厘米 则图中阴影部分三角形的面积是多少平方厘 米 米 page 15 of 32 解析 4428 例例 28 如图 有三个正方形的顶点如图 有三个正方形的顶点 恰好在同一条直线上 其中正方形恰好在同一条直线上 其中正方形的边长为的边长为 10DGKGFEB 厘米 求阴影部分的面积 厘米 求阴影部分的面积 K O Q P H GF E DC BA K O Q P H GF E DC BA 解析 对于这种几个正方形并排放在一起的图形 一般可以连接正方形同方向的对角线 连得的这些对角 线互相都是平行的 从而可以利用面积比例模型进行面积的转化 如右图所示 连接 则 根据几何五大模型中的面积比例模型 可FKGEBD BDGEFK 得 所以阴影部分的面积就等于正方形的面积 即为 DGEBGE SS KGEFGE SS GFEB 平方厘米 2 10100 巩固巩固 右图是由大 小两个正方形组成的 小正方形的边长是右图是由大 小两个正方形组成的 小正方形的边长是厘米 求三角形厘米 求三角形的面积 的面积 4ABC G4 A B CDE F G4 A B CDE F 解析 这道题似乎缺少大正方形的边长这个条件 实际上本题的结果与大正方形的边长没关系 连接 见右上图 可以看出 三角形与三角形的底都等于小正方形的边长 高都等于大ADABDACD 正方形的边长 所以面积相等 因为三角形是三角形与三角形的公共部分 所以AGDABDACD 去掉这个公共部分 根据差不变性质 剩下的两个部分 即三角形与三角形面积仍然相ABGGCD 等 根据等量代换 求三角形的面积等于求三角形的面积 等于 ABCBCD4428 巩固巩固 2008 年西城实验考题年西城实验考题 如图 如图 与与均为正方形 三角形均为正方形 三角形的面积为的面积为 6 平方厘米 图平方厘米 图ABCDAEFGABH 中阴影部分的面积为中阴影部分的面积为 AB CD E F G H AB CD E F G H 解析 如图 连接 比较与 由于 即与的底与高分AFABF ADF ABAD FGFE ABF ADF page 16 of 32 别相等 所以与的面积相等 那么阴影部分面积与的面积相等 为 6 平方厘ABF ADF ABH 米 巩固巩固 正方形正方形 ABCD 和正方形和正方形 CEFG 且正方形 且正方形 ABCD 边长为边长为 10 厘米 则图中阴影面积为多少平方厘米 厘米 则图中阴影面积为多少平方厘米 D GF H E C B A A B C E H FG D 解析 方法一 三角形 BEF 的面积 2BEEF 梯形 EFDC 的面积三角形 BEF 的面积 22EFCDCEBEEF 而四边形 CEFH 是它们的公共部分 所以 三角形 DHF 的面积三角形 BCH 的面积 进而可得 阴影面积三角形 BDF 的面积三角形 BCD 的面积 平方厘 10 10250 米 方法二 连接 CF 那么 CF 平行 BD 所以 阴影面积三角形 BDF 的面积三角形 BCD 的面积 平方厘米 50 巩固巩固 人大附中考题人大附中考题 已知正方形已知正方形边长为边长为10 正方形 正方形边长为边长为6 求阴影部分的面积 求阴影部分的面积 ABCDBEFG J I H G A B C D E F J I H G A B C D E F 解析 如果注意到为一个正方形的对角线 或者说一个等腰直角三角形的斜边 那么容易想到与DFDF 是平行的 所以可以连接 如上图 CICICF 由于与平行 所以的面积与的面积相等 而的面积为 所DFCIDFI DFC DFC 1 10420 2 以的面积也为 20 DFI 例例 29 2008 年年 华杯赛华杯赛 决赛决赛 右右图中 图中 和和是两个正方形 是两个正方形 和和相交于相交于 已知 已知ABCDCGEFAGCFH 等于等于的三分之一 三角形的三分之一 三角形的面积等于的面积等于 6 平方厘米 求五边形平方厘米 求五边形的面积 的面积 CHCFCHGABGEF H G FE D CB A H G FE D CB A 解析 连接 由于与平行 可知四边形构成一个梯形 ACGFACGFACGF 由于面积为 6 平方厘米 且等于的三分之一 所以等于的 根据梯形蝴HCG CHCFCHFH 1 2 蝶定理或相似三角形性质 可知的面积为 12 平方厘米 的面积为 6 平方厘米 FHG AHF page 17 of 32 的面积为 3 平方厘米 AHC 那么正方形的面积为平方厘米 所以其边长为 6 厘米 CGEF 612236 又的面积为平方厘米 所以 厘米 即正方形的边长为 3 厘AFC 639 9263AD ABCD 米 那么 五边形的面积为 平方厘米 ABGEF 2 1 369349 5 2 例例 30 第八届小数报数学竞赛决赛试题第八届小数报数学竞赛决赛试题 