微专题之等和线

l A Q B O A1 B1 P l O A B C C1 微专题之平面向量基本定理系数的等和线微专题之平面向量基本定理系数的等和线 适用题型 在平面向量基本定理的表达式中 研究两系数的和差及线性表达式的范围与最值 基本定理 一 平面向量共线定理 已知 若 则三点共线 反之亦然OAOBOC 1 A B C 二 等和线 平面内一组基底及任一向量 若点在直线上或者在 OA OB OP OPOAOBR PAB 平行于的直线上 则 定值 反之也成立 我们把直线以及与直线平行的直线称ABk ABAB 为等和线 1 当等和线恰为直线时 AB1k 2 当等和线在点和直线之间时 OAB 0 1 k 3 当直线在点和等和线之间时 ABO 1 k 4 当等和线过点时 O0k 5 若两等和线关于点对称 则定值互为相反数 Ok 解题步骤及说明 1 确定等值线为 1 的线 2 2 平移 旋转或伸缩 该线 结合动点的可行域 分析何处取得最大值和最小值 3 从长度比或者点的位置两个角度 计算最大值和最小值 说明 平面向量共线定理的表达式中的三个向量的起点务必一致 若不一致 本着少数服从多数 的原则 优先平移固定的向量 若需要研究的两系数的线性关系 则需要通过变换基底向量 使得需 要研究的代数式为基底的系数和 典型例题 例 1 给定两个长度为 1 的平面向量和 它们的夹角OA OB 为 如图所示 点在以为圆心的圆弧上变动 0 120CO A AB 若 其中 则的最大值OCxOAyOB x yR xy 是 跟踪练习 已知为的外心 若 则的最大值OABC 1 cos 3 ABC AOABAC 为 A O B C S M B A C D Q N P 例 2 在平面直角坐标系中 为坐标原点 两定点满足 则点集O A B 2OAOBOA OB 所表示的区域面积为 1 P OPOAOBR 例 3 如图 在扇形中 为弧上不与重合的一个动点 OAB 0 60AOB CAB A B 若 存在最大值 则的取值范围为 OCxOAyOB uxy 0 跟踪练习 在正方形中 为中点 为以为直径的半圆弧上任意一点 ABCDEBCPAB 设 则的最小值为 AExADyAP 2xy 强化训练 1 在正六边形中 是三角形内 包括边界 的动点 设 则ABCDEFPCDEAPxAByAF 的取值范围 xy 2 如图 在平行四边形中 为边的三等份点 为的交点 为边上ABCD M NCDS AM BNPAB 的一动点 为内一点 含边界 若 则的取值范围 QSMN PQxAMyBN xy 3 设分别是的边 上的点 若 D EABC ABBC 1 2 ADAB 2 3 BEBC 12 DEABAC 为实数 则的值为 12 12 B D O A C 4 梯形中 为三角形内一点 包括边界 ABCDADAB 1ADDC 3AB PBCD 则的取值范围 APxAByAD xy 5 已知 点在内 且 设 1 3OAOB 0OA OB CAOB 0 30AOC 则的值为 OCmOAnOB m n 6 在正方形中 为中点 为以为圆心 为半径的圆弧上的任意一点 设ABCDEABPAAB 则的最小值为 ACxDEyAP xy 7 已知 为实数 若为以为直角顶点的直角三角 1OMON OPxOMyON x y PMN M 形 则 取值的集合为 xy 8 平面内有三个向量 其中夹角为 的夹角为 且 OA OB OC OA OB 0 120 OA OC 0 30 1OAOB 若 则的值为 2 3OC OCmOAnOB mn 9 如图 是圆上的三点 的延长线与线段的延长线交于圆外的点 若 A B COCOBAOD 则的取值范围为 OCmOAnOB mn 10 已知为的外心 若 且 则OABC 0 0 2