（全国120套）2013年中考数学试卷分类汇编 勾股定理

1 勾股定理勾股定理 1 2013 昆明 如图 在正方形 ABCD 中 点 P 是 AB 上一动点 不与 A B 重合 对角线 AC BD 相交于点 O 过点 P 分别作 AC BD 的垂线 分别交 AC BD 于点 E F 交 AD BC 于点 M N 下列结论 APE AME PM PN AC PE2 PF2 PO2 POF BNF 当 PMN AMP 时 点 P 是 AB 的中点 其中正确的结论有 A 5 个 B 4 个 C 3 个 D 2 个 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 正方形的性质 分析 依据正方形的性质以及勾股定理 矩形的判定方法即可判断 APM 和 BPN 以及 APE BPF 都是等腰直角三角形 四边形 PEOF 是矩形 从而作出判断 解答 解 四边形 ABCD 是正方形 BAC DAC 45 在 APE 和 AME 中 APE AME 故 正确 PE EM PM 同理 FP FN NP 正方形 ABCD 中 AC BD 又 PE AC PF BD PEO EOF PFO 90 且 APE 中 AE PE 四边形 PEOF 是矩形 PF OE PE PF OA 又 PE EM PM FP FN NP OA AC PM PN AC 故 正确 四边形 PEOF 是矩形 PE OF 2 在直角 OPF 中 OF2 PF2 PO2 PE2 PF2 PO2 故 正确 BNF 是等腰直角三角形 而 POF 不一定是 故 错误 AMP 是等腰直角三角形 当 PMN AMP 时 PMN 是等腰直角三角形 PM PN 又 AMP 和 BPN 都是等腰直角三角形 AP BP 即 P 时 AB 的中点 故 正确 故选 B 点评 本题是正方形的性质 矩形的判定 勾股定理得综合应用 认识 APM 和 BPN 以及 APE BPF 都是等腰直角三角形 四边形 PEOF 是矩形是关键 2 2013 达州 如图 在 Rt ABC 中 B 90 AB 3 BC 4 点 D 在 BC 上 以 AC 为 对角线的所有 ADCE 中 DE 最小的值是 A 2 B 3 C 4 D 5 答案 B 解析 由勾股定理 得 AC 5 因为平行边形的对角线互相平分 所以 DE 一定经过 AC 中点 O 当 DE BC 时 DE 最小 此 时 OD 3 2 所以最小值 DE 3 3 2013 自贡 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 6 AD 9 BAD 的平分线交 BC 于 E 交 DC 的延长线于 F BG AE 于 G BG 则 EFC 的周长为 A 11B 10C 9D 8 考点 相似三角形的判定与性质 勾股定理 平行四边形的性质 3718684 分析 判断出 ADF 是等腰三角形 ABE 是等腰三角形 DF 的长度 继而得到 EC 的长度 在 Rt BGE 中求出 GE 继而得到 AE 求出 ABE 的周长 根据相似三角形的周长之 比等于相似比 可得出 EFC 的周长 解答 解 在 ABCD 中 AB CD 6 AD BC 9 BAD 的平分线交 BC 于点 E BAF DAF AB DF AD BC BAF F DAF BAE AEB AB BE 6 AD DF 9 ADF 是等腰三角形 ABE 是等腰三角形 3 AD BC EFC 是等腰三角形 且 FC CE EC FC 9 6 3 在 ABG 中 BG AE AB 6 BG 4 AG 2 AE 2AG 4 ABE 的周长等于 16 又 CEF BEA 相似比为 1 2 CEF 的周长为 8 故选 D 点评 本题主要考查了勾股定理 相似三角形 等腰三角形的性质 注意掌握相似三角形 的周长之比等于相似比 此题难度较大 4 2013 资阳 如图 点 E 在正方形 ABCD 内 满足 AEB 90 AE 6 BE 8 则阴影部 分的面积是 A 48B 60C 76D 80 考点 勾股定理 正方形的性质 分析 由已知得 ABE 为直角三角形 用勾股定理求正方形的边长 AB 用 S阴影部分 S正方形 ABCD S ABE求面积 解答 解 AEB 90 AE 6 BE 8 在 Rt ABE 中 AB2 AE2 BE2 100 S阴影部分 S正方形 ABCD S ABE AB2 AE BE 100 6 8 76 故选 C 点评 本题考查了勾股定理的运用 正方形的性质 关键是判断 ABE 为直角三角形 运用 勾股定理及面积公式求解 