解三角形应用举例

第 1 页 共 7 页 解解三三角角形形应应用用举举例例 一一 选选择择题题 1 2014 浙江高考文科 10 如图 某人在垂直于水平地面 ABC 的墙面前的点 A 处进行射击训练 已知点 A 到墙面的距离为 AB 某目标点 P 沿墙面的射击线 CM 移动 此人为了准确瞄准目标点 P 需计算由点 A 观察点 P 的仰角 的大小 仰角 为直线 AP 与平面 ABC 所成角 若 15ABm 25ACm 30BCM 则tan 的最大值 A 30 5 B 30 10 C 4 3 9 D 5 3 9 解析 选 D 由勾股定理可得 20BC 过P作PP BC 交BC于 P 连结 AP 则 tan PP AP 设CPx 则 3 tan30 3 PPCPx 在 Rt ABC 中 AB 15m AC 25m 所以 BC 20m 所以 4 cos 5 BCA 所以 2 4 6252 25 5 APxx 2 40625xx 所以 2 2 2 333 333 tan 406252549 40625 1 525 x xx xxx 第 2 页 共 7 页 当 254 5x 即 125 4 x 时 tan 取得最大值为 3 5 3 3 3 9 5 2 2 20 01 14 4 四四川川高高考考文文科科 8 8 如图 从气球A上测得正前方的河流的两岸B C的 俯角分别为75 30 此时气球的高是60cm 则河流的宽度BC等于 A 240 31 m B 180 21 m C 120 31 m D 30 31 m 解题提示 先求AC 再由正弦定理求BC即可 解析 选 C 记气球的高度为AD 交CB延长线于D 在Rt ACD 中 120AC m 在 ABC 中 由正弦定理知 120 sinsin45 sinsin75 AC BCBAC ABC 602 sin 3045 120 31 m 二二 填填空空题题 3 2014 浙江高考理科 17 如图 某人在垂直于水平地面的墙面前的点 处进行射击训练 已知点 到墙面的距离为 某目标点 沿墙面的射击线移动 此 人为了准确瞄准目标点 需计算由点 观察点 的仰角 的大小 若 则的最大值 解析 由勾股定理可得 20BC 过P作PP BC 交BC于 P 连结 AP 则 tan PP AP 设CPx 则 3 tan30 3 PPCPx 在 Rt ABC 中 AB 15m AC 25m 所以 BC 20m 第 3 页 共 7 页 所以 4 cos 5 BCA 所以 2 4 6252 25 5 APxx 2 40625xx 所以 2 2 2 333 333 tan 406252549 40625 1 525 x xx xxx 当 254 5x 即 125 4 x 时 tan 取得最大值为 3 5 3 3 3 9 5 答案 5 3 9 4 2 20 01 14 4 四四川川高高考考理理科科 1 13 3 如图 从气球 A 上测得正前方的河流的两岸 B C 的俯角分别为67 30 此时气球的高度是 46m 则河流的宽度 BC 约等于 m 用四舍五入法将结果精确到个位 参考数据 sin670 92 cos670 39 sin370 60 cos370 80 31 73 解题提示 先求AC 再由正弦定理求BC即可 解析 记气球的高度为AD 交CB延长线于D 在Rt ACD 中 92AC m 在 ABC 中 9292 sinsin370 6060 sinsin670 92 AC BCBAC ABC m 答案 60 三 解答题 5 2 20 01 14 4 湖湖南南高高考考文文科科 1 19 9 本小题满分 13 分 如图 4 在平面四边形ABCD中 3 2 2 7 1 ADCEAECDEABDA 3 BEC 1 求CED sin的值 第 4 页 共 7 页 2 求BE的长 解题提示 利用正余弦定理 和三角变换公式求解 解析 如图 设 CED 1 在CDE 中 由余弦定理 得EDCDECDDECDEC cos2 222 于是由题设知 06 17 22 CDCDCDCD 解得2 CD 3 CD舍去 在CDE 中 由正弦定理 得 CD EDC EC sin 于是 7 21 sin 7 21 7 2 