高中数学 3.2.3直线与平面的夹角学案 新人教A版选修2-1

用心 爱心 专心1 3 3 2 2 3 3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 一 学习目标一 学习目标 掌握直线与平面所成的角的概念和公式 会利用向量求解线面角的大小 二 知识梳理二 知识梳理 一 选择题 每道题的四个选择答案中有且只有一个答案是正确的 1 若斜线段AB是它在平面 内的射影长的 2 倍 则AB与 所成的角为 A 60 B 45 C 30 D 120 2 矩形ABCD中 AB 1 PA 平面ABCD 2 BC PA 1 则PC与平面ABCD所成的角是 A 30 B 45 C 60 D 90 3 已知长方体ABCD A1B1C1D1中 AB BC 4 CC1 2 则直线BC1和平面DBB1D1所成 角的正弦值等于 A B C D 2 3 2 5 5 10 10 10 4 PA PB PC是从P点引出的三条射线 每两条的夹角为 60 则直线PC与平面 APB所成角的余弦值为 A B C D 2 1 3 6 3 3 2 3 二 填空题 5 直角三角形ABC的斜边AB在平面 内 AC和BC与 所成的角分别为 30 45 CD是AB边上的高 CD与 所成的角为 6 自平面 外一点P 向平面 引垂线段PO及两条斜线段PA PB 它们在平面 内的射影长分别为 2cm 和 12cm 且这两条斜线与平面 所成的角相差 45 则垂 线段PO的长为 7 如图所示 在正三棱柱ABC A1B1C1中 侧棱长为 底面三角形的边长为 1 2 则BC1与侧面ACC1A1所成的角是 8 如图所示 BOC在平面 内 OA是平面 的一条斜线 若 AOB AOC 60 OA OB OC a BC a 则OA与平面 所成的角是2 用心 爱心 专心2 9 如图所示 三棱锥P ABC中侧面PAC与底面ABC垂直 PA AC PC 3 AB BC 则AC与平面PBC所成角的余弦值为 3 三 解答题 10 四面体S ABC中 SA SB SC两两垂直 SBA 45 SBC 60 1 求BC与平面SAB所成的角 2 SC与平面ABC所成角的正弦值 11 在如图所示的几何体中 EA 平面ABC DB 平面 ABC AC BC AC BC BD 2AE M是AB的中点 求CM与平面CDE所成的角 12 四棱锥S ABCD中 底面ABCD为平行四边形 SO 底面ABCD O在CB上 已知 ABC 45 AB 2 BC SA SB 求直线SD与平面SAB所成角的正弦值 223 用心 爱心 专心3 三 自我评价三 自我评价 完成时间成功率札记 参考答案参考答案 3 3 2 2 3 3 直线与平面的夹角直线与平面的夹角 1 A 2 A 3 C 4 C 提示 如图 CPA CPB 所以PC在面APB内的射影PH 是 APB的平分线 所以 5 60 CPH cos 3 3 30cos 60cos cos cos HPA CPA 6 6cm 或 4cm 提示 注意两个角的顺序 分类讨论 7 8 45 9 6 13 39 10 1 60 2 7 7 11 解 如图 以点C为坐标原点 以CA CB分别为x轴和y轴 过点C作与平面 ABC垂直的直线为z轴 建立直角坐标系C xyz 设EA a 则A 2a 0 0 B 0 2a 0 E 2a 0 a D 0 2a 2a M a a 0 设向量与平面CDE垂直 1 00 zyn 则 CDnCEn 即 0 0 CDnCEn 用心 爱心 专心4 因为 2a 0 a 0 2a 2a CECD 所以y0 2 z0 2 即 1 2 2 n 2 2 cos CMn CMn CMn 直线CM与平面CDE所成的角 是与夹角的余角 所以 45 因此nCM 直线CM与平面CDE所成的角是 45 12 解 连结AO 因为SA SB 所以AO BO 又 ABC 45 AOB为等腰直角三 角形 AO OB 如图 以O为坐标原点 建立直角坐标系O xyz A 0 0 B 0 0 22 C 0 0 D 2 0 S 0 0 1 222 所以 1 0 2 1 2 0 1 22 2 SASBDS 设平面SAB的法向量为 1 zyxn 所以 令y 1 得 yz yx zy zx SBn SAn 2 02 02 2 1 1