4 5 2012 泸州 如图 菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O 若 AC 6 BD 4 则菱形 ABCD 的 周长是 A 24B 16C 4D 2 考点 菱形的性质 勾股定理 分析 由菱形 ABCD 的两条对角线相交于 O AC 6 BD 4 即可得 AC BD 求得 OA 与 OB 的 长 然后利用勾股定理 求得 AB 的长 继而求得答案 解答 解 四边形 ABCD 是菱形 AC 6 BD 4 AC BD OA AC 3 OB BD 2 AB BC CD AD 在 Rt AOB 中 AB 菱形的周长是 4AB 4 故选 C 点评 此题考查了菱形的性质与勾股定理 此题难度不大 注意掌握数形结合思想的应 用 6 2013 泰安 如图 在平行四边形 ABCD 中 AB 4 BAD 的平分线与 BC 的延长线交于 点 E 与 DC 交于点 F 且点 F 为边 DC 的中点 DG AE 垂足为 G 若 DG 1 则 AE 的边长 为 A 2B 4C 4D 8 考点 平行四边形的性质 等腰三角形的判定与性质 含 30 度角的直角三角形 勾股定 理 专题 计算题 分析 由 AE 为角平分线 得到一对角相等 再由 ABCD 为平行四边形 得到 AD 与 BE 平行 利用两直线平行内错角相等得到一对角相等 等量代换及等角对等边得到 AD DF 由 F 为 DC 中点 AB CD 求出 AD 与 DF 的长 得出三角形 ADF 为等腰三角形 根据三线合一得到 G 为 AF 中点 在直角三角形 ADG 中 由 AD 与 DG 的长 利用勾股定理求出 AG 的长 进而 求出 AF 的长 再由三角形 ADF 与三角形 ECF 全等 得出 AF EF 即可求出 AE 的长 解答 解 AE 为 ADB 的平分线 5 DAE BAE DC AB BAE DFA DAE DFA AD FD 又 F 为 DC 的中点 DF CF AD DF DC AB 2 在 Rt ADG 中 根据勾股定理得 AG 则 AF 2AG 2 在 ADF 和 ECF 中 ADF ECF AAS AF EF 则 AE 2AF 4 故选 B 点评 此题考查了平行四边形的性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 等腰三角形 的判定与性质 熟练掌握平行四边形的判定与性质是解本题的关键 7 2013 苏州 如图 在平面直角坐标系中 Rt OAB 的顶点 A 在 x 轴的正半轴上 顶点 B 的坐标为 3 点 C 的坐标为 0 点 P 为斜边 OB 上的一个动点 则 PA PC 的 最小值为 A B C D 2 考点 轴对称 最短路线问题 坐标与图形性质 3718684 分析 作 A 关于 OB 的对称点 D 连接 CD 交 OB 于 P 连接 AP 过 D 作 DN OA 于 N 则此时 PA PC 的值最小 求出 AM 求出 AD 求出 DN CN 根据勾股定理求出 CD 即可得出 答案 解答 解 作 A 关于 OB 的对称点 D 连接 CD 交 OB 于 P 连接 AP 过 D 作 DN OA 于 N 则此时 PA PC 的值最小 DP PA PA PC PD PC CD B 3 6 AB OA 3 B 60 由勾股定理得 OB 2 由三角形面积公式得 OA AB OB AM AM AD 2 3 AMB 90 B 60 BAM 30 BAO 90 OAM 60 DN OA NDA 30 AN AD 由勾股定理得 DN C 0 CN 3 1 在 Rt DNC 中 由勾股定理得 DC 即 PA PC 的最小值是 故选 B 点评 本题考查了三角形的内角和定理 轴对称 最短路线问题 勾股定理 含 30 度角的 直角三角形性质的应用 关键是求出 P 点的位置 题目比较好 难度适中 8 2013 鄂州 如图 已知直线 a b 且 a 与 b 之间的距离为 4 点 A 到直线 a 的距离为 2 点 B 到直线 b 的距离为 3 AB 试在直线 a 上找一点 M 在直线 b 上找一点 N 满足 MN a 且 AM MN NB 的长度和最短 则此时 AM NB 7 A 6B 8C 10D 12 考点 勾股定理的应用 线段的性质 两点之间线段最短 平行线之间的距离 3718684 分析 MN 表示直线 a 与直线 b 之间的距离 是定值 只要满足 AM NB 的值最小即可 作点 A 关于直线 a 的对称点 A 连接 A B 交直线 b 与点 N 过点 N 作 NM 直线 a 连接 AM 