（江苏专用）2013高考数学总复习 （基础达标演练+综合创新备选）第十篇 圆锥曲线与方程《第62讲　曲线与方程 》理（含解析） 苏教版

1 20132013 高考总复习江苏专用 理科 第十篇高考总复习江苏专用 理科 第十篇 圆锥曲线与方程圆锥曲线与方程 第第 6262 讲讲 曲线与方程曲线与方程 基础达标演练 基础达标演练 综合创新备选 含解析 综合创新备选 含解析 A 级 基础达标演练 时间 45 分钟 满分 80 分 一 填空题 每小题 5 分 共 35 分 1 方程 x y 2 xy 1 2 0 表示的是 解析 x y 2 xy 1 2 0 Error Error 或Error 故此方程表示两个点 答案 两个点 2 已知点F 直线l x 点B是l上的动点 若过B垂直于y轴的直线与线 1 4 0 1 4 段BF的垂直平分线交于点M 则点M的轨迹是 解析 由已知 MF MB 由抛物线定义知 点M的轨迹是以F为焦点 l为准线的抛物线 答案 抛物线 3 设P为圆x2 y2 1 上的动点 过P作x轴的垂线 垂足为Q 若 其中 为 PM MQ 正常数 则点M的轨迹为 解析 设M x y P x0 y0 则Q x0 0 由 得Error 0 PM MQ Error 由于x20 y20 1 x2 1 2y2 1 M的轨迹为椭圆 答案 椭圆 4 设圆 x 1 2 y2 25 的圆心为C A 1 0 是圆内一定点 Q为圆周上任一点 线段AQ 的垂直平分线与CQ的连线交于点M 则M的轨迹方程为 解析 M为AQ垂直平分线上一点 则AM MQ MC MA MC MQ CQ 5 由椭圆的定义知 M的轨迹为椭圆 a c 1 则b2 a2 c2 5 2 21 4 椭圆的标准方程为 1 4x2 25 4y2 21 2 答案 1 4x2 25 4y2 21 5 2011 湘潭模拟 如图所示 一圆形纸片的圆心为O F是圆内一定点 M是圆周上一 动点 把纸片折叠使M与F重合 然后抹平纸片 折痕为CD 设CD与OM交于点P 则点 P的轨迹是 解析 由条件知PM PF PO PF PO PM OM R OF P点的轨迹是以O F为焦点的椭圆 答案 椭圆 6 平面上有三个点A 2 y B C x y 若 则动点C的轨迹方程是 0 y 2 AB BC 解析 2 y AB 0 y 2 2 y 2 x y BC 0 y 2 x y 2 0 AB BC AB BC 0 即y2 8x 2 y 2 x y 2 动点C的轨迹方程为y2 8x 答案 y2 8x 7 在 ABC中 A为动点 B C为定点 B C a 0 且满足条件 sin a 2 0 a 2 0 C sin B sin A 则动点A的轨迹方程是 1 2 解析 由正弦定理得 AB 2R AC 2R 1 2 BC 2R AB AC BC 由双曲线的定义知动点A的轨迹为双曲线右支 1 2 3 答案 1 x 0 且y 0 16x2 a2 16y2 3a2 二 解答题 每小题 15 分 共 45 分 8 设圆C x 1 2 y2 1 过原点O作圆的任意弦 求所作弦的中点的轨迹方程 解 法一 直接法 设OQ为过O点的一条弦 P x y 为其中点 则CP OQ 因OC中点为M 连接PM 1 2 0 故 MP OC 得方程 2 y2 由圆的范围知 0 x 1 1 2 1 2 x 1 2 1 4 法二 定义法 OPC 90 动点P在以点M为圆心 OC为直径的圆上 由圆的方程得 1 2 0 2 y2 0 x 1 x 1 2 1 4 法三 相关点法 设Q x1 y1 P x y 则 Error Error 又 x1 1 2 y21 1 2x 1 2 2y 2 1 0 x 1 9 2011 泰州模拟 如图 在直角坐标系中 A B C三点在x轴上 原点O和点B分别 是线段AB和AC的中点 已知AO m m为常数 平面的点P满足PA