数学分析1期末考试讲解

数学分析 题目讲解 一 单项选择题单项选择题 每小题 2 分 共 14 分 1 设数列满足且 n x 1 11 2 nn n xx x lim n n x 则 为 A 0 B 1 C D 2 1 2 2 已知 则是的 tan 0 1 0 x x f xx x 0 x f x A 第一类不连续点 B 第二类不连续点 C 连续点 D 可去不连续点 3 已知 则在处 1 sin 0 0 0 xx f xx x f x0 x A 左可导 B 右可导 C 可微 D 不连续 4 若存在 下列说法一定正确的是 0 lim xx f x A 在的任一邻域内有界 f x 0 x B 在的某一邻域内无界 f x 0 x C 在的某一邻域内有界 f x 0 x D 在的任一邻域内无界 f x 0 x 5 若在处连续 并且 则 f x0 x 2 2 0 lim h f h c h A 且存在 0 0f 0 f B 且存在 0 0f 0 f C 且存在 0 fc 0 f D 且存在 0 fc 0 f 6 若在点处存在左 右导数 则在点 f x 0 x f x 处必然 0 x A 可导 B 不可导 C 连续 D 不连续 7 下列叙述错误的是 A 若在点可导 则在点可微 f x 0 x f x 0 x B 若在点可导 则在点连续 f x 0 x f x 0 x C 若在点可导 则 f x 0 x 0 0f x D 设在点可导 则是极值点当仅当 f x 0 x 0 x 0 0fx 参考答案 1 B 2 C 3 A 4 C 5 B 6 C 7 D 二 填空题填空题 每小题 3 分 共 21 分 1 3 3 561 lim1 41 x x xx xx 2 曲线上平行于直线的切线的方lnyx 1 1 5 yx 程为 3 设 则 1fa 0 2 3 lim h f ahf ah h 4 曲线的斜渐近线为 2 2 x yxe 5 函数的极小值点 32 92415f xxxx x 6 已知当时与等价 则 0 x ln 1 ax 1 x e a 7 5 n x 参考答案 1 11 4e 2 1 5ln5 5 yx 3 5 4 2yx 5 4 6 1 7 ln 5 5 nx 三 计算题计算题 每小题 6 分 共 36 分 1 计算 111 lim 12 n nnnn 1 计算 111 lim 12 n nnnn 解 设 由于 111 12 n x nnnn 1 n nn x nnn 4 分 lim1 n n nn lim1 1 n n n 由夹逼性 即原极限为 1 6 分 lim1 n n x 2 求极限 2 0 11 lim tan x xxx 22 00 2 0 0 11tan limlim 1 tantan sincos lim 2 sin sin lim 2 sin xx x x xx xxxxx xxx xx xx xx 解 分 分 2 0 4 cos 1 lim 5 2cos sin 1 6 3 x xx x x x 分 分 分 3 已知任意次可微 求的二阶微 f u ln yfx 分 2 d y 3 已知任意次可微 求的 f u ln yfx 2 d y 解 令 则 2 分 lnux d1 d y f u xx 2 22 22 2 2 d d11 3 dd 11 ln ln 5 f uy f u xxxx fuf u xx fuf u x fxfx x 分 分 所以 6 分 22 2 ln ln d d fxfx yx x 4 求方程所确定的函数的导数 2 arctan ln 1 xt yt 2 2 d d x y 4 求方程所确定的函数的导数 2 arctan ln 1 xt yt 2 2 d d x y 2 2 22 2 23 2 d1 d 1 d1 3 d2 d 2 d1 1 ddd1 2 6 2 ddd4 1 x xx t tt yt yy tt tt xxt t t yyyt t 解 分 分 5 设 求 cos sin x yx y 解 对等式两端取对数 1 lncoslnsinyxx 分 再对上式两端分别求导 4 分 sin coslnsincos sin xy xxx yx 5 分 2 cos sinlnsin sin x xx x 所以 2 coscos sinsinlnsin 6 sin xx yxxx x 分 6 求由方程所确定的函数的微 3 2 xy exy yy x 分 dy 解 在方程两端对 求导 得x 3 分 2 23 xy eyxyy y 解此方程 得 4 分 2 2 3 xy xy ye y xey 所以 6 分 2 2 dd 3 xy xy ye yx xey 四 综合题综合题 3 小题 共 29 分 1 叙述证明题 4 小题 共 14 分 1 叙述 有限 的定义 3lim n n xA AN 分 2 叙述数列的柯西 Cauchy 收敛原理 3 分 3 叙述在区间 内一致连续的定义 f xI 3 分 4 证明在上一致连续 5 sinf xx 分 解 1 有限 的定义 对任lim n n xA AN 意给定的 存在正整数 当时 有0 NnN 3 分 n xA 2 数列的柯西 Cauchy 收敛原理 数列 收敛的充要条件是是一个基本数列 3 分 n x n x 3 在区间 内一致连续的定义 若 f xI 在区间 内满足对任意的 存在 f xI0 使得对 内任意两点 与 当 0 I 1 x 2 x 时 总有 则称在 12 xx 12 f xf x f x 区间 内一致连续 3 分 I 4 证明 对任意 由于 12 x xR 1212 1212 12 sinsin 2 cossin 22 3 f xf xxx xxxx xx 分 故对任意的 取 则对内任意0 两点 与 当时 总有 1 x 2 x 12 xx 即在上一致连续 12 f xf x f x 5 分 2 证明 当时 7 分 0 x 2 ln 1 2 x xxx 证明 1 证明 ln 1 xx 根据 Lagrange 中值定理 ln 1 ln 1 ln11 0 01 xx x xx 这里 2 分 由于 所以 1 1 1 ln 1 xx 3 分 2 证明 2 ln 1 2 x xx 令 则 2 ln 1 2 x f xxx 2 分 当时 2 1 1 11 x fxx xx 0 x 严格单调递减 由 知 0fx f x 0 0f 从而 4 00f xx 2 ln 1 2 x xx 分 3 设在区间可导 且 f x a b 0 0fafb 证明 f af bA 1 存在使得 5 分 a b fA 2 在内至少有两个零点 3 分 fx a b 证明 证明 1 由 存在 lim0 xa f xf a fa xa 使当时 有 1 0 1 xa a 0 f xf a xa 此时 在中去一点 f xf aA 1 a a 1 x 有 由 存在 1 f xA lim0 xb f xf b fb xb 使当时 有 2 0 2 xbb 0 f xf b xb 此时 在中去一点 f xf bA 2 bb 2 x 有 3 分 于