则可判断四边形 AA NM 是平行四边形 得出 AM A N 由两点之间线段最短 可得此时 AM NB 的值最小 过点 B 作 BE AA 交 AA 于点 E 在 Rt ABE 中求出 BE 在 Rt A BE 中求出 A B 即可得出 AM NB 解答 解 作点 A 关于直线 a 的对称点 A 连接 A B 交直线 b 与点 N 过点 N 作 NM 直 线 a 连接 AM A 到直线 a 的距离为 2 a 与 b 之间的距离为 4 AA MN 4 四边形 AA NM 是平行四边形 AM NB A N NB A B 过点 B 作 BE A A 交 AA 于点 E 易得 AE 2 4 3 9 AB 2 A E 2 3 5 在 Rt AEB 中 BE 在 Rt A EB 中 A B 8 故选 B 点评 本题考查了勾股定理的应用 平行线之间的距离 解答本题的关键是找到点 M 点 N 的位置 难度较大 注意掌握两点之间线段最短 8 9 2013 绥化 已知 如图在 ABC ADE 中 BAC DAE 90 AB AC AD AE 点 C D E 三点在同一条直线上 连接 BD BE 以下四个结论 BD CE BD CE ACE DBC 45 BE2 2 AD2 AB2 其中结论正确的个数是 A 1B 2C 3D 4 考点 全等三角形的判定与性质 勾股定理 等腰直角三角形 专题 计算题 分析 由 AB AC AD AE 利用等式的性质得到夹角相等 利用 SAS 得出三角形 ABD 与三 角形 AEC 全等 由全等三角形的对应边相等得到 BD CE 本选项正确 由三角形 ABD 与三角形 AEC 全等 得到一对角相等 再利用等腰直角三角形的性 质及等量代换得到 BD 垂直于 CE 本选项正确 由等腰直角三角形的性质得到 ABD DBC 45 等量代换得到 ACE DBC 45 本选项正确 由 BD 垂直于 CE 在直角三角形 BDE 中 利用勾股定理列出关系式 等量代换即可 作出判断 解答 解 BAC DAE 90 BAC CAD DAE CAD 即 BAD CAE 在 BAD 和 CAE 中 BAD CAE SAS BD CE 本选项正确 BAD CAE ABD ACE ABD DBC 45 ACE DBC 45 DBC DCB DBC ACE ACB 90 则 BD CE 本选项正确 ABC 为等腰直角三角形 ABC ACB 45 ABD DBC 45 ABD ACE 9 ACE DBC 45 本选项正确 BD CE 在 Rt BDE 中 利用勾股定理得 BE2 BD2 DE2 ADE 为等腰直角三角形 DE AD 即 DE2 2AD2 BE2 BD2 DE2 BD2 2AD2 而 BD2 2AB2 本选项错误 综上 正确的个数为 3 个 故选 C 点评 此题考查了全等三角形的判定与性质 勾股定理 以及等腰直角三角形的性质 熟 练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键 10 2013 黔西南州 一直角三角形的两边长分别为 3 和 4 则第三边的长为 A 5B C D 5 或 考点 勾股定理 专题 分类讨论 分析 本题中没有指明哪个是直角边哪个是斜边 故应该分情况进行分析 解答 解 1 当两边均为直角边时 由勾股定理得 第三边为 5 2 当 4 为斜边时 由勾股定理得 第三边为 故选 D 点评 题主要考查学生对勾股定理的运用 注意分情况进行分析 11 2013 安顺 如图 有两颗树 一颗高 10 米 另一颗高 4 米 两树相距 8 米 一只鸟 从一颗树的树梢飞到另一颗树的树梢 问小鸟至少飞行 A 8 米 B 10 米 C 12 米 D 14 米 考点 勾股定理的应用 专题 应用题 分析 根据 两点之间线段最短 可知 小鸟沿着两棵树的树梢进行直线飞行 所行的路 程最短 运用勾股定理可将两点之间的距离求出 解答 解 如图 设大树高为 AB 10m 小树高为 CD 4m 过 C 点作 CE AB 于 E 则 EBDC 是矩形 连接 AC EB 4m EC 8m AE AB EB 10 4 6m 10 在 Rt AEC 中 AC 10m 故选 B 点评 本题考查正确运用勾股定理 善于观察题目的信息是解题以及学好数学的关键 12 2013 年佛山市 如图 若 A 60 AC 20m 则BC大约是 结果精确到 0 1m A 34 64m B 34 6m C 28 3m D 17 3m 分析 首先计算出 B 的度数 再根据直角三角形的性质可得 AB 40m 再利用勾股定理计算出 BC 长即可 解 A 60 C 90 