初一数学动点问题例题集

1 初一数学动点问题集锦初一数学动点问题集锦 1 如图 已知中 厘米 厘米 点为的 ABC 10ABAC 8BC DAB 中点 1 如果点 P 在线段 BC 上以 3 厘米 秒的速度由 B 点向 C 点运动 同时 点 Q 在线段 CA 上由 C 点向 A 点运动 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度相等 经过 1 秒后 与 BPD 是否全等 请说明理由 CQP 若点 Q 的运动速度与点 P 的运动速度不相等 当 点 Q 的运动速度为多少时 能够使与全等 BPD CQP 2 若点 Q 以 中的运动速度从点 C 出发 点 P 以 原来的运动速度从点 B 同时出发 都逆时针沿三 ABC 边运动 求经过多长时间点 P 与点 Q 第一次在的哪条边上相遇 ABC 解 1 秒 1t 厘米 3 13BPCQ 厘米 点为的中点 10AB DAB 厘米 5BD 又 厘米 厘米 835PC 8PCBCBPBC PCBD 又 ABAC BC 4 分 BPDCQP PQ vv BPCQ 又 则 BPDCQP BC 45BPPCCQBD 点 点运动的时间秒 P Q 4 33 BP t 厘米 秒 7 分 515 4 4 3 Q CQ v t 2 设经过秒后点与点第一次相遇 xP Q A Q C D B P 2 由题意 得 15 32 10 4 xx 解得秒 80 3 x 点共运动了厘米 P 80 380 3 802 2824 点 点在边上相遇 P Q AB 经过秒点与点第一次在边上相遇 12 分 80 3P Q AB 2 直线 3 6 4 yx 与坐标轴分别交于A B 两点 动点 PQ 同时从O点 出发 同时到达A点 运动停止 点Q沿线段OA运动 速度为每秒 1 个单 位长度 点P沿路线O B A运动 1 直接写出A B 两点的坐标 2 设点Q的运动时间为t秒 OPQ 的面积为S 求出S与t之间的函 数关系式 3 当 48 5 S 时 求出点P的坐标 并 直接写出以点O PQ 为顶点的平行四边形 的第四个顶点M的坐标 解 1 A 8 0 B 0 6 1 分 2 86OAOB 10AB 点Q由O到A的时间是 8 8 1 秒 点P的速度是 6 10 2 8 单位 秒 1 分 当P在线段OB上运动 或 0 3t 时 2OQtOPt x A OQ P B y 3 2 St 1 分 当P在线段BA上运动 或3 8t 时 6 102162OQtAPtt 如图 作PD OA 于点D 由 PDAP BOAB 得 486 5 t PD 1 分 2 1324 255 SOQPDtt 1 分 自变量取值范围写对给 1 分 否则不给分 3 8 24 55 P 1 分 123 8 2412 241224 555555 IMM 3 分 3 如图 在平面直角坐标系中 直线 l y 2x 8 分别与 x 轴 y 轴相交 于 A B 两点 点 P 0 k 是 y 轴的负半轴上的一个动点 以 P 为圆心 3 为 半径作 P 1 连结 PA 若 PA PB 试判断 P 与 x 轴的位置关系 并说明理 由 2 当 k 为何值时 以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 为顶点的三角形 是正三角形 解 1 P 与 x 轴相切 直线 y 2x 8 与 x 轴交于 A 4 0 与 y 轴交于 B 0 8 OA 4 OB 8 由题意 OP k PB PA 8 k 在 Rt AOP 中 k2 42 8 k 2 k 3 OP 等于 P 的半径 P 与 x 轴相切 2 设 P 与直线 l 交于 C D 两点 连结 PC PD 当圆心 P 在线段 OB 上时 作 PE CD 于 E 4 PCD 为正三角形 DE CD PD 3 1 2 3 2 PE 3 3 2 AOB PEB 90 ABO PBE AOB PEB 3 3 4 2 4 5 AOPE ABPBPB 即 3 15 2 PB 3 15 8 2 POBOPB 3 15 0 8 2 P 3 15 8 2 k 当圆心 P 在线段 OB 延长线上时 同理可得 P 0 8 3 15 2 k 8 3 15 2 当 k 8 或 k 8 时 以 P 与直线 l 的两个交点和圆心 P 3 15 2 3 15 2 为顶点的三角形是正三角形 4 如图 1 在平面直角坐标系中 点 O 是坐标原点 四边形 ABCO 是菱形 点 A 的坐标为 3 4 点 C 在 x 轴的正半轴上 直线 AC 交 y 轴于点 M AB 边交 y 轴于点 H 1 求直线 AC 的解析式 2 连接 BM 如图 2 动点 P 从点 A 出发 沿折线 ABC 方向以 2 个单 位 秒的速度向终点 C 