高二数学 排列、排列数公式同步教案 新人教A版

用心 爱心 专心 1 高高 二二 数数 学 第学 第 2828 周 周 教学内容教学内容 1 基本原理 2 排列 排列数公式 教学目标教学目标 使学生理解并掌握分类计数原理与分步计数原理 并能正确地运用两个基本原理解题 使学生了解排列 排列数的概念 理解并掌握排列数公式 并能运用排列数公式解决无限制 条件排列与有限制条件的排列问题 知识讲解知识讲解 1 两个基本原理 分类计数原理 做一件事 完成它共有 n 类不同的办法 在第一类办法中有 m1种不同的 方法 在第二类办法中有 m2种不同的方法 在第 n 类办法中有 mn种不同的方法 那 么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法 分步计数原理 做一件事 完成它共分 n 个步骤 在第一步中有 m1种不同的方法 在第 二步中有 m2种不同的方法 在第 n 步中有 mn种不同的方法 那么完成这件事共有 N m1 m2 mn种不同的方法 2 分类计数原理和分步计数原理的区别 区分分类计数原理和分步计数原理是解决排列 组合问题的关键 分类计数原理是计算 做一件事有多少种不同的一步到位的办法 也就是说 要完成一件事可以分成若干类办法 只要采用其中一类的某一种方法就能够将这件事情做完 这些完成的方法又是互相独立的 那么计算完成这件事共有多少种不同方法时就使用加法分类计数原理 分步计数原理是计算 做一件事有多少种可以分步完成的不同方法 也就是说 要完成一件事可分为若干个互相有 联系的步骤 所有这些步骤依次相继完成后这件事才能完成 那么计算完成这件事共有多少 种不同的方法时就使用分步计数原理 3 分类计数原理中的分类很重要 分类时要注意 1 分类计数原理是计算做一件事 有多少种不同的方法 因此要求每一种方法都必须能单独完成这件事 2 要有正确的分 类标准 不可随意化分 使所分的类既不遗漏也不能重复 分步计数原理中的分步也很重要 分步时要注意 1 分步计数原理要有正确设计分 步的程序 使每一种方法都必须并且只需连续进行互相独立的几步后才能完成这件事 2 关于每一个独立的步骤都有一种或几种相应的方法完成这一任务 4 排列的概念 从 n 个不同元素中每次任取 m m n 个元素 把它按照一定的顺序排成一列 叫做从 n 个不同元素中任取 m 个元素的一个排列 5 排列数的概念 从 n 个不同元素中每次取出 m m n 个元素的所有排列的个数叫做从 n 个不同元素中 取出 m 个元素的排列数记作 A nm A nm n n 1 n 2 n m 1 规定 要记住 mn n 1 2 1nnn 0 1 的运算结果 要灵活运用 n 1 n 1 n n n 1 n n 和1 2 3 4 5 6 用心 爱心 专心 2 一般来说 要计算具体的排列数的时候 常用前一个公式比较简单 要推导或证明等式 的时候 常用后一个公式比较简捷 6 在排列的定义中要搞清楚如下几个内容 1 从 n 个不同元素中取 m 个元素 所以 m 不能大于 n 即 m n 当 m n 时 这个排 列 也就是取出所有元素的排列 叫做全排列 2 排列定义中所谓 一定顺序 就是说与位置有关 至于何时有关 何时无关 要 由具体的问题决定 3 两个排列中只要有不同的元素 它们就是不同的排列 然而 即使它们的所有元 素都相同 如两个全排列 只要顺序不同 它们也是不同的排列 因此 要使两个排列相 同 一定要所有的元素相同 而且还要顺序相同 7 要分清元素与位置 要注意科学地分类与合理地分步 要用准两个原理 在处理有 特殊要求的元素或有特殊要求的位置的综合应用题时 选择好是用直接计算方法还是间接方 法 特别注意不要重复或遗漏 尤其是重复 尽量避免 解较复杂的排列应用题时 一般先 考虑某些限制条件 如对 人 或 位置 有限制条件 一般有三种方法来解决 一是先满 足某些 人 