B 30 AB 2AC AC 20m AB 40m BC 20 34 6 m 故选 B 点评 此题主要考查了勾股定理 以及直角三角形的性质 关键是掌握在直角三角形中 30 角所对的直角边等于斜边的一半 在任何一个直角三角形中 两条直角边长的平方之 和一定等于斜边长的平方 13 2013 台湾 14 如图 ABC 中 D 为 AB 中点 E 在 AC 上 且 BE AC 若 DE 10 AE 16 则 BE 的长度为何 A 10B 11C 12D 13 考点 勾股定理 直角三角形斜边上的中线 分析 根据在直角三角形中 斜边上的中线等于斜边的一半着一性质可求出 AB 的长 再根 据勾股定理即可求出 BE 的长 解答 解 BE AC AEB 是直角三角形 D 为 AB 中点 DE 10 AB 20 AE 16 AC B 第 7 题图 11 BE 12 故选 C 点评 本题考查了勾股定理的运用 直角三角形的性质 直角三角形中 斜边上的中线等 于斜边的一半 题目的综合性很好 难度不大 14 10 4 图形变换综合与创新 2013 东营中考 如图 圆柱形容器中 高为 1 2m 底 面周长为 1m 在容器内壁离容器底部 0 3m 的点B处有一蚊子 此时一只壁虎正好在容器 外壁 离容器上沿 0 3m 与蚊子相对的点A处 则壁虎捕捉蚊子的最短距离为 m 容器厚度忽略不计 16 1 3 解析 因为壁虎与蚊子在相对的位置 则壁虎在圆柱展开图矩形两边中点的连线 上 如图所示 要求壁虎捉蚊子的最短距离 实际上是求在 EF 上找一点 P 使 PA PB 最短 过 A 作 EF 的对称点 A 连接A B 则A B 与 EF 的交点就是所求的点 P 过 B 作 BM AA 于点 M 在Rt A MB 中 1 2A M 1 2 BM 所以 22 1 3A BA MBM 因为A BAPPB 所以壁虎捉蚊子的最短距离为 1 3m 16 题答案图 15 2013 滨州 在 ABC 中 C 90 AB 7 BC 5 则边 AC 的长为 2 考点 勾股定理 专题 计算题 12 分析 根据勾股定理列式计算即可得解 解答 解 C 90 AB 7 BC 5 AC 2 故答案为 2 点评 本题考查了勾股定理的应用 是基础题 作出图形更形象直观 16 2013 山西 1 2 分 如图 在矩形纸片 ABCD 中 AB 12 BC 5 点 E 在 AB 上 将 DAE 沿 DE 折叠 使点 A 落在对角线 BD 上的点 A 处 则 AE 的长为 答案 10 3 解析 由勾股定理求得 BD 13 DA D A BC 5 D AE DAE 90 设 AE x 则 AE x BE 12 x B A 13 5 8 在 Rt E AB 中 222 12 8xx 解得 x 10 3 即 AE 的长为10 3 17 2013 黄冈 已知 ABC 为等边三角形 BD 为中线 延长 BC 至 E 使 CE CD 1 连接 DE 则 DE 考点 等边三角形的性质 等腰三角形的判定与性质 3481324 第 17 题 13 分析 根据等腰三角形和三角形外角性质求出 BD DE 求出 BC 在 Rt BDC 中 由勾股 定理求出 BD 即可 解答 解 ABC 为等边三角形 ABC ACB 60 AB BC BD 为中线 DBC ABC 30 CD CE E CDE E CDE ACB E 30 DBC BD DE BD 是 AC 中线 CD 1 AD DC 1 ABC 是等边三角形 BC AC 1 1 2 BD AC 在 Rt BDC 中 由勾股定理得 BD 即 DE BD 故答案为 点评 本题考查了等边三角形性质 勾股定理 等腰三角形性质 三角形的外角性质等知 识点的应用 关键是求出 DE BD 和求出 BD 的长 18 2013 四川宜宾 如图 在 ABC中 ABC 90 BD为AC的中线 过点C作CE BD 于点E 过点A作BD的平行线 交CE的延长线于点F 在AF的延长线上截取FG BD 连 接BG DF 若AG 13 CF 6 则四边形BDFG的周长为 20 考点 菱形的判定与性质 直角三角形斜边上的中线 勾股定理 分析 首先可判断四边形BGFD是平行四边形 再由直角三角形斜边中线等于斜边一半 可得BD FD 则可判断四边形BGFD是菱形 设GF x 则AF 13 x AC 2x 在Rt ACF 中利用勾股定理可求出x的值 解答 解 AG BD BD FG 四边形BGFD是平行四边形 14 CF BD CF AG 又 点D是AC中点 BD DF AC 四边形BGFD是菱形 设GF x 则AF 13 x AC 2x 在Rt