匀速运动 设 PMB 的面积为 S S 0 点 P 的运动时 间为 t 秒 求 S 与 t 之间的函数关系式 要求写出自变量 t 的取值范围 3 在 2 的条件下 当 t 为何值时 MPB 与 BCO 互为余角 并求此时直线 OP 与直线 AC 所夹锐角的正切值 5 解 AC B P Q E D 图 16 6 5 在 Rt ABC 中 C 90 AC 3 AB 5 点 P 从点 C 出发沿 CA 以每 秒 1 个单位长的速度向点 A 匀速运动 到达点 A 后立刻以原来的速度沿 AC 返回 点 Q 从点 A 出发沿 AB 以每秒 1 个单位长的速度向点 B 匀速运动 伴随着 P Q 的运动 DE 保持垂直平分 PQ 且交 PQ 于点 D 交折线 QB BC CP 于点 E 点 P Q 同时出发 当点 Q 到达点 B 时停止运动 点 P 也随之停止 设点 P Q 运 动的时间是 t 秒 t 0 1 当 t 2 时 AP 点 Q 到 AC 的距离是 2 在点 P 从 C 向 A 运动的过程中 求 APQ 的面积 S 与 t 的函数关系式 不必写出 t 的取值范围 3 在点 E 从 B 向 C 运动的过程中 四边形 QBED 能否成 为直角梯形 若能 求 t 的值 若不能 请说明理由 4 当 DE 经过点 C 时 请直接写出 t 的值 解 1 1 8 5 2 作 QF AC 于点 F 如图 3 AQ CP t 3APt 由 AQF ABC 22 534BC 得 45 QFt 4 5 QFt 14 3 25 Stt 即 2 26 55 Stt 3 能 当 DE QB 时 如图 4 DE PQ PQ QB 四边形 QBED 是直角梯形 此时 AQP 90 由 APQ ABC 得 AQAP ACAB AC B P Q E D 图 4 7 即 3 35 tt 解得 9 8 t 如图 5 当 PQ BC 时 DE BC 四边形 QBED 是直角梯形 此时 APQ 90 由 AQP ABC 得 AQAP ABAC 即 3 53 tt 解得 15 8 t 4 5 2 t 或 45 14 t 点 P 由 C 向 A 运动 DE 经过点 C 连接 QC 作 QG BC 于点 G 如图 6 PCt 222 QCQGCG 22 34 5 4 5 55 tt 由 22 PCQC 得 222 34 5 4 5 55 ttt 解得 5 2 t 点 P 由 A 向 C 运动 DE 经过点 C 如图 7 222 34 6 5 4 5 55 ttt 45 14 t 6 如图 在中 RtABC 9060ACBB 点是的中点 过点的直线 从与重 2BC OACOlAC 合的位置开始 绕点作逆时针旋转 交边于 OAB 点 过点作交直线 于点 设直线 的旋 DCCEAB lEl 转角为 1 当 度时 四边形是等腰 EDBC 梯形 此时的长为 AD 当 度时 四边形是直角梯形 EDBC 此时的长为 AD 2 当时 判断四边形是否为菱形 90 EDBC 并说明理由 解 1 30 1 60 1 5 4 分 2 当 900 时 四边形 EDBC 是菱形 ACB 900 BC ED CE AB 四边形 EDBC 是平行四边形 6 分 在 Rt ABC 中 ACB 900 B 600 BC 2 A 300 AB 4 AC 2 3 AC B P Q E D 图 5 A C E B P Q D 图 6 G A C E B P Q D 图 7 G O EC B D A l O C BA 备用图 8 AO 1 2 AC 3 8 分 在 Rt AOD 中 A 300 AD 2 BD 2 BD BC 又 四边形 EDBC 是平行四边形 四边形 EDBC 是菱形 10 分 7 如图 在梯形中 ABCD 动点从点出发沿线段 354 245ADBCADDCABB MB 以每秒 2 个单位长度的速度向终点运动 动点 BCC 同时从点出发沿线段以每秒 1 个单位长度的 NCCD 速度向终点运动 设运动的时间为 秒 Dt 1 求的长 BC 2 当时 求 的值 MNAB t 3 试探究 为何值时 为等腰三角形 tMNC 解 1 如图 过 分别作于 于 则四 ADAKBC KDHBC H 边形是矩形 ADHK 1 分 3KHAD 在中 RtABK 2 sin454 24 2 AKAB A 2 分 2 cos454 24 2 BKAB AA 在中 由勾股定理得 RtCDH 22 543HC 3 分 43310BCBKKHHC 2 如图 过作交于点 则四边形是平行四 DDGAB BCGADGB AD CB M N 图 AD CB K H 图 AD CB G M N 9 边形 MN AB MN DG 3BGAD 4 分 1037GC 由题意知 当 运动到 秒时 MNt102CNtCMt