的特殊要求 称之为特殊元素法 二是先满足某些 位置 的特殊要求 称之 为特殊位置法 三是把所有可能中除去不符合限制条件的情况 称之为去杂法 例例 1 1 一座山的南坡有山路三条 北坡有山路三条 均通往山顶 1 从南坡上山 再 由北坡下山 2 下山时不走原来的上山的路 3 任意选择上 下山的路线 向从上山 到下山 各有几种不同的走法 解 1 分步完成 第一步上山有 3 种走法 第二步下山有 3 种走法 由乘法原理知共有 3 3 9 种 2 分步完成 第一步上山有 6 种走法 第二步下山有 5 种走法 由乘法原理知共有 6 5 30 种 3 分步完成 第一步上山有 6 种走法 第二步下山有 6 种走法 由乘法原理知共有 6 6 36 种 评注 在分析问题时 首先要弄清要完成的事是什么 然后要搞清是分类问题还是分步 问题 从而正确运用两个基本原理 例例 2 2 将 3 封不同的信投入 4 个不同的信箱 有多少种不同的投法 4 名学生报名参加 数学 物理 化学三个课外兴趣小组 有多少种不同的报名方法 解 每一封信都有 4 种不同的投法 所以由乘法原理可知共有 4 4 4 43种不同的投法 每名学生都可以报名参加数学 物理 化学三个兴趣小组中的任一个 所以由乘法原理 可知共有 3 3 3 3 34种不同的报名方法 例例 3 3 把七个不同颜色的球 1 放入两个颜色不同的布袋中 2 放入两个颜色相同 的布袋中 各有多少种不同的放法 解 1 由于两个布袋的颜色不同 所以每一个小球都有两个不同的放法 所以由乘 法原理可知共有 27种不同的放法 2 由于两个布袋相同 所以当第一个球放入时只有一种放法 但第二个球放入时 由于前面两个袋子中有一个已经放了球 所以此时两个袋子是不同的 因而每个球又有两种 不同的放法 所以由乘法原理可知共有 26种不同的方法 例例 4 4 用 0 1 2 3 4 5 这六个数字 用心 爱心 专心 3 1 可以组成多少个数字不重复的三位数 2 可以组成多少个数字允许重复的三位数 3 可以组成多少个数字不允许重复的三位数的奇数 4 可以组成多少个数字不重复的小于 1000 的自然数 5 可以组成多少个大于 3000 小于 5421 的四位数 解解 1 分三步 i 先选百位数字 由于 0 不能作百位数 因此有 5 种选法 ii 十位数字 有 5 种选法 iii 个位数字有 4 种选法 由乘法原理知所求不同三位数共有 5 5 4 100 个 2 分三步 1 百位数字有 5 种选法 ii 十位数字有 6 位选法 iii 个位数字有 6 种选 法 所求三位数共有 5 6 6 180 个 3 分三步 i 先选个位数字 有 3 种选法 ii 再选百位数字 有 4 种选法 iii 选十 位数字也是 4 种选法 所求三位奇数共有 3 4 4 48 个 4 分三类 i 一位数 共有 5 个 ii 两位数 共有 5 5 25 个 iii 三位数共有 5 5 4 100 个 因此比 1000 小的自然数共有 5 25 100 130 个 5 分 4 类 i 千位数字为 3 4 之一时 共有 2 5 4 3 120 个 ii 千位数字为 5 百 位数字为 0 1 2 3 之一时 共有 4 4 3 48 个 iii 千位数字是 5 百位数字是 4 十 位数字为 0 1 之一时 共有 2 3 6 个 iv 还有 5420 也是满条件的 1 个 故所求自然数 共 120 48 6 1 175 个 注注 排数字问题是最常见的排列组合问题 要特别注意首位不能排 0 例例 5 5 1 200 的正因数共有 个 2 个位数字是 3 不超过 200 的自然数个数为 3 不超过 200 个位数字不是 3 的自然数的个数是 解解 1 12 因为 200 23 52 因此 200 关于 2 的方幂为 20 21 22 23共 4 种 200 关于 5 的方幂共有 50 51 52三种 由乘法原理共 