ACF中 AF2 CF2 AC2 即 13 x 2 62 2x 2 解得 x 5 故四边形BDFG的周长 4GF 20 故答案为 20 点评 本题考查了菱形的判定与性质 勾股定理及直角三角形的斜边中线的性质 解答本 题的关键是判断出四边形BGFD是菱形 19 2013 荆门 如图 在 Rt ABC 中 ACB 90 D 是 AB 的中点 过 D 点作 AB 的垂 线交 AC 于点 E BC 6 sinA 则 DE 考点 解直角三角形 线段垂直平分线的性质 勾股定理 3718684 分析 在 Rt ABC 中 先求出 AB AC 继而得出 AD 再由 ADE ACB 利用对应边成比例 可求出 DE 解答 解 BC 6 sinA AB 10 AC 8 D 是 AB 的中点 AD AB 5 ADE ACB 即 15 解得 DE 故答案为 点评 本题考查了解直角三角形的知识 解答本题的关键是熟练掌握三角函数的定义及勾 股定理的表达式 20 2013 张家界 如图 OP 1 过 P 作 PP1 OP 得 OP1 再过 P1作 P1P2 OP1且 P1P2 1 得 OP2 又过 P2作 P2P3 OP2且 P2P3 1 得 OP3 2 依此法继续作下去 得 OP2012 考点 勾股定理 3718684 专题 规律型 分析 首先根据勾股定理求出 OP4 再由 OP1 OP2 OP3的长度找到规律进而求出 OP2012的 长 解答 解 由勾股定理得 OP4 OP1 得 OP2 依此类推可得 OPn OP2012 故答案为 点评 本题考查了勾股定理的运用 解题的关键是由已知数据找到规律 21 2013 包头 如图 点 E 是正方形 ABCD 内的一点 连接 AE BE CE 将 ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 到 CBE 的位置 若 AE 1 BE 2 CE 3 则 BE C 135 度 考点 勾股定理的逆定理 正方形的性质 旋转的性质 3718684 16 分析 首先根据旋转的性质得出 EBE 90 BE BE 2 AE E C 1 进而根据勾股定 理的逆定理求出 EE C 是直角三角形 进而得出答案 解答 解 连接 EE 将 ABE 绕点 B 顺时针旋转 90 到 CBE 的位置 AE 1 BE 2 CE 3 EBE 90 BE BE 2 AE E C 1 EE 2 BE E 45 E E2 E C2 8 1 9 EC2 9 E E2 E C2 EC2 EE C 是直角三角形 EE C 90 BE C 135 故答案为 135 点评 此题主要考查了勾股定理以及逆定理 根据已知得出 EE C 是直角三角形是解题关 键 22 2013 巴中 若直角三角形的两直角边长为 a b 且满足 则该直角三角形的斜边长为 5 考点 勾股定理 非负数的性质 绝对值 非负数的性质 算术平方根 分析 根据非负数的性质求得 a b 的值 然后利用勾股定理即可求得该直角三角形的斜边 长 解答 解 a2 6a 9 0 b 4 0 解得 a 3 b 4 直角三角形的两直角边长为 a b 该直角三角形的斜边长 5 故答案是 5 点评 本题考查了勾股定理 非负数的性质 绝对值 算术平方根 任意一个数的绝对值 二次根式 都是非负数 当几个数或式的绝对值相加和为 0 时 则其中的每一项 都必须等于 0 17 23 2013 雅安 在平面直角坐标系中 已知点 A 0 B 0 点 C 在坐标 轴上 且 AC BC 6 写出满足条件的所有点 C 的坐标 0 2 0 2 3 0 3 0 考点 勾股定理 坐标与图形性质 专题 分类讨论 分析 需要分类讨论 当点 C 位于 x 轴上时 根据线段间的和差关系即可求得点 C 的坐 标 当点 C 位于 y 轴上时 根据勾股定理求点 C 的坐标 解答 解 如图 当点 C 位于 y 轴上时 设 C 0 b 则 6 解得 b 2 或 b 2 此时 C 0 2 或 C 0 2 如图 当点 C 位于 x 轴上时 设 C a 0 则 a a 6 即 2a 6 或 2a 6 解得 a 3 或 a 3 此时 C 3 0 或 C 3 0 综上所述 点 C 的坐标是 0 2 0 2 3 0 3 0 故答案是 0 2 0 2 3 0 3 0 点评 本题考查了勾股定理 坐标与图形的性质 解题时 要分类讨论 以防漏解 另外 当点 C 在 y 轴上时 也可以根据两点间的距离公式来求点 C 的坐标 24 2013 眉山 如图 BAC DAF 90 AB AC AD AF 点 D E 为 BC 边上的两点 且 DAE 45 连接 