3 2 3 2 sin CED EC CD 2 由题设知 3 0 于是由 1 知 7 72 49 21 1sin1cos 2 而 3 2 AEB 所以 14 7 7 21 2 3 7 72 2 1 sin 2 3 cos 2 1 sin 3 2 sincos 3 2 cos 3 2 cos cos AEB 在EABRt 中 BEBE EA AEB 2 cos 所以74 14 7 2 cos BE EA AEB 6 2 20 01 14 4 上上海海高高考考理理科科 2 21 1 如图 某公司要在AB 两地连线上的定点 C处建造广告牌CD 其中D为顶端 AC长 35 米 CB长 80 米 设AB 在同一水平 面上 从A和B看D的仰角分别为 和 1 设计中CD是铅垂方向 若要求 2 问CD的长至多为多少 结果精确到 第 5 页 共 7 页 0 01 米 2 施工完成后 CD与铅垂方向有偏差 现在实测得 45 1812 38 求 CD的长 结果精确到 0 01 米 解题指南 tan tan 2 tantan2 2 Rt ADC Rt BDC ADB 1 在中 根据边角关系可得根据 可得 解此三角形不等式可得结论在中 根据正弦定理可把D B的 长度求出 在BC D 中 根据余弦定理可把D C 的长度求出 解析 2 22 00 1 tan tan 3580 2tan 20 tantan2 tan 21tan 2 160 80 020 228 28 356400 1 6400 28 28 123 43 115sin3 sinsin xx CDx x xx x xx CD aAB a 设的长为米 则 解得 的长至多为米 2 设D B a D A b D C m AD B 180则 解得 AD B 0 0 220 8 12 85 06 sin123 43 80160 cos18 4526 93 26 93 maa CD 答 的长为米 7 2 20 01 14 4 上上海海高高考考文文科科 2 21 1 如图 某公司要在AB 两地连线上的定点 C处建造广告牌CD 其中D为顶端 AC长 35 米 CB长 80 米 设AB 在同一水平 面上 从A和B看D的仰角分别为 和 3 设计中CD是铅垂方向 若要求 2 问CD的长至多为多少 结果精确到 0 01 米 4 施工完成后 CD与铅垂方向有偏差 现在实测得 45 1812 38 求 CD的长 结果精确到 0 01 米 解题指南 第 6 页 共 7 页 tan tan 2 tantan2 2 Rt ADC Rt BDC ADB 1 在中 根据边角关系可得根据 可得 解此三角形不等式可得结论在中 根据正弦定理可把D B的 长度求出 在BC D 中 根据余弦定理可把D C 的长度求出 解析 2 22 00 1 tan tan 3580 2tan 20 tantan2 tan 21tan 2 160 80 020 228 28 356400 1 6400 28 28 123 43 115sin3 sinsin xx CDx x xx x xx CD aAB a 设的长为米 则 解得 的长至多为米 2 设D B a D A b D C m AD B 180则 解得 AD B 0 0 220 8 12 85 06 sin123 43 80160 cos18 4526 93 26 93 maa CD 答 的长为米 8 2 20 01 14 4 重重庆庆高高考考文文科科 1 18 8 在ABC 中 内角 A B C 所对的边分别为 a b c 且8abc 1 若 5 2 2 ab 求cosC 的值 2 若 22 sincossincos2sin 22 BA ABC 且ABC 的面积 9 sin 2 SC 求a 和b 的值 解题提示 1 直接根据余弦定理即可求出cosC 的值 2 根据题设条件可以 得到 关于a 和b的关系式进而求出a 和b的值 解析 1 由题意可知 7 8 2 cab 由余弦定理得 22 2 222 57 2 122 cos 5 25 2 2 2 abc C ab 2 由 22 sincossincos2sin 22 BA ABC 可得 1 cos1 cos sin