如下图 如下图 分别是梯形分别是梯形的下底的下底和腰和腰上的上的EFABCDBCCD 点 点 并且甲 乙 丙 并且甲 乙 丙 个三角形面积相等 已知梯形个三角形面积相等 已知梯形的面积是的面积是平方厘米 求平方厘米 求DFFC 3ABCD32 图中阴影部分的面积 图中阴影部分的面积 A BC D E F 解析 因为乙 丙两个三角形面积相等 底 所以到的距离与到的距离相等 即DFFC ACDECD 与平行 四边形是平行四边形 阴影部分的面积平行四边形的面积的 AECDADCE ADCE 1 2 所以阴影部分的面积乙的面积 设甲 乙 丙的面积分别为 份 则阴影面积为份 梯形的 2 12 面积为份 从而阴影部分的面积 平方厘米 5325212 8 例例 31 如图 已知长方形如图 已知长方形的面积的面积 三角形 三角形的面积是的面积是 三角形 三角形的面积是的面积是 那么 那么ADEF16ADB3ACF4 三角形三角形的面积是多少 的面积是多少 ABC F ED C B A F ED C B A F E D C B A 解析 方法一 连接对角线 AE 是长方形ADEF 1 2 ADEAEFADEF SSS A 3 8 ADB ADE SDB DES 1 2 ACF AEF SFC EFS 5 8 BEDEDB DEDE 1 2 CEFECF EFEF 1515 16 2822 BEC S 13 2 ABCADEFADBACFCBE SSSSS A 方法二 连接 由图知 所以 又由 恰好是BF1628 ABF S 16835 BEF S 4 ACF S 面积的一半 所以是的中点 因此 所以AEF CEF522 5 BCEBCF SS 16342 56 5 ABC S 例例 32 如图 在平行四边形如图 在平行四边形中 中 求阴影面积与空白面积的比 求阴影面积与空白面积的比 ABCDBEEC 2CFFD page 18 of 32 H A BC D E F G 解析 方法一 因为 所以 BEEC 2CFFD 1 4 ABEABCD SS 四边形 1 6 ADFABCD SS 四边形 因为 所以 2ADBE 2AGGE 所以 11 312 BGEABEABCD SSS 四边形 21 36 ABGABEABCD SSS 四边形 同理可得 1 8 ADHABCD SS 四边形 1 24 DHFABCD SS 四边形 因为 所以空白部分的面积 1 2 BCDABCD SS 四边形 111112 21224683 ABCDABCD SS 四边形四边形 所以阴影部分的面积是 1 3 ABCD S四边形 所以阴影面积与空白面积的比是 1 2 1 2 3 3 1 2 例例 33 第七届第七届 小机灵杯小机灵杯 数学竞赛五年级复赛数学竞赛五年级复赛 如图所示 三角形如图所示 三角形中 中 是是边的中点 边的中点 ABCDAB 是是边上的一点 且边上的一点 且 为为与与的交点 若的交点 若的面积为的面积为平方厘米 平方厘米 EAC3AEEC ODCBECEO a 的面积为的面积为平方厘米 且平方厘米 且是是平方厘米 那么三角形平方厘米 那么三角形的面积是的面积是 平方厘平方厘BDO bba 2 5ABC 米 米 E b a O D C B A 解析 所以 平方厘米 1 2 ABCBCDBCO SSbS 1 4 ABCBCEBCO SSaS 11 2 5 24 ABCABC SSba 所以 平方厘米 2 5410 ABC S 例例 34 如图 在梯形如图 在梯形中 中 且 且的面积比的面积比的面积小的面积小ABCD 4 3AD BE 2 3BE EC BOE AOD 10 平方厘米 梯形平方厘米 梯形的面积是的面积是 平方厘米 平方厘米 ABCD O A BC D E 解析 根据题意可知 则 8 6 9AD BE EC 8 6 ABD ABE S S 3 4 ABEABD SS 而平方厘米 所以 则平方厘米 10 ABDABEAODBOE SSSS 1 10 4 ABD S 40 ABD S 又 所以平方厘米 9615 88 BCD ABD S S 15 4075 8 BCD S 所以 平方厘米 4075115 ABDBCDABCD SSS 梯形 page 19 of 32 巩固巩固 第五届第五届 小数报小数报 数学竞赛初赛数学竞赛初赛 如图 如图 是梯形是梯形的一条对角线 线段的一条对角线 线段与与平行 平行 BDABCDAEDC 与与相交于相交于点 已知三角形点 已知三角形的面积比三角形的面积比三角形的面积大的面积大平方米 并且平方米 并且AEBDOBOEAOD4 求梯形 求梯形的面积 的面积 2 5 ECBC ABCD O A B C D E O A B C D E 解析 连接 根据差不变原理可知三角形的面积比三角形大 4 平方米 