EF BF 则下列结论 AED AEF ABE ACD BE DC DE BE2 DC2 DE2 其中正确的有 个 18 A 1B 2C 3D 4 考点 相似三角形的判定与性质 全等三角形的判定与性质 勾股定理 分析 根据 DAF 90 DAE 45 得出 FAE 45 利用 SAS 证明 AED AEF 判 定 正确 如果 ABE ACD 那么 BAE CAD 由 ABE C 45 则 AED ADE AD AE 而由已知不能得出此条件 判定 错误 先由 BAC DAF 90 得出 CAD BAF 再利用 SAS 证明 ACD ABF 得出 CD BF 又 知 DE EF 那么在 BEF 中根据三角形两边之和大于第三边可得 BE BF EF 等量代换后判定 正确 先由 ACD ABF 得出 C ABF 45 进而得出 EBF 90 然后在 Rt BEF 中 运用勾股定理得出 BE2 BF2 EF2 等量代换后判定 正确 解答 解 DAF 90 DAE 45 FAE DAF DAE 45 在 AED 与 AEF 中 AED AEF SAS 正确 BAC 90 AB AC ABE C 45 点 D E 为 BC 边上的两点 DAE 45 AD 与 AE 不一定相等 AED 与 ADE 不一定相等 AED 45 BAE ADE 45 CAD BAE 与 CAD 不一定相等 ABE 与 ACD 不一定相似 错误 BAC DAF 90 BAC BAD DAF BAD 即 CAD BAF 在 ACD 与 ABF 中 ACD ABF SAS 19 CD BF 由 知 AED AEF DE EF 在 BEF 中 BE BF EF BE DC DE 正确 由 知 ACD ABF C ABF 45 ABE 45 EBF ABE ABF 90 在 Rt BEF 中 由勾股定理 得 BE2 BF2 EF2 BF DC EF DE BE2 DC2 DE2 正确 所以正确的结论有 故选 C 点评 本题考查了勾股定理 全等三角形的判定与性质 等腰直角直角三角形的性质 三 角形三边关系定理 相似三角形的判定 此题涉及的知识面比较广 解题时要注意 仔细分析 有一定难度 25 2013 哈尔滨 在 ABC 中 AB 2 2 BC 1 ABC 450 以 AB 为一边作等腰直角 三角形 ABD 使 ABD 900 连接 CD 则线段 CD 的长为 考点 解直角三角形 钝角三角形的高 分析 双解问题 画等腰直角三角形 ABD 使 ABD 900 分两种情况 点 D 与 C 在 AB 同 侧 D 与 C 在 AB 异侧 考虑要全面 解答 当点 D 与 C 在 AB 同侧 BD AB 2 2 作 CE BD 于 E CD BD 2 2 ED 3 2 2 由勾股定理 CD 5当点 D 与 C 在 AB 异侧 BD AB 2 2 BDC 1350 作 DE BC 于 E BE ED 2 EC 3 由勾股定理 CD 13 故填5或13 26 2013 哈尔滨 如图 矩形 ABCD 的对角线 AC BD 相交于点 0 过点 O 作 OE AC 交 20 AB 于 E 若 BC 4 AOE 的面积为 5 则 sin BOE 的值为 考点 线段垂直平分线的性质 勾股定理 矩形的性质 解直角三角形 分析 本题利用三角形的面积计算此题考查了矩形的性质 垂直平分线的性质以及勾股定 理及解直角三角形 注意数形结合思想的应用 此题综合性较强 难度较大 解答 由 AOE 的面积为 5 找此三角形的高 作 OH AE 于 E 得 OH BC AH BH 由三角形 的中位线 BC 4 OH 2 从而 AE 5 连接 CE 由 AO OC OE AC 得 EO 是 AC 的垂直平分线 AE CE 在直 角三角形 EBC 中 BC 4 AE 5 勾股定理得 EB 3 AB 8 在直 角三角形 ABC 中 勾股定理得 AC 4 5 BO 1 2 AC 2 5 作 EM BO 于 M 在直角三角形 EBM 中 EM BEsin ABD 3 5 5 3 5 5 BM BEcos ABD 3 2 5 5 6 5 5 从而 OM 4 5 5 在 直角三角形 E0M 中 勾股定理得 OE 5 sin BOE 3 5 3 5 055 EM E 27 2013 呼和浩特 在平面直角坐标系中 已知点 A 4 0 B 6 0 点 C 是 y 轴 上的一个动点 当 BCA 45 时 点 C 的坐标为 0 12 或 0 12 考点 圆周角定理 坐标与图形性质 勾股定理 3718684 分析 如解答图所示 构造含有 90 圆心角的 P 则 P 与 y 