DG MN NMCDGC 又 CC MNCGDC 5 分 CNCM CDCG 即 102 57 tt 解得 6 分 50 17 t 3 分三种情况讨论 当时 如图 即 NCMC 102tt 7 分 10 3 t 当时 如图 过作于 MNNC NNEMC E 解法一 由等腰三角形三线合一性质得 11 1025 22 ECMCtt AD CB M N 图 图 AD CB M N HE 10 在中 RtCEN 5 cos ECt c NCt 又在中 RtDHC 3 cos 5 CH c CD 53 5 t t 解得8 分 25 8 t 解法二 90CCDHCNEC NECDHC NCEC DCHC 即 5 53 tt 8 分 25 8 t 当时 如图 过作于点 MNMC MMFCN F 11 22 FCNCt 解法一 方法同 中解法一 1 3 2 cos 1025 t FC C MCt 解得 60 17 t 解法二 90CCMFCDHC MFCDHC FCMC HCDC 图 AD CB H N M F 11 即 1 102 2 35 t t 60 17 t 综上所述 当 或时 为等腰三角形9 分 10 3 t 25 8 t 60 17 t MNC 8 如图 1 在等腰梯形中 是的中点 过点作 ABCDADBC EABE 交于点 EFBC CDF46ABBC 60B 1 求点到的距离 EBC 2 点为线段上的一个动点 过作交于点 过 PEFPPMEF BCM 作交折线于点 连结 设 MMNAB ADCNPNEPx 当点在线段上时 如图 2 的形状是否发生改变 若不变 NADPMN 求出的周长 若改变 请说明理由 PMN 当点在线段上时 如图 3 是否存在点 使为等腰三角 NDCPPMN 形 若存在 请求出所有满足要求的的值 若不存在 请说明理由 x 12 解 1 如图 1 过点作于点1 分 EEGBC G 为的中点 EAB 1 2 2 BEAB 在中 2 分 RtEBG 60B 30BEG 22 1 1213 2 BGBEEG 即点到的距离为3 分 EBC 3 2 当点在线段上运动时 的形状不发生改变 NADPMN PMEFEGEF PMEG EFBC EPGM 3PMEG 同理4 分 4MNAB 如图 2 过点作于 PPHMN HMNAB 6030NMCBPMH 13 22 PHPM 3 cos30 2 MHPM A 则 35 4 22 NHMNMH AD E B F C 图 4 备用 AD E B F C 图 5 备用 AD E B F C 图 1图 2 AD E B F C P N M 图 3 AD E B F C P N M 第 25 题 图 1 AD E B F C G 图 2 AD E B F C P N MG H 13 在中 RtPNH 2 2 22 53 7 22 PNNHPH 的周长 6 分 PMN 374PMPNMN 当点在线段上运动时 的形状发生改变 但恒为 NDCPMN MNC 等边三角形 当时 如图 3 作于 则 PMPN PRMN RMRNR 类似 3 2 MR 7 分 23MNMR 是等边三角形 MNC 3MCMN 此时 8 分 6 1 32xEPGMBCBGMC 图 3 AD E B F C P N M 图 4 AD E B F C P M N 图 5 AD E B F P C M N GG R G 当时 如图 4 这时 MPMN 3MCMNMP 此时 6 1353xEPGM 当时 如图 5 NPNM 30NPMPMN 则又 120PMN 60MNC 180PNMMNC 因此点与重合 为直角三角形 PFPMC tan301MCPM A 此时 6 1 14xEPGM 综上所述 当或 4 或时 为等腰三角形 10 分 2x 53 PMN 9 如图 正方形 ABCD 中 点 A B 的坐标分别为 0 10 8 4 点 C 在第一象限 动点 P 在正方形 ABCD 的边上 从点 A 出发沿 A B C D 匀速运动 同时动点 Q 以相同速度在 x 轴正半轴上运动 当 P 点到达 D 点时 两点同 时停止运动 14 设运动的时间为 t 秒 1 当 P 点在边 AB 上运动时 点 Q 的横坐标 长度单位 关于运动时间 x t 秒 的函数图象如图 所示 请写出点 Q 开始运动时的坐标及点 P 运动速度 2 求正方形边长及顶点 C 的坐标 3 在 1 中当 t 为何值时 OPQ 的面积最大 并求此时 P 点的坐标 4 如果点 P Q 保持原速度不变 当点 P 沿 A B C D 匀速运动时 OP 与 PQ 能否相等 若能 写出所有符合条件的 t 的值 若不能 请说明理由 解 1 1 0 1 分 Q 点 P 运动速度每秒钟 1 个单位长度 2 分 2 过点作 BF y 