而三角形与三ACABEABDABD 角形面积相等 因此也与三角形面积相等 从而三角形的面积比三角形的大ACDACEABEACE 4 平方米 但 所以三角形的面积是三角形的 从而三角形的面积是 2 5 ECBC ACEABE 22 523 ABE 平方米 梯形的面积为 平方米 2 4112 3 ABCD 2 121228 3 例例 35 如右图所示 在长方形内画出一些直线 已知边上有三块面积分别是如右图所示 在长方形内画出一些直线 已知边上有三块面积分别是 那么图中 那么图中133549 阴影部分的面积是多少 阴影部分的面积是多少 A BC D E 49 35 13 解析 三角形的面积三角形的面积长方形面积阴影部分面积 又因为三角ABC CDE 133549 形的面积三角形的面积长方形面积 所以可得 ABC CDE 1 2 阴影部分面积 13354997 例例 36 图中是一个各条边分别为图中是一个各条边分别为 5 厘米 厘米 12 厘米 厘米 13 厘米的直角三角形 将它的短直角边对折到斜厘米的直角三角形 将它的短直角边对折到斜 边上去与斜边相重合 那么图中的阴影部分边上去与斜边相重合 那么图中的阴影部分 即未被盖住的部分即未被盖住的部分 的面积是多少平方厘米 的面积是多少平方厘米 解析 如下图 为了方便说明 将某些点标上字母 8 5 5 A E D C B 有为直角 而 所以也为直角 而 与同高 ABC CEDABC CED 5CECB ADEACEDA page 20 of 32 所以面积比为底的比 及 设的面积为 8 则的面积为 ADE CED S S A A AE EC 13 5 5 8 5 ADEACEDA 5 是由折叠而成 所以有 面积相等 是由 CEDACDBACEDACDBAABCAADEACEDA 组成 所以 8 5 5 18 对应为 所以 1 份对应为CDBA ABC SA 1 5 1230 2 那么 ADE 的面积为 平方厘米 即阴影部分的面积为平方厘米 5 3 5 8 3 1 13 3 1 13 3 例例 37 如图 长方形如图 长方形的面积是的面积是 2 2 平方厘米 平方厘米 是是的中点 阴影部分的面积是的中点 阴影部分的面积是ABCD2ECDE FDG 多少平方厘米 多少平方厘米 G F E D CB A 解析 如下图 连接 的面积相等 设为平方厘米 的面积相等 设FCDBFABFGAxFGCADFCA 为平方厘米 那么的面积为平方厘米 yDEFA 1 3 y x y y x G F E D CB A 所以有 比较 式 式左边比221 BCD Sxy A BDE 111 S x y l 333 A 0 5 31 xy xy 式左边多 式右边比 式右边大 0 5 有 即 而阴影部分面积为2x20 5x 0 25x 0 25y 平方厘米 255 0 25 3312 yy 例例 38 2007 年六年级希望杯二试试题年六年级希望杯二试试题 如图 三角形田地中有两条小路如图 三角形田地中有两条小路和和 交叉处为 交叉处为 张 张AECFD 大伯常走这两条小路 他知道大伯常走这两条小路 他知道 且且 则两块地 则两块地和和的面积比是的面积比是DFDC 2ADDE ACFCFB F E D CB A F E D CB A G F E D CB A 解析 方法一 连接 BD 设的面积为 1 的面积 则根据题上说给出的条件 由得 CED BED xDFDC BDCBDF SS 即的面积为 BDF 1x ADCADF SS 又有 而 2ADDE 22 ADCADFCDE SSS 22 ABDBDE SSx 122 ABD Sxx 得 所以 3x 22 134 1 2 ACFCFB SS 方法二 连接 设 份 则 设则有 BD1 CED S 2 ACDADF SS BED Sx BFD Sy 1 22 xy xy page 21 of 32 解得 所以 3 4 x y 22 431 1 2 ACFCFB SS 方法三 过点作 交于点 由相似得 又因为 FFGBCAEG 1 1CD DFED DG 2ADDE 所以 所以两块田地 ACF 和 CFB 的面积比 1 2AG GEAF FB 1 2AF FB 例例 39 年第一届年第一届 学而思杯学而思杯 综合素质测评六年级综合素质测评六年级试试 如图 如图 被被2008245BC 21AC ABC 分成分成个面积相等的小三角形 那么个面积相等的小三角形 那么 9DIFK K J I H G F E D C B A 解析 由题意可知 所以 又 2 9 BADABC BD BCSS 2 10 9 BDBC 35CDBCBD 所以 同样分析可得 所以 2 5 DIFDFC DI DCSS 2 14 5 DIDC 10FK 141024DIFK 巩固巩固 20092009