轴的交点即为所求的点 C 注意点 C 有两个 解答 解 设线段 BA 的中点为 E 点 A 4 0 B 6 0 AB 10 E 1 0 1 如答图 1 所示 过点 E 在第二象限作 EP BA 且 EP AB 5 则易知 PBA 为 等腰直角三角形 BPA 90 PA PB 以点 P 为圆心 PA 或 PB 长为半径作 P 与 y 轴的正半轴交于点 C BCA 为 P 的圆周角 BCA BPA 45 即则点 C 即为所求 过点 P 作 PF y 轴于点 F 则 OF PE 5 PF 1 在 Rt PFC 中 PF 1 PC 由勾股定理得 CF 7 21 OC OF CF 5 7 12 点 C 坐标为 0 12 2 如答图 2 所示 在第 3 象限可以参照 1 作同样操作 同理求得 y 轴负半轴 上的点 C 坐标为 0 12 综上所述 点 C 坐标为 0 12 或 0 12 故答案为 0 12 或 0 12 点评 本题难度较大 由 45 的圆周角联想到 90 的圆心角是解题的突破口 也是本题的 难点所在 28 2013 哈尔滨 如图 在每个小正方形的边长均为 1 个单位长度的方格纸中 有线段 AB 和直线 MN 点 A B M N 均在小正方形的顶点上 1 在方格纸中画四边形 ABCD 四边形的各顶点均在小正方形的顶点上 使四边形 ABCD 是以直线 MN 为对称轴的轴对称图形 点 A 的对称点为点 D 点 B 的对称点为点 C 2 请直接写出四边形 ABCD 的周长 考点 轴对称图形 勾股定理 网格作图 分析 1 1 根据轴对称图形的性质 利用轴对称的作图方法来作图 2 2 利用勾股定理 22 求出 AB BC CD AD 四条线段的长度 然后求 和即可即可最 解答 1 正确 画图 2 2 55 2 2013 湘西州 如图 Rt ABC 中 C 90 AD 平分 CAB DE AB 于 E 若 AC 6 BC 8 CD 3 1 求 DE 的长 2 求 ADB 的面积 考点 角平分线的性质 勾股定理 分析 1 根据角平分线性质得出 CD DE 代入求出即可 2 利用勾股定理求出 AB 的长 然后计算 ADB 的面积 解答 解 1 AD 平分 CAB DE AB C 90 CD DE CD 3 DE 3 2 在 Rt ABC 中 由勾股定理得 AB 10 ADB 的面积为 S ADB AB DE 10 3 15 点评 本题考查了角平分线性质和勾股定理的运用 注意 角平分线上的点到角两边的距 离相等 23 29 13 年安徽省 4 分 14 已知矩形纸片 ABCD 中 AB 1 BC 2 将该纸片叠成一个平面图形 折痕 EF 不经过 A 点 E F 是该矩形边界上的点 折叠后点 A 落在 A 处 给出以下 判断 1 当四边形 A CDF 为正方形时 EF 2 2 当 EF 2时 四边形 A CDF 为正方形 3 当 EF 5时 四边形 BA CD 为等腰梯形 4 当四边形 BA CD 为等腰梯形时 EF 5 其中正确的是 把所有正确结论序号都填在横线上 30 2013 鞍山 如图 D 是 ABC 内一点 BD CD AD 6 BD 4 CD 3 E F G H 分别 是 AB AC CD BD 的中点 则四边形 EFGH 的周长是 24 考点 三角形中位线定理 勾股定理 分析 利用勾股定理列式求出 BC 的长 再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三 边的一半求出 EH FG AD EF GH BC 然后代入数据进行计算即可得解 解答 解 BD CD BD 4 CD 3 BC 5 E F G H 分别是 AB AC CD BD 的中点 EH FG AD EF GH BC 四边形 EFGH 的周长 EH GH FG EF AD BC 又 AD 6 四边形 EFGH 的周长 6 5 11 故答案为 11 点评 本题考查了三角形的中位线定理 勾股定理的应用 熟记三角形的中位线平行于第 三边并且等于第三边的一半是解题的关键 31 2013 十堰 如图 ABCD 中 ABC 60 E F 分别在 CD 和 BC 的延长线上 AE BD EF BC EF 则 AB 的长是 1 考点 平行四边形的判定与性质 含 30 度角的直角三角形 勾股定理 3718684 分析 根据平行四边形性质推出 AB CD AB CD 得出平行四边形 ABDE 推出 DE DC AB 根据直角三角形性质求出 CE 长 即可求出 AB 的长 解答 解 四边形 ABCD 是平行四边形 AB DC AB CD AE BD 四边形 