PB 6m 1 试求点P的轨迹C1的方程 2 若点 x y 在曲线C1上 求证 点一定在某圆C2上 x 3 y 2 2 3 过点C作直线l与圆C2相交于M N两点 若点N恰好是线段CM的中点 试求直线l 的方程 解 1 由题意可得点P的轨迹C1是以A B为焦点的椭圆 且半焦距长c m 长半轴长a 3m 则C1的方程为 1 x2 9m2 y2 8m2 4 2 若点 x y 在曲线C1上 则 1 设 x0 y0 则x 3x0 y 2y0 x2 9m2 y2 8m2 x 3 y 2 22 代入 1 得x y m2 x2 9m2 y2 8m22 02 0 所以点一定在某一圆C2上 x 3 y 2 2 3 由题意 得C 3m 0 设M x1 y1 则x y m2 2 12 1 因为点N恰好是线段CM的中点 所以N 代入C2的方程得 x1 3m 2 y1 2 2 2 m2 x1 3m 2 y1 2 联立 解得x1 m y1 0 故直线l有且只有一条 方程为y 0 10 2011 南京模拟 如图 椭圆C 1 的右顶点是A 上 下两个顶点分别为 x2 16 y2 4 B D 四边形OAMB是矩形 O为坐标原点 点E P分别是线段OA AM的中点 1 求证 直线DE与直线BP的交点在椭圆C上 2 过点B的直线l1 l2与椭圆C分别交于点R S 不同于点B 且它们的斜率k1 k2满 足k1k2 求证 直线RS过定点 并求出此定点的坐标 1 4 解 1 由题意 得A 4 0 B 0 2 D 0 2 E 2 0 P 4 1 所以直线DE的方程为y x 2 直线BP的方程为y x 2 1 4 解方程组Error 得Error 所以直线DE与直线BP的交点坐标为 16 5 6 5 因为 1 16 5 2 16 6 5 2 4 所以点在椭圆 1 上 16 5 6 5 x2 16 y2 4 即直线DE与直线BP的交点在椭圆C上 2 设直线BR的方程为y k1x 2 5 解方程组Error 得Error 或Error 所以点R的坐标为 16 1 4k2 1 2 8k2 1 1 4k2 1 因为k1k2 所以直线BS的斜率k2 1 4 1 4k1 直线BS的方程为y x 2 1 4k1 解方程组Error 得Error 或Error 所以点S的坐标为 16k1 1 4k2 1 8k2 1 2 1 4k2 1 所以点R S关于坐标原点O对称 故R O S三点共线 即直线RS过定点O B 级 综合创新备选 时间 30 分钟 满分 60 分 一 填空题 每小题 5 分 共 30 分 1 若 ABC的顶点A 5 0 B 5 0 ABC的内切圆圆心在直线x 3 上 则顶点C的 轨迹方程是 解析 如图AD AE 8 BF BE 2 CD CF 所以CA CB 8 2 6 根据双曲线定义 所求轨迹是以A B为焦点 实轴长为 6 的双曲线的右支 方程为 1 x 3 x2 9 y2 16 答案 1 x 3 x2 9 y2 16 2 方程 y 1 表示的曲线是 1 x 1 2 解析 原方程等价于Error Error Error 或Error 答案 两个半圆 3 已知P是椭圆 1 a b 0 上的任意一点 F1 F2是它的两个焦点 O为坐标原 x2 a2 y2 b2 点 则动点Q的轨迹方程是 OQ PF1 PF2 6 解析 由 OQ PF1 PF2 又 2 2 PF1 PF2 PM PO OP 设Q x y 则 x y OP 1 2OQ 1 2 x 2 y 2 即P点坐标为 又P在椭圆上 x 2 y 2 则有 1 即 1 a b 0 x 2 2 a2 y 2 2 b2 x2 4a2 y2 4b2 答案 1 a b 0 x2 4a2 y2 4b2 4 已知两条直线l1 2x 3y 2 0 和l2 3x 2y 3 0 有一动圆 圆心和半径都动 与 l1 l2都相交 