轴于点 轴于点 则 8 BFBExEBF 4OFBE 1046AF 在 Rt AFB 中 3 分 22 8610AB 过点作 轴于点 与的延长线交于点 CCGxGFBH ABF BCH 90 ABCABBC 6 8BHAFCHBF 8614 8412OGFHCG 所求 C 点的坐标为 14 12 4 分 3 过点 P 作 PM y 轴于点 M PN 轴于点 N x 则 APM ABF APAMMP ABAFBF 1068 tAMMP 34 55 AMtPMt 34 10 55 PNOMtONPMt 设 OPQ 的面积为 平方单位 S 0 10 5 分 2 13473 10 1 5 251010 Stttt t 说明 未注明自变量的取值范围不扣分 A B C D E F G H M N P QOx y 15 0 当时 OPQ 的面积最大 6 分 3 10 a 47 47 10 3 6 2 10 t 此时 P 的坐标为 7 分 94 15 53 10 4 当 或时 OP 与 PQ 相等 9 分 5 3 t 295 13 t 10 数学课上 张老师出示了问题 如图 1 四边形 ABCD 是正方形 点 E 是 边 BC 的中点 且 EF 交正方形外角的平行线 CF 于点 F 90AEF DCG 求证 AE EF 经过思考 小明展示了一种正确的解题思路 取 AB 的中点 M 连接 ME 则 AM EC 易证 所以 AMEECF AEEF 在此基础上 同学们作了进一步的研究 1 小颖提出 如图 2 如果把 点 E 是边 BC 的中点 改为 点 E 是边 BC 上 除 B C 外 的任意一点 其它条件不变 那么结论 AE EF 仍然成 立 你认为小颖的观点正确吗 如果正确 写出证明过程 如果不正确 请说 明理由 2 小华提出 如图 3 点 E 是 BC 的延长线上 除 C 点外 的任意一 点 其他条件不变 结论 AE EF 仍然成立 你认为小华的观点正确吗 如果 正确 写出证明过程 如果不正确 请说明理由 A D F CGE B 图 1 A D F CGE B 图 2 A D F CGE B 图 3 16 解 1 正确 1 分 证明 在上取一点 使 连接 2 分 ABMAMEC ME BMBE 45BME 135AME 是外角平分线 CF 45DCF 135ECF AMEECF 90AEBBAE 90AEBCEF BAECEF ASA 5 分 AMEBCF 6 分 AEEF 2 正确 7 分 证明 在的延长线上取一点 BAN 使 连接 8 分 ANCE NE BNBE 45NPCE 四边形是正方形 ABCD ADBE DAEBEA NAECEF ASA 10 分 ANEECF 11 分 AEEF 11 已知一个直角三角形纸片 其中 如 OAB9024AOBOAOB 图 将该纸片放置在平面直角坐标系中 折叠该纸片 折痕与边交于点 OBC 与边交于点 ABD 若折叠后使点与点重合 求点的坐标 BAC 若折叠后点落在边上的点为 设 试写出 BOA B OBx OCy A D F CGE B M A D F CGE B N x y B OA x y B OA 17 关于的函数解析式 并确定的取值范围 y x y 若折叠后点落在边上的点为 且使 求此时点 BOA B B DOB 的坐标 C 解 如图 折叠后点与点重合 BA 则 ACDBCD 设点的坐标为 C 00mm 则 4BCOBOCm 于是 4ACBCm 在中 由勾股定理 得 RtAOC 222 ACOCOA 即 解得 2 22 42mm 3 2 m 点的坐标为 4 分 C 3 0 2 如图 折叠后点落在边上的点为 BOA B 则 B CDBCD 由题设 OBxOCy 则 4B CBCOBOCy 在中 由勾股定理 得 RtB OC 222 B COCOB 2 22 4yyx 即6 分 2 1 2 8 yx 由点在边上 有 B OA02x 解析式为所求 2 1 2 8 yx 02x 当时 随的增大而减小 02x y x x y B OA 18 的取值范围为 7 分 y 3 2 2 y 如图 折叠后点落在边上的点为 且 BOA B B DOB 则 OCBCB D 又 有 CBDCB DOCBCBD CBBA RtRtCOBBOA 有 得 9 分 OBOC OAOB 2OC OB 在中 RtB OC 设 则 0 0OBxx 0 2OCx 由 的结论 得 2 00 1 22 8 xx 解得 000 84 5084 5xxx 点的坐标为 10 分 C 0 8 516 12问题解决 如图 1 将正方形纸片折叠 使点落在边 ABCDBCD 上一点 不与点 重合 压平后得到折痕 当 ECDMN 时 求的值 1 2 CE CD AM BN 类比归纳 在图 1 中 若则的值等于