ABDE 是平行四边形 AB DE CD 即 D 为 CE 中点 EF BC EFC 90 25 AB CD DCF ABC 60 CEF 30 EF CE 2 AB 1 故答案为 1 点评 本题考查了平行四边形的性质和判定 平行线性质 勾股定理 直角三角形斜边上 中线性质 含 30 度角的直角三角形性质等知识点的应用 此题综合性比较强 是一 道比较好的题目 32 2013 凉山州 如图 在平面直角坐标系中 矩形 OABC 的顶点 A C 的坐标分别为 10 0 0 4 点 D 是 OA 的中点 点 P 在 BC 上运动 当 ODP 是腰长为 5 的等腰三 角形时 点 P 的坐标为 考点 矩形的性质 坐标与图形性质 等腰三角形的性质 勾股定理 专题 动点型 分析 当 ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时 有三种情况 需要分类讨论 解答 解 由题意 当 ODP 是腰长为 5 的等腰三角形时 有三种情况 1 如答图 所 示 PD OD 5 点 P 在点 D 的左侧 过点 P 作 PE x 轴于点 E 则 PE 4 在 Rt PDE 中 由勾股定理得 DE 3 OE OD DE 5 3 2 此时点 P 坐标为 2 4 2 如答图 所示 OP OD 5 26 过点 P 作 PE x 轴于点 E 则 PE 4 在 Rt POE 中 由勾股定理得 OE 3 此时点 P 坐标为 3 4 3 如答图 所示 PD OD 5 点 P 在点 D 的右侧 过点 P 作 PE x 轴于点 E 则 PE 4 在 Rt PDE 中 由勾股定理得 DE 3 OE OD DE 5 3 8 此时点 P 坐标为 8 4 综上所述 点 P 的坐标为 2 4 或 3 4 或 8 4 点评 本题考查了分类讨论思想在几何图形中的应用 符合题意的等腰三角形有三种情形 注意不要遗漏 33 2013 年广州市 如图 8 四边形ABCD是菱形 对角线AC与BD相交于O AB 5 AO 4 求 BD的长 分析 根据菱形的性质得出 AC BD 再利用勾股定理求出 BO 的长 即可得出答案 解 四边形 ABCD 是菱形 对角线 AC 与 BD 相交于 O AC BD DO BO AB 5 AO 4 BO 3 BD 2BO 2 3 6 点评 此题主要考查了菱形的性质以及勾股定理 根据已知得出 BO 的长是解题关键 27 34 2013 甘肃兰州 26 如图 1 在 OAB 中 OAB 90 AOB 30 OB 8 以 OB 为 边 在 OAB 外作等边 OBC D 是 OB 的中点 连接 AD 并延长交 OC 于 E 1 求证 四边形 ABCE 是平行四边形 2 如图 2 将图 1 中的四边形 ABCO 折叠 使点 C 与点 A 重合 折痕为 FG 求 OG 的长 考点 平行四边形的判定与性质 等边三角形的性质 翻折变换 折叠问题 分析 1 首先根据直角三角形中斜边上的中线等于斜边的一半可得 DO DA 再根据等边 对等角可得 DAO DOA 30 进而算出 AEO 60 再证明 BC AE CO AB 进而证出 四边形 ABCE 是平行四边形 2 设 OG x 由折叠可得 AG GC 8 x 再利用三角函数可计算出 AO 再利用勾股定理 计算出 OG 的长即可 解答 1 证明 Rt OAB 中 D 为 OB 的中点 DO DA DAO DOA 30 EOA 90 AEO 60 又 OBC 为等边三角形 BCO AEO 60 BC AE BAO COA 90 CO AB 四边形 ABCE 是平行四边形 2 解 设 OG x 由折叠可得 AG GC 8 x 在 Rt ABO 中 OAB 90 AOB 30 BO 8 AO BO cos30 8 4 在 Rt OAG 中 OG2 OA2 AG2 x2 4 2 8 x 2 解得 x 1 OG 1 点评 此题主要考查了平行四边形的判定与性质 以及勾股定理的应用 图形的翻折变换 关键是掌握平行四边形的判定定理 35 2013 遵义 如图 将一张矩形纸片 ABCD 沿直线 MN 折叠 使点 C 落在点 A 处 点 D 落在点 E 处 直线 MN 交 BC 于点 M 交 AD 于点 N 1 求证 CM CN 28 2 若 CMN 的面积与 CDN 的面积比为 3 1 求的值 考点 矩形的性质 勾股定理 翻折变换 折叠问题 3718684 分析 1 由折叠的性质可得 ANM CNM 由四边形 ABCD 是矩形 可得 ANM CMN 则可证得 CMN CNM 继而可得 CM CN 2 首先过点 N 作 NH BC 于