且l1 l2被圆截得的弦长分别是定值 26 和 24 则圆心的轨迹方程是 解析 设动圆的圆心为M x y 半径为r 点M到直线l1 l2的距离分别为d1和d2 由弦心距 半径 半弦长间的关系得 Error 即Error 消去r得动点M满足的几何关系为d22 d21 25 即 25 3x 2y 3 2 13 2x 3y 2 2 13 化简得 x 1 2 y2 65 此即为所求的动圆圆心M的轨迹方程 答案 x 1 2 y2 65 5 到两互相垂直的异面直线的距离相等的点 在过其中一条直线且平行于另一条直线的平 面内的轨迹是 解析 在边长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中 DC与A1D1是两条相互垂直的异面直线 平面 ABCD过直线DC且平行于A1D1 以D为原点 分别以DA DC为x轴 y轴建立平面直角坐 标系 设点P x y 在平面ABCD内且到A1D1与DC之间的距离相等 x y2 a2 x2 y2 a2 故该轨迹为双曲线 7 答案 双曲线 6 直线 1 与x y轴交点的中点的轨迹方程是 x a y 2 a 解析 参数法 设直线 1 与x y轴交点为A a 0 B 0 2 a A B中点为 x a y 2 a M x y 则x y 1 消去a 得x y 1 a 0 a 2 x 0 x 1 a 2 a 2 答案 x y 1 x 0 x 1 二 解答题 每小题 15 分 共 30 分 7 2011 南京学情分析 已知圆O x2 y2 2 交x轴于A B两点 曲线C是以AB为长 轴 离心率为的椭圆 其左焦点为F 若点P是圆O上的一点 连接PF 过原点O作直线 2 2 PF的垂线交椭圆C的左准线于点Q 1 求椭圆C的标准方程 2 若点P的坐标为 1 1 求证 直线PQ与圆O相切 3 试探究 当点P在圆O上运动时 不与点A B重合 直线PQ与圆O是否保持相切的位 置关系 若是 请证明 若不是 请说明理由 解 1 因为a e 所以c 1 2 2 2 则b 1 即椭圆C的标准方程为 y2 1 x2 2 2 因为P 1 1 所以kPF 所以kOQ 2 所以直线OQ的方程为y 2x 1 2 又椭圆的左准线方程为x 2 所以点Q 2 4 所以kPQ 1 又kOP 1 所以kOP kPQ 1 即OP PQ 故直线PQ与圆O相切 3 当点P在圆O上运动时 直线PQ与圆O保持相切 证明如下 8 设P x0 y0 x0 0 1 则y 2 x 所以kPF kOQ 2 02 0 y0 x0 1 x0 1 y0 所以直线OQ的方程为y x x0 1 y0 所以点Q 2 2x0 2 y0 所以kPQ 又kOP y0 2x0 2 y0 x0 2 y2 0 2x0 2 x0 2 y0 x2 0 2x0 x0 2 y0 x0 y0 y0 x0 所以kOP kPQ 1 即OP PQ 故直线PQ始终与圆O相切 8 2011 南京模拟 在平面直角坐标系xOy中 已知定点A 4 0 B 4 0 动点P与 点A B连线的斜率之积为 1 4 1 求点P的轨迹方程 2 设点P的轨迹与y轴负半轴交于点C 半径为r的圆M的圆心M在线段AC的垂直平分 线上 且在y轴右侧 圆M被y轴截得的弦长为r 3 求圆M的方程 当r变化时 是否存在定直线l与动圆M均相切 如果存在 求出定直线l的方程 如 果不存在 请说明理由 解 1 设P x y 则直线PA PB的斜率分别为 k1 k2 y x 4 y x 4 由题意 知 即 1 x 4 y x 4 y x 4 1 4 x2 16 y2 4 所以动点P的轨迹方程是 1 x 4 x2 16 y2 4 2 由题意 得C 0 2 A 4 0 所以线段AC的垂直平分线方程为y 2x 3 设M a 2a 3 a 0 则 M的方程为 x a 2 y 2a 3 2 r2