12 种 2 20 分三类 第一类是一位数 只有 1 个 即 3 第二类 二位自然数 个位数字必须是 3 十位数字有 9 种选法 第三类是三位数 个位数字还是 3 百位数字必须是 1 十位数字 共有 10 种选法 故所求个数为 1 9 10 20 3 180 因为不超过 200 的自然数共有 200 个 除上面 2 的 20 种外 其余还有 200 20 180 个 注注 若自然数 N pnqmrk 其中 p q r 都是素数 且 p q r 那么 N 的正因数共有 n 1 m 1 k 1 个 请读者自己证明 例例 6 6 计算 54 99 65 1010 AA AA 解法一 应用公式 1 54444 99999 65444 1010999 563 50104020 AAAAA AAAAA 解法一 应用公式 2 54 99 65 1010 9 9 6 9 3 4 5 10 10 4 10 20 4 5 AA AA 用心 爱心 专心 4 例例 7 7 1 求证 12311 1 2 3 4 n nn 2 求证 m m m 1 n m N n m 2 m n A 1 1 m n A 2 2 m n A m n A 1 证明 1 1 111 1 1 1 mm mmmm 11111111 1 1 2 2 3 3 4 1 nnn 右边 2 左边 m m m 1 mn n 1 mn n 1 1 mn n 1 1 1 1 1 1 mn nmmmnnmmnn 1 1 1 1 1 mn mmmnmmnnn 右边 1 1 2 mn nnn 1 1 mn n m n A 1 等式成立 例例 5 5 解方程或不等式 1 3 2 6 3 x A 2 1 x A 2 x A 2 6 8 x A 2 8 x A 解 1 3x x 1 x 2 2 x 1 x 6x x 1 又 x 3 3 x 1 x 2 2 x 1 6 x 1 即 3x2 17x 10 0 解之得 x 5 或 x 3 2 而 x z 故 x 5 2 6 8 8 x 10 8 x 10 x 9 x 6 即 x2 19x 84 0 7 xm 用排列数表示是 A B C D 19 x mx A m mx A 10m mx A 9m mx A 8 4 设 x N 且 x 55 则 55 x 56 x 69 x 用排列数表示是 A B C D 15 55 x A 14 69 x A 15 69 x A x x A 55 69 5 用数字 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的五位数 其中小于 5000 的偶数共有 A 60 个 B 48 个 C 36 个 D 24 个 6 用 0 1 2 3 4 这五个数字组成无重复数字的四位数 则在这些四位数中 偶数 的个数是 A 36 个 B 60 个 C 96 个 D 120 个 7 五名男生和两名女生排成一排照相 若男生甲必须站在左端或右端 两名女生必须 站在一起 那么可能的各种排法共有 A 480 种 B 360 种 C 240 种 D 120 种 二 填空题 二 填空题 8 从 a b c 三个不同元素中 取出两个不同元素的排列有 9 用 0 1 2 3 这四个数字组成个位数字不为 1 的没有重复数字的四位数 共有 个 10 四人跑 4 100 米接力 其中甲不跑第一棒 乙不跑最后一棒 共有 种不同 的组队方法 11 由数字 0 1 2 3 4 5 组成没有重复数字的六位数 其中个位数字小于十位数 字的数共有 个 12 由 1 4 5 x 四个数字组成没有重复数字的四位数 若所有这些四位数的各数位 上的数字之和 288 则数 x 等于 三 解答题 三 解答题 13 七位同学排队照相留念 1 若分成前后两排照相 前排 3 人 后排 4 人 有多少中不同的排法 2 在题 1 的情况下 甲必须站在前排 乙必须站在